Top 10 de los artículos

YouTube
Gmail
Goole
GayRomeo
Números chinos
Números romanos
Orkut
Costco
Sistema porta hepático
El mundo Factbook

News:

Caminata al azar

A caminata al azar, denotado a veces RW, es a matemático formalización de una trayectoria que consiste en tomar sucesivo al azar pasos. Los resultados del análisis de la caminata al azar se han aplicado a informática, física, ecología, economía y un número de otros campos como fundamental modelo para los procesos al azar a tiempo. Por ejemplo, la trayectoria remontada por a molécula como viaja en un líquido o un gas, el camino de búsqueda en un fichero de a forraje animal, el precio de fluctuar acción y el estado financiero de a jugador se pueden todos modelar como caminatas al azar.

Las cajas específicas o los límites de caminatas al azar incluyen caminata del drunkard y Vuelo de Lévy. Las caminatas al azar se relacionan con difusión los modelos y son un asunto fundamental en discusiones de Procesos de Markov. Varias características de caminatas al azar, incluyendo distribuciones de la dispersión, tiempos del primero-paso y tarifas del encuentro, se han estudiado extensivamente.

Varios diversos tipos de caminatas al azar están de interés. A menudo, las caminatas al azar se asumen para ser Markov, solamente otro, caminatas complicadas está también de interés. Algunas caminatas al azar están encendido gráficos, otros en la línea, en el plano, o en dimensiones más altas, mientras que algunas caminatas al azar están encendido grupos. Al azar camina también varían en lo que respecta al parámetro del tiempo. A menudo, la caminata es puesta en un índice por los números naturales, como adentro . Sin embargo, algunas caminatas toman sus tiempos de los pasos al azar, y en ese caso la posición Xt se define para .

Contenido

Caminata al azar unidimensional

Una caminata al azar particularmente elemental y concreta es la caminata al azar en números enteros , que empieza S0 = 0 y en cada paso se mueve cerca con probabilidad igual. Para definir este camine formalmente, las variables al azar independientes de la toma , que es 1 con probabilidad 1 / 2 y − 1 con probabilidad 1 / 2, y sistema . Esta secuencia {Sn} se llama caminata al azar simple encendido .

Esta caminata se puede ilustrar como sigue. Opinión usted mueve de un tirón una moneda justa. Si aterriza en las cabezas, usted mueve uno a la derecha en la línea del número. Si aterriza en las colas, usted mueve uno a la izquierda. Tan después de que cinco tirones, usted tengan la posibilidad de aterrizaje en 1, -1, 3, -3, 5, o -5. Usted puede aterrizar en 1 moviendo de un tirón tres cabezas y dos colas en cualquier orden. Hay 10 maneras posibles del aterrizaje en 1. Semejantemente, hay 10 maneras del aterrizaje en -1 (moviendo de un tirón tres colas y dos cabezas), 5 maneras del aterrizaje en 3 (moviendo de un tirón cuatro cabezas y una cola), 5 maneras del aterrizaje en -3 (moviendo de un tirón cuatro colas y una cabeza), 1 manera del aterrizaje en 5 (moviendo de un tirón cinco cabezas), y 1 manera del aterrizaje en -5 (moviendo de un tirón cinco colas). Vea la figura abajo para una ilustración de este ejemplo.

Cinco tirones de una moneda justa

Qué puede decimos sobre la posición Sn de la caminata después n ¿pasos? Por supuesto, es al azar, así que no podemos calcularlo. Pero podemos decir absolutamente un pedacito sobre su distribución. No es duro ver que expectativa E(Sn) de Sn es cero. Por ejemplo, esto sigue por la característica de la aditividad de la expectativa: . Un cálculo similar, usando la independencia de las variables al azar Zn, demuestra eso . Esto hace alusión eso E | Sn | , esperado distancia de la traducción después n los pasos, deben ser de la orden de . De hecho,

.

