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Índice de la convergencia

En análisis numérico (un rama de matemáticas), la velocidad en que a convergente secuencia acerca a su límite se llama índice de la convergencia. Aunque en sentido estricto, un límite no da la información sobre cualquier primera parte finita de la secuencia, este concepto es de importancia práctica si nos ocupamos de una secuencia de las aproximaciones sucesivas para método iterativo, pues entonces típicamente pocas iteraciones son necesarias rendir una aproximación útil si el índice de la convergencia es más alto. Esto puede incluso diferenciar entre necesitar diez o millón de iteraciones.

Serie de la aceleración es una colección de las técnicas para mejorar el índice de la convergencia de una serie. Tal aceleración se logra comúnmente con transformaciones de la secuencia.

Definición básica

Suponga que la secuencia {x_k} converge al ξ del número.

Decimos que esta secuencia converge linear al ξ, si existe un ∈ del μ del número (0, 1) tales que

El μ del número se llama índice de la convergencia.

Si los asimientos antedichos con el μ = 0, entonces la secuencia se dicen a converja superlinearly. Uno dice que la secuencia converge sublinearly si converge, pero (1) no sostiene para ningún μ < 1.

La definición siguiente se utiliza para distinguir índices superlinear de la convergencia. Decimos que la secuencia converge con orden q para q > 1 al ξ si

Particularmente, la convergencia con la orden 2 se llama convergencia cuadrática, y la convergencia con la orden 3 se llama convergencia cúbica.

Esto se llama a veces convergencia Q-linear,convergencia Q-cuadrática, etc., distinguirlo de la definición abajo. El Q está parado para el “cociente,” porque la definición utiliza el cociente entre dos términos sucesivos…

Definición extendida

La desventaja de las definiciones antedichas (1) y (2) es que éstas no cogen algunas secuencias que todavía converjan razonablemente rápido, pero que “velocidad” es variable, por ejemplo la secuencia {b_k} abajo. Por lo tanto, la definición del índice de la convergencia se amplía a veces como sigue.

Bajo nueva definición, la secuencia {x_k} converge con por lo menos orden q si existe una secuencia {ε_k} tales que

y la secuencia {ε_k} converge a cero con orden q según la definición “simple” antedicha. Para distinguirlo de esa definición, esto se llama a veces convergencia R-linear, convergencia R-cuadrática, etc. (con el R estando parado para la “raíz”).

Aceleración de la convergencia

Muchos métodos existen para aumentar el índice de la convergencia de una secuencia dada, es decir. a transforme una secuencia dada en uno que converge más rápidamente al mismo límite. Se conocen tales técnicas en general como “serie de la aceleración". La meta de la secuencia transformada es ser mucho menos “costosa” calcular que la secuencia original. Un ejemplo de la aceleración de la serie es Proceso delta-ajustado de Aitken.

Ejemplos

Considere las secuencias siguientes:

La secuencia {a_k} converge linear a 0 con la tarifa el 1/2. Más generalmente, la secuencia Cμ^k converge linear con el μ de la tarifa si |μ| < 1. La secuencia {b_k} también converge linear a 0 con la tarifa el 1/2 bajo definición extendida, pero no bajo definición simple. La secuencia {c_k} converge superlinearly. De hecho, es cuadráticamente convergente. Finalmente, la secuencia {d_k} converge sublinearly.

Referencias

La definición simple se utiliza en:

• Michelle Schatzman (2002), Análisis numérico: una introducción matemática, Prensa de Clarendon, Oxford. ISBN 0-19-850279-6.

La definición extendida se utiliza adentro

• Kendell A. Atkinson (1988), Una introducción al análisis numérico (2do ed.), Juan Wiley e hijos. ISBN 0-471-50023-2.
• Walter Gautschi (1997), Análisis numérico: una introducción, Birkhäuser, Boston.
• Endre Süli y David Mayers (2003), Una introducción al análisis numérico, Presión de la universidad de Cambridge. ISBN 0-521-00794-1.

Los términos Q-linear y R-linear se utilizan adentro

• Nocedal, Jorge y Wright, Stephen J. (2006), Optimización numérica (2do ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, pp. 619+620, ISBN 978-0-387-30303-1 .