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Conjetura de Poincaré

En matemáticas, Conjetura de Poincaré (Francés, pronunciado [pwɛ̃kaʀe])^[1] es a teorema sobre caracterización de esfera tridimensional entre múltiples tridimensionales. Comenzó como popular, importante conjetura, pero ahora se considera un teorema a la satisfacción de los awarders del Medalla de los campos. La demanda se refiere a un espacio que localmente parezca espacio tridimensional ordinario pero esté conectado, el finito de tamaño, y carece cualquier límite (a cerrado múltiple 3). La conjetura de Poincaré demanda eso si tal espacio tiene la característica adicional que cada uno lazo en el espacio puede ser apretado continuamente a un punto; entonces es justo una esfera tridimensional. Un resultado análogo se ha sabido en dimensiones más altas por una cierta hora.

Después casi de un siglo del esfuerzo de los matemáticos, Grigori Perelman bosquejó una prueba de la conjetura en una serie de los papeles hechos disponibles en 2002 y 2003. La prueba siguió el programa de Richard Hamilton. Varios los equipos del alto-perfil de matemáticos han verificado desde entonces la corrección de la prueba de Perelman.

La conjetura de Poincaré era, antes de ser probado, una de las preguntas abiertas más importantes adentro topología. Es uno de los siete Problemas del premio del milenio, para que Instituto de las matemáticas de la arcilla ofreció un premio $1.000.000 para la primera solución correcta. El trabajo de Perelman sobrevivió revisión y fue confirmado en 2006, conduciendo a él que era ofrecido a Medalla de los campos, que él declinó. La conjetura de Poincaré sigue siendo el único problema solucionado del milenio.

En 22 de diciembre, 2006, el diario Ciencia prueba de Perelman honrado de la conjetura de Poincaré como el científico “Brecha del año, “la primera vez que esto había sido concedida en el área de las matemáticas.^[2]

Problemas del premio del milenio
P contra NP
La conjetura de Hodge
La conjetura de Poincaré
La hipótesis de Riemann
Existencia de los Yang-Molinos y boquete de la masa
Navier-Alimenta existencia y suavidad
La conjetura del abedul y el Swinnerton-Tintóreo

Contenido 1 Historia 1.1 Pregunta de Poincaré 1.2 En otras dimensiones 1.3 Soluciones procuradas 1.4 Programa de Hamilton y solución de Perelman 2 Flujo de Ricci con cirugía 3 Referencias 4 Acoplamientos externos

Historia

Pregunta de Poincaré

Al principio del vigésimo siglo, Henri Poincaré trabajaba en las fundaciones de la topología - qué sería llamada más adelante topología combinatoria y entonces topología algebraica. Él estaba particularmente interesado en qué características topológicas caracterizaron a esfera.

Poincaré demandado en 1900 eso homología, una herramienta que él había ideado basado en trabajo anterior cerca Enrique Betti, era suficiente decir si a múltiple 3 era una esfera 3. Sin embargo, en un papel 1904 él describió un contraejemplo a esta demanda, un espacio ahora llamado Esfera de la homología de Poincaré. La esfera de Poincaré era el primer ejemplo de a esfera de la homología, un múltiple que tenía la misma homología que una esfera, de la cual muchos otros se han construido desde entonces. Para establecer que la esfera de Poincaré era diferente de la esfera 3, Poincaré introdujo un nuevo invariante topológico, grupo fundamental, y demostrado que la esfera de Poincaré tenía a grupo fundamental de la orden 120, mientras que la esfera 3 tenía un grupo fundamental trivial. De esta manera él podía concluir que estos dos espacios eran, de hecho, diferentes.

En el mismo papel, Poincaré se preguntaba si un múltiple 3 con la homología de una esfera 3 pero también grupo fundamental trivial tuvo que ser una esfera 3. La nueva condición de Poincaré - es decir, el “grupo fundamental trivial” - puede ser expresado como “cada lazo puede ser contraído a un punto.”

El expresar de la original era como sigue:

Considere un múltiple de 3 dimensiones compacto V sin límite. ¿Es posible que el grupo fundamental de V podría ser trivial, aun cuando V no es homeomorphic a la esfera de 3 dimensiones?

Poincaré nunca declaró si él creyó que esta condición adicional caracterizaría la esfera 3, pero no obstante, la declaración que lo hace está conocida como Conjetura de Poincaré. Aquí está la forma de estándar de la conjetura:

Cada conectado simplemente, acuerdo 3-múltiple (sin límite) es homeomorphic a la esfera 3.

En otras dimensiones

Artículo principal: Conjetura generalizada de Poincaré

clasificación de superficies cerradas da una respuesta afirmativa a la pregunta análoga en dos dimensiones. Para las dimensiones tres mayor que, una puede presentar Conjetura generalizada de Poincaré: es un homotopy n- esfera homeomorphic a n¿- esfera? La generalización obvia que usa simple-conectividad es falsa, pero simple-conectado, cerrada 3 múltiples es de hecho la misma clase de espacios que 3 esferas homotopy.