Suponga que dibujamos una línea una cierta distancia del origen de la caminata. ¿Cuántas veces la caminata al azar cruzará la línea si está permitida para continuar caminando por siempre? El teorema siguiente, quizás que sorprende es la respuesta: caminata al azar simple encendido voluntad casi seguramente cruce cada punto un número infinito de épocas. Este resultado tiene muchos nombres: fenómeno de la nivel-travesía, repetición o ruina del jugador. La razón del nombre pasado es como sigue: si usted es jugador con un finito ascienda de jugar del dinero un juego justo contra un banco con una cantidad infinita de dinero, usted perderá seguramente. La cantidad de dinero que usted tiene realizará una caminata al azar, y, en algún momento, alcanzará casi seguramente 0 y el juego encima.

Si a y b son los números enteros positivos, entonces el número previsto de pasos hasta una caminata al azar simple unidimensional que empieza 0 primeros golpes b o - a es . La probabilidad que esta caminata golpeará b antes - a los pasos son .

Algunos de los resultados mencionados arriba se pueden derivar de características de Triángulo del PASCAL. El número de diversas caminatas de n pasos donde está cada paso + 1 o − 1 está claramente 2n. Para la caminata al azar simple, cada uno de éstos camina es igualmente probable. Para que Sn para ser igual a un número k es necesario y suficiente que el número de + 1 en la caminata excede los de − 1 por k. Así, el número de las caminatas que satisfacen Sn = k está exacto el número de maneras de elegir (n + k) / 2 elementos del n el elemento fijó (para que esto sea diferente a cero, es necesario que n + k sea un número par), que es una entrada en el triángulo del PASCAL denotó cerca . Por lo tanto, la probabilidad eso Sn = k es igual a . Representando entradas del triángulo del PASCAL en términos de factorials y el usar Fórmula de Stirling, uno puede obtener las buenas estimaciones para estas probabilidades para los valores grandes de n.

Esta relación con el triángulo del PASCAL se demuestra fácilmente para los valores pequeños de n. En las vueltas cero, sigue habiendo la única posibilidad será en cero. Sin embargo, en una vuelta, usted puede trasladarse o al izquierdo o la derecha de cero, significando allí es una ocasión del aterrizaje en -1 o una ocasiones del aterrizaje en 1. En dos vueltas, usted examina las vueltas de antes. Si usted había estado en 1, usted podría moverse a 2 o de nuevo a cero. Si usted había estado en -1, usted podría moverse a -2 o de nuevo a cero. Tan hay una ocasión del aterrizaje en -2, dos ocasiones del aterrizaje en cero, y una ocasión del aterrizaje en 2.

n -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
P[S0 = k] 1
2P[S1 = k] 1 1
22P[S2 = k] 1 2 1
23P[S3 = k] 1 3 3 1
24P[S4 = k] 1 4 6 4 1
25P[S5 = k] 1 5 10 10 5 1

teorema de límite central y ley del logaritmo iterado describa los aspectos importantes del comportamiento de la caminata al azar simple encendido .

Dimensiones más altas

Ahora imagine a drunkard el caminar aleatoriamente en una ciudad. La ciudad es realista infinita y arreglada en una rejilla cuadrada, y en cada intersección, el drunkard elige una de las cuatro rutas posibles (la incluyendo él vino de) con probabilidad igual. Formalmente, esto es una caminata al azar en el sistema de todos los puntos en plano con número entero coordenadas. ¿El drunkard conseguirá siempre de nuevo a su hogar de la barra? Resulta que él. Éste es el alto equivalente dimensional del problema de la travesía llana discutido arriba. Sin embargo, en las dimensiones 3 y arriba, esto sostiene no más. Es decir un pájaro borracho pudo vagar por siempre el cielo, nunca encontrando su jerarquía. Los términos formales para describir este fenómeno son que es una caminata al azar en las dimensiones 1 y 2 recurrente, mientras que en la dimensión 3 y sobre ella está transitorio. Esto fue probada cerca Pólya en 1921, y se discute en una sección de Cadenas de Markov accesible en línea.

La trayectoria de una caminata al azar es la colección de sitios que visitó, considerado como sistema con indiferencia a cuando la caminata llegó el punto. En una dimensión, la trayectoria es simplemente todos los puntos entre la altura mínima la caminata alcanzada y el máximo (ambas están, en promedio, en la pedido del √n). En dimensiones más altas el sistema tiene características geométricas interesantes. De hecho, uno consigue un discreto fractal, ése es un sistema que exhibe estocástico uno mismo-semejanza en escalas grandes, pero en las escalas pequeñas una puede observar “jugginess” el resultar de la rejilla en la cual se realiza la caminata. Los dos libros de Lawler referidos abajo son una buena fuente en este asunto.

