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Serie de energía

En matemáticas, a serie de energía (en una variable) es serie infinita de la forma

donde a_n representa el coeficiente de ntérmino del th, c es una constante, y x varía alrededor c (por esta razón una habla a veces de la serie como siendo centrado en c). Esta serie se presenta generalmente como Serie de Taylor de alguno sabido función; Serie de Taylor el artículo contiene muchos ejemplos.

En muchas situaciones c es igual a cero, por ejemplo cuando en vista de a Serie de Maclaurin. En tales casos, la serie de energía toma la forma más simple

Estas series de energía se presentan sobre todo en análisis, pero también ocurren adentro combinatorics (bajo el nombre de generación de funciones) y en la ingeniería eléctrica (bajo el nombre de Z-transforme). El familiar notación decimal para números enteros la poder también se vea como ejemplo de una serie de energía, pero con la discusión x fijado en 10. En teoría del número, el concepto de números p-adic también se relaciona de cerca con el de una serie de energía.

Contenido 1 Ejemplos 2 Radio de convergencia 3 Operaciones en series de energía 3.1 Adición y substracción 3.2 Multiplicación y división 3.3 Diferenciación e integración 4 Funciones analíticas 5 Serie de energía formal 6 Serie de energía en varias variables 7 Orden de una serie de energía 8 Acoplamientos externos

Ejemplos

Cualesquiera polinómico puede ser expresado fácilmente como serie de energía alrededor de cualquier centro c, no obstante uno con la mayoría de los coeficientes iguales a cero. Por ejemplo, el polinomio f(x) = x² + 2x + 3 puede ser escrito como serie de energía alrededor del centro c = 0 como

o alrededor del centro c = 1 como

o de hecho alrededor de cualquier otro centro c. Uno puede ver serie de energía como siendo como “polinomios del grado infinito,” aunque las series de energía no son polinomios.

serie geométrica fórmula

para cuál es válido | x | < 1, es uno de los ejemplos más importantes de una serie de energía, al igual que el fórmula de la función exponencial

y el fórmula del seno

válido para todo el X. verdadero. Estas series de energía son también ejemplos de Serie de Taylor.

Las energías negativas no se permiten en una serie de energía, por ejemplo no se considera una serie de energía (aunque es a Serie de Laurent). Semejantemente, energías fraccionarias por ejemplo x^{1 / 2} no se permiten (pero vea Serie de Puiseux). Los coeficientes a_n no se permiten para depender encendido x, así por ejemplo:

no es una serie de energía.

Radio de convergencia

Una serie de energía convergerá para algunos valores de la variable x y puede divergir para otros. Toda la serie de energía convergerá en x = c. Hay siempre un número r con 0 ≤ r ∞ del ≤ tales que converge la serie siempre que |x − c| < r y diverge siempre que |x − c| > r. El número r se llama radio de convergencia de la serie de energía; en general se da como

o, equivalente,

(véase superior del límite e inferior del límite). Una manera rápida de computarlo es

si existe este límite.

La serie converge absolutamente para |x - c| < r y converge uniformemente en cada acuerdo subconjunto de {x : |x − c| < r}.

Para |x - c| = r, no podemos hacer ninguna declaración general encendido si la serie converge o diverge. Sin embargo, Teorema de Abel estados que la suma de la serie es continua en x si la serie converge en x.

Operaciones en series de energía

Adición y substracción

Cuando dos funciones f y g se descomponen en serie de energía alrededor del mismo centro c, la serie de energía de la suma o la diferencia de las funciones se puede obtener por la adición y la substracción del termwise. Es decir, si:

entonces

Multiplicación y división

Con las mismas definiciones arriba, porque la serie de energía del producto y el cociente de las funciones puede ser obtenido como sigue:

La secuencia se conoce como circunvolución de las secuencias a_n y b_n.

Para la división, observe:

y entonces utilice el antedicho, comparando coeficientes.

Diferenciación e integración

Una vez que una función se dé como serie de energía, es continuo dondequiera que converja y sea diferenciable en interior de este sistema. Puede ser distinguido y integrado absolutamente fácilmente, tratando cada término por separado:

Ambas series tienen el mismo radio de convergencia que la original.

