método Pseudo-espectral

métodos Pseudo-espectrales es una clase de métodos numéricos utilizado adentro matemáticas aplicadas y el computar científico para la solución de PDEs, por ejemplo la simulación directa de una partícula con un arbitrario wavefunction el obrar recíprocamente con un arbitrario potencial. Se relacionan con métodos espectrales y se utilizan extensivamente en dinámica flúida de cómputo y otras áreas, pero se demuestran abajo en un ejemplo de física del quántum.

Fondo

La ecuación de onda de Schrödinger,

puede ser escrito

cuál se asemeja a linear ecuación diferencial ordinaria

con la solución

De hecho, usando la teoría de operadores lineares, puede ser demostrado que es la solución general a la ecuación de onda de Schrödinger

donde está el usar el exponentiation de operadores definido serie de energía. Ahora recuerde eso

donde la energía cinética $T$ se da cerca

y la energía potencial $V$ depende a menudo solamente la posición de trabajo (es decir, ). Podemos escribir

Está tentando a escribir

de modo que poder tratar cada factor por separado. Sin embargo, esto es solamente verdad si los operadores $T$ y conmute, que no es verdad en general. Afortunadamente, resulta eso

es una buena aproximación para los valores pequeños de $t$ . Esto se conoce como la descomposición simétrica. El corazón del método pseudo-espectral está utilizando esta aproximación iterativo para calcular el wavefunction para los valores arbitrarios de $t$ .

El método

Para la simplicidad, consideraremos el caso unidimensional. El método se amplía fácilmente a las dimensiones múltiples.

Dado $ψ (x, t)$ , deseamos encontrar $ψ (x, t + Δ t)$ donde $Δ t$ es pequeño. El primer paso es calcular un valor intermedio $φ 1 (x)$ aplicando al operador de derecha en la descomposición simétrica,

Esto requiere solamente una multiplicación del pointwise. El paso siguiente es aplicar al operador medio,

Esto es un cálculo infeasible a hacer adentro espacio de la configuración. Afortunadamente, adentro espacio del ímpetu, el cálculo se simplifica grandemente. Si $Φ 1 (k)$ es la representación del espacio del ímpetu de $φ 1 (x)$ , entonces

cuál también requiere solamente una multiplicación del pointwise. Numéricamente, $Φ 1 (k)$ se obtiene de $φ 1 (x)$ el usar Fourier rápido transforma (FFT) y $φ 2 (x)$ se obtiene de $Φ 2 (k)$ usar el FFT inverso.

El cálculo final es

Esta secuencia se puede resumir como

Análisis del algoritmo

Si el wavefunction es aproximado por su valor en $n$ los puntos distintos, cada iteración requieren 3 multiplicaciones del pointwise, un FFT, y un FFT inverso. Las multiplicaciones cada uno del pointwise requieren $O (n)$ el esfuerzo, y los FFT cada uno de FFT e inversos requieren $O (n lg n)$ esfuerzo. El esfuerzo de cómputo total por lo tanto es determinado en gran parte por los pasos de FFT, así que es imprescindible utilizar una puesta en práctica eficiente (y exacta) del FFT. Afortunadamente, muchos están libremente disponibles.

Análisis del error

El error en el método pseudo-espectral es de forma aplastante debido a error de la discretización.

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