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Función de la densidad de la probabilidad

En matemáticas, a función de la densidad de la probabilidad (pdf) es una función que representa a distribución de la probabilidad en términos de integrales.

Formalmente, una distribución de la probabilidad tiene densidad f, si f es un no negativo Lebesgue-integrable función tales que la probabilidad del intervalo [a, b] se da cerca

para cualquieres dos números a y b. Esto implica que el integral total de f debe ser 1. Inversamente, para cualquier función Lebesgue-integrable no negativa f con el integral total 1, debe haber una cierta distribución de la probabilidad para la cual f representa la densidad de la probabilidad.

Intuitivo, si una distribución de la probabilidad tiene densidad f(x), entonces el infinitesimal intervalo [x, x + dx] tiene probabilidad f(x) dx.

Informal, una función de la densidad de la probabilidad se puede considerar como “hacia fuera alisada” versión de a histograma: si empírico muestras una bastantes valores de a variable al azar continua, producir un histograma que representa frecuencias relativas de la salida se extiende, después este histograma se asemejará a la densidad de la probabilidad de la variable al azar, si se asume que las gamas de la salida son suficientemente estrechas.

Cualquier función f eso describe la densidad de la probabilidad en términos de variable de la entrada x de una forma descrita más abajo es una función de la densidad de la probabilidad.

  • f(x) es mayor o igual cero para todos los valores de x
  • El área total bajo gráfico es 1:

La probabilidad real puede entonces ser calculada tomando el integral de la función f(x) por el intervalo de la integración de la variable de la entrada x.

Por ejemplo: la probabilidad de la variable X el estar dentro del intervalo [4.3, 7.8] sería

Contenido

Otros detalles

Por ejemplo, distribución uniforme continua en el intervalo [0.1] tiene densidad de la probabilidad f(x) = 1 para 0 ≤ x ≤ 1 y f(x) = 0 a otra parte.

El estándar distribución normal tiene densidad de la probabilidad

Si una variable al azar X se da y su distribución admite una función de la densidad de la probabilidad f(x), entonces valor previsto de X (si existe) puede ser calculado como

No cada distribución de la probabilidad tiene una función de la densidad: las distribuciones de variables al azar discretas no; ni Distribución del Cantor, aun cuando no tiene ningún componente discreto, es decir, no asigna probabilidad positiva a cualquier punto individual.

Una distribución tiene una función de la densidad si y solamente si su función de distribución acumulativa F(x) es absolutamente continuo. En este caso: F es casi por todas partes diferenciable, y su derivado se puede utilizar como densidad de la probabilidad:

Si una distribución de la probabilidad admite una densidad, entonces la probabilidad de cada uno-punto fijó {a} es cero.

Es un error común a pensar en f(x) como la probabilidad de {x}, pero éste es incorrecto; de hecho, f(x) sea a menudo más grande de 1 - considere una variable al azar que sea distribuido uniformemente entre 0 y el ½. Libremente, uno puede pensar en f(x) dx como la probabilidad esa una variable al azar que es función de la densidad de la probabilidad f , está en el intervalo de x a x + dx, donde dx es un incremento infinitamente pequeño.

Dos densidades de la probabilidad f y g represente igual distribución de la probabilidad exacto si diferencian solamente en un sistema de Lebesgue medida cero.

En el campo de física estadística, una reformulación no-formal de la relación arriba entre el derivado del función de distribución acumulativa y la función de la densidad de la probabilidad se utiliza generalmente como la definición de la función de la densidad de la probabilidad. Esta definición alterna es la siguiente:

Si despegue es un número infinitamente pequeño, la probabilidad eso X es incluido dentro del intervalo (t, t + despegue) es igual a , o:

Acoplamiento entre las distribuciones discretas y continuas

La definición de una función de la densidad de la probabilidad al principio de esta página permite describir la variable asociada a una distribución continua usando un sistema de variables discretas binarias asociadas a los intervalos [a; b] (por ejemplo, una variable que vale 1 si X está adentro [a; b], y 0 si no).

Es también posible representar ciertas variables al azar discretas usando una densidad de la probabilidad, vía Función delta de Dirac. Por ejemplo, déjenos consideran un discreto binario variable al azar tomando −1 o 1 para los valores, con el ½ cada uno de la probabilidad.

La densidad de la probabilidad asociada a esta variable es:

Más generalmente, si una variable discreta puede tomar diversos valores de “n” entre números verdaderos, entonces la función asociada de la densidad de la probabilidad está:

donde son los valores discretos accesibles a la variable y son las probabilidades asociadas a estos valores.

Esta expresión permite determinar características estadísticas de una variable tan discreta (tales como su medio, su variación y su kurtosis), a partir de los fórmulas dados para una distribución continua.

En física, esta descripción es también útil para caracterizar matemáticamente la configuración inicial de a Movimiento browniano.