Funciones analíticas

Una función f definido en alguno abra el subconjunto U de R o C se llama analítico si localmente es dado por serie de energía. Esto significa que cada a ∈ U tiene un abierto vecindad V ⊆ U, tales que existe una serie de energía con el centro a cuál converge f(x) para cada x ∈ V.

Cada serie de energía con un radio positivo de convergencia es analítica en interior de su región de la convergencia. Todos funciones holomorphic sea complejo-analítico. Las sumas y los productos de funciones analíticas son analíticos, al igual que cocientes mientras el denominador sea diferente a cero.

Si una función es analítica, entonces es infinitamente a menudo diferenciable, pero en el caso verdadero el inverso no es generalmente verdad. Para una función analítica, los coeficientes a_n puede ser computado como

donde f⁽ⁿ⁾(c) denota nderivado del th de f en c, y f⁽⁰⁾(c) = f(c). Esto significa que cada función analítica localmente es representada por su Serie de Taylor.

La forma global de una función analítica es determinada totalmente por su comportamiento local en el sentido siguiente: si f y g son dos funciones analíticas definidas en igual conectado abra el sistema U, y si existe un elemento c∈U tales que f ⁽ⁿ⁾(c) = g ⁽ⁿ⁾(c) para todos n ≥ 0, entonces f(x) = g(x) para todos x ∈ U.

Si una serie de energía con el radio de convergencia r se da, uno puede considerar continuaciones analíticas de la serie, es decir. funciones analíticas f cuáles se definen en sistemas más grandes que { x : |x - c| < r } y convenga con la serie de energía dada en este sistema. El número r es máximo en el sentido siguiente: existe siempre a número complejo x con |x - a| = r tales que ninguna continuación analítica de la serie no se puede definir en x.

La extensión de la serie de energía del función inversa de una función analítica puede estar el usar determinado Teorema de la inversión de Lagrange.

Serie de energía formal

Artículo principal: Serie de energía formal

En álgebra abstracta, uno procura capturar la esencia de la serie de energía sin la restricción a campos de números verdaderos y complejos, y sin la necesidad de hablar de convergencia. Esto conduce al concepto de serie de energía formal, un concepto de la gran utilidad adentro combinatorics algebraico.

Serie de energía en varias variables

Una extensión de la teoría es necesaria para los propósitos de cálculo multivariable. A serie de energía aquí se define para ser una serie infinita de la forma

donde j = (j₁, ..., j_n) es un vector de números naturales, los coeficientes a_{(j1,…, jn)} están generalmente los números verdaderos o complejos, y el centro c = (c₁, ..., c_n) y discusión x = (x₁, ..., x_n) están generalmente los vectores verdaderos o complejos. En el más conveniente multi-índice la notación esto puede ser escrita

La teoría de tal serie es más difícil que para la serie solo-variable, con regiones más complicadas de la convergencia. Por ejemplo, la serie de energía es absolutamente convergente en el sistema {(x₁,x₂): | x₁x₂ | < 1} entre dos hipérbolas. (Éste es un ejemplo de a sistema registro-convexo, en el sentido ese el sistema de puntos (registro | x₁ | , registro | x₂ | ), donde (x₁,x₂) las mentiras en la región antedicha, son un sistema convexo. Más generalmente, uno puede demostrar que cuando c=0, el interior de la región de la convergencia absoluta es siempre un sistema registro-convexo en este sentido.) por otra parte, dentro de esta región de la convergencia una puede distinguir e integrar bajo serie firme, apenas como una puede con serie de energía ordinaria.

Orden de una serie de energía

Deje el α ser un multi-índice para una serie de energía f(x₁, x₂, …, x_n). orden de la serie de energía f se define para ser el menos valor |α| tales que a_α ≠ 0, o 0 si f ≡ 0. Particularmente, para una serie de energía f(x) en una sola variable x, la orden de f es la energía más pequeña de x con un coeficiente distinto a cero. Esta definición extiende fácilmente a Serie de Laurent.

Acoplamientos externos

• Eric W. Weisstein, Serie de energía formal en MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Serie de energía en MathWorld.
• Módulo complejo de la serie de energía de Juan H. Mathews
• Energías de números complejos por Michael Schreiber, El proyecto de demostraciones del volframio.