Históricamente, mientras que la conjetura en tres dimensiones se parecía plausible, la conjetura generalizada fue pensada para ser falsa. En 1961 Stephen Smale matemáticos dados una sacudida eléctrica demostrando la conjetura generalizada de Poincaré para las dimensiones cuatro mayor que y extendido sus técnicas probar el fundamental teorema del h-cobordism. En 1982 Freedman de Michael probó la conjetura de Poincaré, en su forma topológica, para cuatro dimensiones. La conjetura generalizada se puede también pedir acerca de los múltiples lisos y por trozos-lineares, donde las respuestas completas no se saben todavía completamente.

Estos éxitos anteriores en dimensiones más altas dejaron el caso de tres dimensiones en limbo. La conjetura de Poincaré era esencialmente verdad en la dimensión cuatro y todas las dimensiones más altas por razones substancialmente diversas. En tres dimensiones, la conjetura tenía una reputación incierta hasta conjetura del geometrization puesto le en un marco que gobierna los 3 múltiples. Juan Morgan escribió^[3]:

“Es mi opinión que antes Thurston'trabajo de s encendido 3 múltiples hiperbólicos y. . . la conjetura del Geometrization allí no era ningún consenso entre los expertos si la conjetura de Poincaré era verdad o falsa. Después del trabajo de Thurston, a pesar del hecho de que no tenía ningún directo concerniente la conjetura de Poincaré, un consenso se convirtió que la conjetura de Poincaré (y la conjetura del Geometrization) eran verdades. “

Soluciones procuradas

Por una época, este problema se parece tener inactivo mentida, hasta J. H. C. Whitehead el interés restablecido en la conjetura, cuando en los años 30 él primero demandó una prueba, y entonces la contrajo. En el proceso, él descubrió algunos ejemplos interesantes de los 3 múltiples no compactos simplemente conectados no homeomorphic a R³, el prototipo de que ahora se llama Múltiple de Whitehead.

En los años 50 y los años 60, otros matemáticos debían demandar pruebas para descubrir solamente un defecto. Matemáticos influyentes por ejemplo Bing, Haken, Moise, y Papakyriakopoulos atacó la conjetura. En el Bing 1958 probado una versión débil del Poincaré conjeture: si cada curva cerrada simple de un múltiple del acuerdo 3 se contiene en una bola 3, después el múltiple es homeomorphic a la esfera 3.^[4] El Bing también describió algunas de las trampas en intentar probar la conjetura de Poincaré. ^[5]

En un cierto plazo, la conjetura ganó la reputación de ser particularmente difícil a los trastos. Juan Milnor comentado que a veces los errores en pruebas falsas pueden ser “algo sutiles y difíciles de detectar.”^[6] Trabaje en la comprensión mejorada conjetura de 3 múltiples. Los expertos en la materia eran a menudo renuentes anunciar pruebas, y tendieron para ver cualquier aviso con escepticismo. Los años 80 y los años 90 atestiguaron algunas pruebas engañosas bien-publicadas (que no fueron publicadas realmente adentro par-repasado forma).^[7][8]

Una exposición de tentativas de probar esta conjetura se puede encontrar en premio el libro “del Poincaré no técnico” por George Szpiro.

Programa de Hamilton y solución de Perelman

Artículo principal: Solución de la conjetura de Poincaré

El programa de Hamilton fue comenzado en su papel 1982 en el cual él introdujo Flujo de Ricci en un múltiple y demostrado cómo utilizarlo para probar algunos casos especiales del Poincaré conjeture.^[9] En los años siguientes él extendió este trabajo, pero no podía probar la conjetura. La solución real no fue encontrada hasta Grigori Perelman de Instituto de Steklov de las matemáticas, Santo Petersburg publicó sus papeles usando muchas ideas del trabajo de Hamilton.

En último Perelman 2002 y 2003 fijó tres papeles en arXiv.^[10][11][12] En estos papeles él bosquejó una prueba de la conjetura de Poincaré y de una conjetura más general, Conjetura del geometrization de Thurston, terminando el programa del flujo de Ricci contorneado anterior cerca Richard Hamilton.

A partir de mayo al julio de 2006, varios grupos presentaron los papeles que completaron los detalles de la prueba de Perelman de la conjetura de Poincaré, como sigue:

• Bruce Kleiner y Juan Lott fijó un documento sobre el arXiv en mayo de 2006 que completó los detalles de la prueba de Perelman de la conjetura del geometrization.^[13]
• Huai-Dong Cao y XI-Silba como una bala Zhu publicó un papel en la aplicación del junio de 2006 el diario asiático de las matemáticas que daba una prueba completa de las conjeturas de Poincaré y del geometrization, en las cuales utilizaron un cierto trabajo anterior por Kleiner y Lott.^[14]
• Juan Morgan y Cuadrilla Tian fijó un documento sobre el arXiv en julio de 2006 que dio una prueba detallada apenas de la conjetura de Poincaré (que es algo más fácil que la conjetura completa del geometrization)^[15] y ampliado esto a un libro^[16].

Los tres grupos encontraron que los boquetes en los papeles de Perelman eran de menor importancia y se podrían llenar adentro usando sus propias técnicas.

