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Ecuación de Poisson

En matemáticas, Ecuación de Poisson es a ecuación diferencial parcial con amplia utilidad adentro electrostática, ingeniería industrial y física teórica. Se nombra después de Francés matemático, geometer y físico Siméon-Denis Poisson. La ecuación de Poisson es

donde Δ es Operador de Laplace, y f y el φ es verdadero o complejo- valorado funciones en a múltiple. Cuando es el múltiple Espacio euclidiano, denotan al operador de Laplace a menudo como y la ecuación de Poisson se escribe tan con frecuencia como

En tridimensional Coordenadas cartesianos, toma la forma

Para desaparecer f, esta ecuación se convierte Ecuación de Laplace

La ecuación de Poisson se puede solucionar usando a Función de Green; una exposición general de la función de Green para la ecuación de Poisson se da en el artículo sobre ecuación defendida de Poisson. Hay varios métodos para la solución numérica. método de la relajación, un algoritmo iterativo, es un ejemplo.

Electrostática

Una de las piedras angulares principales de electrostática es la presentación y el solucionar de los problemas que son descritos por la ecuación de Poisson. Encontrando el φ para alguno dado f es un problema práctico importante, puesto que ésta es la manera generalmente de encontrar potencial eléctrico para dado carga distribución.

La derivación de la ecuación de Poisson en electrostática sigue. SI se utilizan las unidades y se asume el espacio euclidiano.

Comenzando con Ley de los gauss para la electricidad (también parte de Ecuaciones del maxwell) en un volumen del control diferenciado, tenemos:

medios de tomar divergencia.

es campo eléctrico de la dislocación.

ρ es densidad de la carga.

Si se asume que el medio es linear, isotrópico, y homogéneo (véase densidad de la polarización), entonces:

es constante dieléctrica el medio.

es campo eléctrico.

es constante dieléctrica del vacío.

es constante dieléctrica relativa del medio.

Por la substitución y la división, tenemos:

En ausencia de un campo magnético que cambia, , Ley de Faraday de la inducción da:

es producto cruzado.

t es el tiempo.

Desde enrollamiento del campo eléctrico es cero, es definido por un campo potencial eléctrico escalar, (véase Descomposición de Helmholtz).

Eliminación al lado de la substitución, tenemos una forma de la ecuación de Poisson:

Solucionar la ecuación de Poisson para el potencial requiere saber la distribución de la densidad de la carga. Si la densidad de la carga es cero, entonces Ecuación de Laplace resultados. Si la densidad de la carga sigue a Distribución de Boltzmann, entonces Ecuación de Poisson-Boltzmann resultados. La ecuación de Poisson-Boltzmann desempeña un papel en el desarrollo del Teoría de Debye-Hückel de las soluciones diluídas del electrólito.

(Nota: Aunque la discusión antedicha asume que se presenta el campo magnético que no varía a tiempo, la misma ecuación de Poisson aunque varía a tiempo, mientras Galga del culombio se utiliza. Sin embargo, en este contexto más general, computando es no más suficiente calcular , puesto que el último también depende de potencial magnético del vector, que se debe computar independientemente.)

Potencial de una densidad Gaussian de la carga

Si hay un esférico simétrico Gaussian densidad de la carga ρ (r):

donde Q es la carga total, entonces el φ de la solución (r) de la ecuación de Poisson con ,

,

se da cerca^{[la citación necesitó]}

.

donde erf (x) es función de error. Esta solución se puede comprobar explícitamente por una evaluación manual cuidadosa de . Observe eso, para r mucho σ mayor que, erf (x) unidad de los acercamientos y el φ potencial (r) acerca a carga del punto potencial , como uno esperaría. Además la función del erf acerca a 1 extremadamente rápido como su aumento de la discusión; en la práctica para r > 3σ el error relativo es más pequeño de 1/1000.

Vea también

• Ecuación de Poisson discreto

Acoplamientos externos

• Ecuación de Poisson en PlanetMath.

Referencias