Caminata al azar en gráficos

Asuma ahora que nuestra ciudad es no más una rejilla cuadrada perfecta. Cuando nuestro drunkard alcanza cierta ensambladura él escoge entre los varios caminos disponibles con probabilidad igual. Así, si la ensambladura tiene siete salidas el drunkard irá cada uno con séptimo de la probabilidad una. Esto es una caminata al azar en un gráfico. ¿Nuestro drunkard alcanzará su hogar? Resulta eso bajo condiciones algo suaves, la respuesta todavía está sí. Por ejemplo, si las longitudes de todos los bloques están en medio a y b (donde a y b es cualquier dos números positivos finitos), entonces el drunkard, casi seguramente, alcanzar su hogar. Note que no asumimos que es el gráfico planar, es decir. la ciudad puede contener los túneles y los puentes. Una forma para probar este resultado está utilizando la conexión a redes eléctricas. Tome un mapa de la ciudad y coloque el ohmio resistor en cada bloque. Ahora mida la “resistencia entre un punto y un infinito”. Es decir elija un cierto número R y tome todos los puntos en la red eléctrica con la distancia más grande que R de nuestro punto y átelos con alambre juntos. Esto ahora es una red eléctrica finita y podemos medir la resistencia de nuestro punto a los puntos atados con alambre. Toma R al infinito. El límite se llama resistencia entre un punto y un infinito. Resulta que lo que sigue es verdad (una prueba elemental se puede encontrar en el libro por Doyle y Snell):

Teorema: un gráfico es transitorio si y solamente si la resistencia entre un punto y un infinito es finita. No es importante que el punto se elige si el gráfico está conectado.

Es decir en un sistema transitorio, uno necesita solamente superar una resistencia finita para conseguir al infinito de cualquier punto. En un sistema recurrente, la resistencia de cualquier punto al infinito es infinita.

Esta caracterización de la repetición y del transience es muy útil, y permite específicamente que analicemos el caso de una ciudad dibujada en el plano con las distancias limitadas.

Una caminata al azar en un gráfico es un caso muy especial de a Cadena de Markov. Desemejante de una cadena de Markov general, la caminata al azar en un gráfico goza de una característica llamada simetría del tiempo o reversibilidad. En línea general, esta característica, también llamó el principio de equilibrio detallado, significa que las probabilidades para atravesar una trayectoria dada en una dirección o en la otra tienen una conexión muy simple entre ellos (si es el gráfico regular, son igual justo). Esta característica tiene consecuencias importantes.

Comenzando en los años 80, mucha investigación ha entrado las características que conectaban del gráfico a las caminatas al azar. Además de la conexión de red eléctrica descrita arriba, hay conexiones importantes a desigualdades isoperimétricas, vea más aquí, desigualdades funcionales por ejemplo Sobolev y Poincaré desigualdades y características de soluciones de Ecuación de Laplace. Una porción significativa de esta investigación fue enfocada encendido Gráficos de Cayley de finito generado grupos. Por ejemplo, la prueba de Dave Bayer y Persi Diaconis esos 7 barajaduras del riffle son bastantes para mezclar un paquete de tarjetas (véase más detalles debajo barajadura) está en efecto un resultado sobre caminata al azar en el grupo Sn, y la prueba utiliza la estructura del grupo en una manera esencial. En muchos casos estos resultados discretos transportan a, o se derivan de Múltiples y Grupos de mentira.

Una buena referencia para la caminata al azar en gráficos es el libro en línea cerca Aldous y terraplén. Para los grupos vea el libro de Woess. Si el gráfico sí mismo es al azar, este asunto se llama “caminata al azar en el ambiente al azar” - vea el libro de Hughes.