En 22 de agosto, 2006, ICM Perelman concedido Medalla de los campos para su trabajo sobre la conjetura, pero Perelman rechazó la medalla.^[17][18][19] Juan Morgan habló en el ICM en la conjetura de Poincaré encendido 24 de agosto, 2006, declarando que “en 2003, Perelman solucionó la conjetura de Poincaré.”^[20]

La aplicación del agosto de 2006 El Yorker nuevo contiene un artículo, titulado “Destino mul'tiple“, eso detalla algunas de las ediciones que rodean la realización de Perelman, particularmente algunos desacuerdos que se presentaron entre los matemáticos responsables de verificar su prueba.

La prueba fue llamada la “brecha del año” cerca Ciencia compartimiento.^[2]

Flujo de Ricci con cirugía

Artículo principal: Flujo de Ricci

El programa de Hamilton para probar la conjetura de Poincaré implica primero el poner de a Riemannian métrico en el múltiple cerrado simplemente conectado 3 el desconocido. La idea es intentar mejorar esto métrico; por ejemplo, si el métrico puede ser mejorado bastantes de modo que tenga curvatura constante, después debe ser la esfera 3. El métrico es el usar mejorado Flujo de Ricci ecuaciones;

donde g es el métrico y R su curvatura de Ricci, y uno espera que como el tiempo t aumenta el múltiple llega a ser más fácil de entender. El flujo de Ricci amplía la pieza negativa de la curvatura del múltiple y contrae la partición positiva de la curvatura.

En algunos casos Hamilton podía demostrar que ésta trabaja; por ejemplo, si el múltiple tiene curvatura positiva de Ricci por todas partes él demostró que el múltiple llega a estar extinto en tiempo finito bajo flujo de Ricci sin ningunas otras singularidades. (Es decir el múltiple se derrumba a un punto en tiempo finito; es fácil describir la estructura momentos antes que los derrumbamientos mul'tiples.) esto implican fácilmente la conjetura de Poincaré en el caso de la curvatura positiva de Ricci. Al menos en general las ecuaciones del flujo de Ricci conducen a las singularidades del métrico después de un rato finito. Perelman demostró cómo continuar más allá de estas singularidades: muy áspero, él corta el múltiple a lo largo de las singularidades, partiendo el múltiple en varios pedazos, y después continúa con el flujo de Ricci en cada uno de estos pedazos. Se conoce este procedimiento como Flujo de Ricci con cirugía.

Un caso especial de los teoremas de Perelman sobre el flujo de Ricci con cirugía se da como sigue.

El flujo de Ricci con cirugía en un múltiple orientado cerrado 3 está bien definido por toda la hora. Si el grupo fundamental es a producto libre de grupos finitos y grupos cíclicos entonces el flujo de Ricci con cirugía llega a estar extinto en tiempo finito, y todos los componentes del múltiple son siempre sumas conectadas de S² paquetes encima S¹ y cocientes de S³.

Este resultado implica la conjetura de Poincaré porque es fácil comprobarla para saber si hay los múltiples posibles enumerados en la conclusión.

La condición en el grupo fundamental resulta ser necesaria (y suficiente) para la extinción finita del tiempo, y particularmente incluye el caso del grupo fundamental trivial. Es equivalente a decir que la descomposición primera del múltiple no tiene ningún componente acíclico, y resulta ser equivalente a la condición que todos los pedazos geométricos del múltiple tienen geometries basados en los dos geometries de Thurston S²×R y S³. Estudiando el límite del múltiple por tiempo grande, Perelman probó la conjetura del geometrization de Thurston para cualquier grupo fundamental: en las horas grandes el múltiple tiene una descomposición grueso-fina, que pedazo grueso tiene una estructura hiperbólica, y que pedazo fino es a múltiple del gráfico, solamente esta complicación adicional no es necesaria para probar apenas la conjetura de Poincaré.^[21]

Referencias

Acoplamientos externos

• La conjetura de Poincaré describió por el instituto de las matemáticas de la arcilla.
• Bruce Kleiner (Yale) y Juan Lott (universidad de Michigan): “Notas y comentario en los papeles del flujo de Ricci de Perelman”.
• Stephen Ornes, ¿Cuál es la conjetura de Poincaré?, Compartimiento de la semilla, 25 de agosto 2006.
• diapositivas utilizado por Yau en una charla popular sobre la conjetura de Poincaré.
• “La conjetura de Poincaré” - Radio 4 de BBC programa En nuestro Tiempo, 2 de noviembre de 2006. Contribuidores junio Carretilla-Verde, conferenciante en la historia de las matemáticas en Universidad abierta, Ian Stewart, Profesor de las matemáticas en Universidad de Warwick, Marcus du Sautoy, Profesor de las matemáticas en Universidad de Oxford, y presentador Melvyn Bragg.
• “Solucionando una vieja concesión de las redes del problema de matemáticas, apuro” - Segmento de NPR, 26 de diciembre de 2006.
• Nasar, Sylvia; y Gruber, David. "Destino mul'tiple: Un problema legendario y el excedente de la batalla que lo solucionaron.", El Yorker nuevo, 21 de agosto 2006. Recuperado encendido 2006-08-24.