Función de la probabilidad asociada a las variables múltiples

Para continuo variables al azar , es también posible definir una función de la densidad de la probabilidad asociada al sistema en su totalidad, llamado a menudo función común de la densidad de la probabilidad. Esta función de la densidad se define en función de n variables, tales que, para cualquier dominio D en n- espacio dimensional de los valores de las variables , la probabilidad que una realización de las variables del sistema baja dentro del dominio D es

Para i=1, 2, …,n, deje sea la función de la densidad de la probabilidad asociada a la variable Xi solamente. Esta densidad de la probabilidad se puede deducir de las densidades de la probabilidad asociadas de las variables al azar integrando en todos los valores del n − 1 otras variables:

Independencia

Variables al azar continuas son todos independiente de uno a si y solamente si

Corolario

Si la función común de la densidad de la probabilidad de un vector de n las variables al azar se pueden descomponer en factores en un producto de n funciones de una variable

entonces n las variables en el sistema son todas independiente de uno a, y de la función marginal de la densidad de la probabilidad de cada uno de ellos se da cerca

Ejemplo

Este ejemplo elemental ilustra la definición antedicha de las funciones multidimensionales de la densidad de la probabilidad en el caso simple de una función de un sistema de dos variables. Llamemos un vector al azar de 2 dimensiones de coordenadas (X,Y): la probabilidad a obtener en el plano cuarto del positivo x y y es

Sumas de variables al azar independientes

La función de la densidad de la probabilidad de la suma de dos independiente variables al azar U y V, que tiene una función de la densidad de la probabilidad es circunvolución de sus funciones separadas de la densidad:

Variables dependientes y cambio de variables

Si la función de la densidad de la probabilidad de una variable al azar independiente x se da como f(x), es posible (pero a menudo no necesario; vea abajo) para calcular la función de la densidad de la probabilidad de una cierta variable y cuál depende encendido x. Esto también se llama un “cambio de la variable” y se utiliza en la práctica para generar una variable al azar de la forma arbitraria “f” que usa (por ejemplo uniforme) un generador sabido del número al azar. Si es la dependencia y = g(x) y la función g es monotónico, entonces la función de la densidad que resulta está

Aquí g−1 denota función inversa y g denota derivado.

Esto sigue del hecho que la probabilidad contuvo en un área diferenciada debe ser invariante bajo cambio de variables. Es decir,

o

Para las funciones para las cuales no es monotónica la función de la densidad de la probabilidad y es

donde n(y) está el número de soluciones adentro x para la ecuación g(x) = y, y son estas soluciones.

Está tentando a pensar que para encontrar el valor previsto E (g(X)) una necesidad primero encuentra la densidad de la probabilidad de g(X). Sin embargo, más bien que computando

uno puede encontrar en lugar de otro

Los valores de los dos integrales están iguales en todos los casos en los cuales ambos X y g(X) tenga realmente funciones de la densidad de la probabilidad. No es necesario que g sea a función una por. En algunos casos el último integral se computa mucho más fácilmente que el anterior.

Variables múltiples

Los fórmulas antedichos se pueden generalizar a las variables (que llamaremos otra vez y) dependiendo más de de uno otras variables. f(x0, x1, ..., xm-1) denotará la función de la densidad de la probabilidad de las variables y depende encendido, y la dependencia será y = g(x0, x1, ..., xm-1). Entonces, la función de la densidad que resulta es

donde está el integral sobre el entero (m-1) - la solución dimensional del subscripted la ecuación y el simbólico dV debe ser substituido por un parametrization de esta solución para un cálculo particular; las variables x0, x1, ..., xm-1 sea entonces por supuesto funciona de este parametrization.

Esto deriva de la representación siguiente, quizás más intuitiva: Suponga x es una variable al azar dimensional de n con densidad común f. Si y = H (x), donde H es a bijective, diferenciable función, entonces y tiene densidad g:

con el diferencial mirado como Jacobian de lo contrario de H, evaluado en y.

Encontrar momentos y la variación

Particularmente, nth momento E (Xn) de la distribución de la probabilidad de una variable al azar X se da cerca

y variación es

o, el ampliarse, da:

Bibliografía

  • Pierre Simon de Laplace (1812). Teoría analítica de la probabilidad. 
El cálculo que mezcla del primer tratado importante con la teoría de las probabilidades, originalmente en francés: DES Probabilités de Théorie Analytique.
  • Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950). Fundaciones de la teoría de la probabilidad. 
La fundación medida-teórica moderna de la teoría de las probabilidades; la versión alemana original (Der Wahrscheinlichkeitrechnung de Grundbegriffe) aparecido en 1933.
  • Patrick Billingsley (1979). Probabilidad y medida. Nueva York, Toronto, Londres: Juan Wiley e hijos. 
  • David Stirzaker (2003). Probabilidad elemental. 
Los capítulos 7 a 9 están sobre variables continuas. Esto reserva se llena de teoría y de las pruebas matemáticas.

Vea también

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