Relación al movimiento browniano

Movimiento browniano es límite del escalamiento de la caminata al azar en la dimensión 1. Esto significa que si usted toma una caminata al azar con pasos muy pequeños usted consigue una aproximación al movimiento browniano. Ser, si el tamaño de paso es ε, el más exacto necesita tomar una caminata de la longitud L² de/ε para aproximar un movimiento browniano de la longitud L. Como el tamaño de paso tiende a 0 (y al número de los pasos crecientes comparativamente) la caminata al azar converge al movimiento browniano en un apropiado detecta. Formalmente, si B es el espacio de todas las trayectorias de la longitud L con la topología máxima, y si M ha el espacio de la medida terminado B con la topología de la norma, entonces la convergencia está en el espacio M. Semejantemente, el movimiento browniano en varias dimensiones es el límite del escalamiento de la caminata al azar en el mismo número de dimensiones. Observe eso Movimiento browniano en presente el artículo refiere a la definición matemática del término, más bien que al fenómeno físico real de una partícula minuciosa que difunde en un líquido.

Una caminata al azar es una discreta fractal, pero el movimiento browniano es un fractal verdadero, y hay una conexión entre los dos. Por ejemplo, tome una caminata al azar hasta que golpea un círculo del radio r mide el tiempo de la longitud del paso. El número medio de pasos que se realiza es r². Este hecho es versión discreta del hecho de que el movimiento browniano es un fractal de Dimensión de Hausdorff 2 [1]. En dos dimensiones, el número medio de puntos que la misma caminata al azar tiene en límite de su trayectoria está r4 / 3. Esto corresponde al hecho de que el límite de la trayectoria del movimiento browniano es un fractal de la dimensión 4/3, un hecho predicho cerca Mandelbrot usando simulaciones pero probado solamente adentro 2000 (Ciencia, 2000).

El movimiento browniano goza de muchos simetrías la caminata al azar no. Por ejemplo, el movimiento browniano es invariante a las rotaciones, pero la caminata al azar no es, puesto que no es la rejilla subyacente (la caminata al azar es invariante a las rotaciones por 90 grados, pero el movimiento browniano es invariante a las rotaciones cerca, por ejemplo, 17 grados también). Esto significa eso en muchos casos, los problemas en caminata al azar es más fácil de solucionar traduciéndolos al movimiento browniano, solucionando el problema allí, y después traduciéndolo detrás. Por otra parte, algunos problemas son más fáciles de solucionar con las caminatas al azar debido a su naturaleza discreta.

Caminata al azar y Movimiento browniano puede ser juntado, a saber manifestado en el mismo espacio de la probabilidad de una manera dependiente que los fuerza estar absolutamente cercanos. El más simple tal acoplador es el Skorokhod que encaja, pero otro, acopladores más exactos existe también.

La convergencia de una caminata al azar hacia el movimiento browniano es controlada por teorema de límite central. Para una partícula en un de posición fija sabida en t=0, el teorema nos dice eso después de una gran cantidad independiente los pasos en la caminata al azar, la posición del walker se distribuyen según a distribución normal del total variación:

, donde t es el tiempo transcurrió desde el comienzo de la caminata al azar, ε es el tamaño de un paso de la caminata al azar, y δt es el tiempo transcurrió entre dos pasos sucesivos.

Esto corresponde a la función verde del ecuación de la difusión eso controla el movimiento browniano, que demuestra que, después de una gran cantidad de pasos, la caminata al azar converge hacia un movimiento browniano.

En 3D, la variación que corresponde a Función de Green de difusión la ecuación está:

Igualando esta cantidad con la variación se asoció a la posición del walker al azar, uno obtiene el coeficiente de difusión equivalente que se considerará para el movimiento browniano asintótico hacia el cual la caminata al azar converge después de una gran cantidad de pasos:

(válido solamente en 3D)

Observación: las dos expresiones de la variación arriba corresponden a la distribución asociada al vector eso liga los dos extremos de la caminata al azar, en 3D. La variación se asoció a cada componente Rx, Ry o Rz es solamente un tercio de este valor (aún en 3D).

caminatas al azar Uno mismo-que obran recíprocamente

Hay un número de modelos interesantes de las trayectorias al azar en las cuales cada paso depende del pasado de una manera complicada. Todos son más difíciles de analizar que la caminata al azar generalmente - algo notorio tan. Por ejemplo

Usos

Los siguientes son los usos de la caminata al azar:

En todos estos casos, la caminata al azar se substituye a menudo para el movimiento browniano.

  • En investigación del cerebro, las caminatas al azar y las caminatas al azar reforzadas se utilizan para modelar las cascadas de la leña de la neurona en el cerebro.
  • En ciencia de la visión, movimientos del ojo del fixational son descritos bien por una caminata al azar.
  • En psicología, las caminatas al azar explican exactamente la relación entre el tiempo necesario para hacer una decisión y la probabilidad que cierta decisión será tomada. (Nosofsky, 1997)
  • La caminata al azar se puede utilizar para muestrear de un espacio del estado que sea desconocido o muy grande, por ejemplo para escoger a una página al azar del Internet o, para la investigación de las condiciones de trabajo, a un trabajador ilegal al azar en un país dado.
  • Cuando este último acercamiento se utiliza adentro informática se conoce como Cadena de Markov Monte Carlo o MCMC para el cortocircuito. A menudo, el muestreo de un cierto espacio complicado del estado también permite que uno consiga una estimación probabilistic del tamaño del espacio. La estimación del permanente de un grande matriz de ceros y de unos estaba el primer problema principal abordado usando este acercamiento.
  • En establecimiento de una red sin hilos, la caminata al azar se utiliza para modelar el movimiento del nodo.
  • Las bacterias enganchan a a caminata al azar en polarización negativa.
  • La caminata al azar se utiliza para modelar juego.
  • Durante Segunda Guerra Mundial una caminata al azar fue utilizada para modelar la distancia que escapado prisionero de guerra viajaría en un rato dado.

Interpretación Probabilistic

Un unidimensional caminata al azar la poder también sea en como a mirada Cadena de Markov de quién espacio del estado es dado por los números enteros , para un cierto número , . Podemos llamarlo a caminata al azar porque podemos pensar en él como siendo un modelo para caminar individual en una línea recta que en cada punto del tiempo cualquiera lleve a un paso la derecha con probabilidad p o un paso a la izquierda con probabilidad 1 − p.

Una caminata al azar es una simple proceso estocástico.

Vea también

Referencias

  1. ^ Por lo tanto la caminata al azar del drunkard cubriría eventual todas las calles de la ciudad (2 dimensiones euclidianas) y él volverá eventual a casa, mientras que el pájaro que toma un vuelo de la “caminata al azar” a través del aire (3 dimensiones euclidianas) no cubrirá todo el espacio, y no volverá a su punto de partida.

Bibliografía

El capítulo 3 de este libro contiene una discusión cuidadosa de caminatas al azar, incluyendo resultados avanzados, usando solamente las herramientas elementales.
  • Barry D. Hughes (1996), Caminatas al azar y ambientes al azar, Presión de la universidad de Oxford. ISBN 0-19-853789-1
  • Gregory Lawler (1996), Intersección de caminatas al azar, Birkhäuser Boston. ISBN 0-8176-3892-X
  • Gregory Lawler, Procesos invariantes de Conformally en el plano, http://www.math.cornell.edu/~lawler/book.ps
  • Neal Madras y Gordon Slade (1996), La caminata Uno mismo-Que evita, Birkhäuser Boston. ISBN 0-8176-3891-1
  • James Norris (1998), Cadenas de Markov, Presión de la universidad de Cambridge. ISBN 0-5216-3396-6
  • Springer Pólya (1921), “dado Irrfahrt im Strassennetz del betreffend de Wahrscheinlichkeitstheorie del der de Aufgabe del eine de Über”, Mathematische Annalen, 84 (1-2): 149-160, marzo de 1921.
  • Amigacho Révész (1990), Caminata al azar en ambientes al azar y no-al azar, Publicación científica Co. del mundo ISBN 981-02-0237-7
  • Wolfgang Woess (2000), Caminatas al azar en gráficos y grupos infinitos, Zonas de Cambridge en las matemáticas 138, presión de la universidad de Cambridge. ISBN 0-521-55292-3

Acoplamientos externos

The original article is from Wikipedia. To view the original article please click here.
Creative Commons Licence

 
Custom Search