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Ecuación diferencial parcial

En matemáticas, ecuaciones diferenciales parciales (PDE) es un tipo de ecuación diferencial, es decir, a relación participación de un desconocido función (o funciones) de varios variables independientes y su (respectivamente. su) derivados parciales con respecto a esas variables. Las ecuaciones diferenciales parciales se utilizan para formular, y ayudan así a la solución de, los problemas que implican funciones de varias variables; por ejemplo la propagación de sonido o calor, electrostática, electrodinámica, flujo flúido, elasticidad. Interesante, los fenómenos físicos aparentemente distintos pueden tener formulaciones matemáticas idénticas, y sean gobernados así por el mismo dinámico subyacente.

Contenido

Introducción

Una ecuación diferencial parcial relativamente simple es

Esta relación implica que los valores u(x,y) es la independiente de x. Por lo tanto la solución general de esta ecuación está

donde f es una función arbitraria de y. El análogo ecuación diferencial ordinaria es

cuál tiene la solución

donde c es cualquiera constante valor (independiente de x). Estos dos ejemplos ilustran que las soluciones generales de ecuaciones diferenciales ordinarias implican constantes arbitrarias, pero las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales implican funciones arbitrarias. Una solución de una ecuación diferencial parcial no está generalmente único; las condiciones adicionales se deben especificar generalmente en límite de la región donde se define la solución. Por ejemplo, en el ejemplo simple arriba, la función f(y) puede ser determinado si u se especifica en la línea x = 0.

Existencia y unicidad

Aunque la aplicación la existencia y la unicidad de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias tiene un muy satisfactorio a contestar con Teorema de Picard-Lindelöf, eso está lejos del caso para las ecuaciones diferenciales parciales. Hay un teorema del general ( Teorema de Cauchy-Kovalevskaya) ese estados que Problema de Cauchy para cualquier ecuación diferencial parcial que sea analítico en la función desconocida y sus derivados tenga una solución analítica única. Aunque este resultado pudo aparecer colocar la existencia y la unicidad de soluciones, hay ejemplos de las ecuaciones diferenciales parciales lineares que coeficientes tienen derivados de todas las órdenes (que sean sin embargo no analíticas) pero que no tenga ninguna solución en todos: vea a Lewy (1957). Aunque la solución de una ecuación diferencial parcial existe y es única, él puede sin embargo tener características indeseables. El estudio matemático de estas preguntas está generalmente en el contexto más de gran alcance de soluciones débiles.

Un ejemplo del comportamiento patológico es la secuencia de los problemas de Cauchy (que dependen sobre n) para Ecuación de Laplace

con condiciones iniciales

donde n es un número entero. El derivado de u con respecto a y acercamientos 0 uniformemente en x como n los aumentos, pero la solución es

Esta solución acerca a infinito si nx no es un múltiplo de número entero del π para ningún valor diferente a cero de y. El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se llama enfermo-presentado o no el pozo se presentó, puesto que la solución no depende continuamente de los datos del problema. Tales problemas enfermo-presentados no son generalmente satisfactorios para los usos físicos.

Notación y ejemplos

En PDEs, es común denotar derivados parciales usando subíndices. Eso es:

Especialmente en la física (matemática), una prefiere a menudo uso de del (se escribe que en coordenadas cartesianos ) para los derivados espaciales y un punto para los derivados del tiempo, e.g. para escribir ecuación de onda (véase abajo) como

(notación de la matemáticas)
(notación de la física)

Ecuación del calor en una dimensión del espacio

La ecuación para la conducción del calor en una dimensión para un cuerpo homogéneo tiene la forma

donde u(t,x) es la temperatura, y el α es una constante positiva que describe el índice de la difusión. El problema de Cauchy para esta ecuación consiste en especificar u(0,x) = f(x), donde f(x) es una función arbitraria.

Las soluciones generales de la ecuación del calor se pueden encontrar por el método de separación de variables. Algunos ejemplos aparecen en ecuación del calor artículo. Son ejemplos de Serie de Fourier para periódico f y Fourier transforma para no-periódico f. Con el Fourier transforme, una solución general de la ecuación del calor tiene la forma

donde F es una función arbitraria. Para satisfacer la condición inicial, F es dado por el Fourier transforman de f, eso es

Si f representa un muy pequeño pero la fuente intensa del calor, entonces el integral precedente se puede aproximar por distribución del delta, multiplicado por la fuerza de la fuente. Para una fuente que fuerza se normalice a 1, el resultado está

y la solución que resulta de la ecuación del calor es

Ésta es a Integral Gaussian. Puede ser evaluado para obtener

Este resultado corresponde a una densidad normal de la probabilidad para x con el medio 0 y la variación 2αt. El la ecuación del calor y similar ecuaciones de la difusión son las herramientas útiles para estudiar fenómenos al azar.

Ecuación de onda en una dimensión espacial

ecuación de onda es una ecuación para una función desconocida u(t, x) de la forma

Aquí u pudo describir la dislocación de una secuencia estirada del equilibrio, o la diferencia en la presión de aire en un tubo, o la magnitud de un campo electromagnético en un tubo, y c es un número que corresponde a la velocidad de la onda. El problema de Cauchy para esta ecuación consiste en prescribir la dislocación y la velocidad iniciales de la secuencia o del otro medio:

donde f y g son las funciones dadas arbitrarias. La solución de este problema se da cerca fórmula de los d'Alembert:

Este fórmula implica que la solución en (t,x) depende solamente de los datos del segmento de la línea inicial que es cortada por curvas características

eso se dibuja al revés de ese punto. Estas curvas corresponden a las señales que propagan con velocidad c remita y al revés. Inversamente, la influencia de los datos en cualquier punto dado en la línea inicial propaga con la velocidad finita c: no hay efecto fuera de un triángulo a través de ese punto que lados sean curvas características. Está muy diferente este comportamiento de la solución para la ecuación del calor, donde el efecto de a fuente del punto aparece (con amplitud pequeña) instantáneamente en cada punto en espacio. La solución dada arriba es también válida si t es negativo, y el fórmula explícito demuestra que la solución depende suavemente de los datos: los problemas delanteros y posteriores de Cauchy para la ecuación de onda bien-se presentan.

Ondas esféricas

Las ondas esféricas son las ondas que amplitud depende solamente de la distancia radial r de una central fuente del punto. Para tales ondas, la ecuación de onda tridimensional toma la forma

Esto es equivalente a

y por lo tanto la cantidad ru satisface la ecuación de onda unidimensional. Por lo tanto una solución general para las ondas esféricas tiene la forma

donde F y G son las funciones totalmente arbitrarias. La radiación de una antena corresponde al caso donde G es idénticamente cero. Así la forma de la onda transmitida de una antena no tiene ninguna distorsión a tiempo: el único factor que tuerce es 1r. Esta característica de la propagación no deformada de ondas no está presente si hay dos dimensiones espaciales.

Ecuación de Laplace en dos dimensiones

Ecuación de Laplace para una función desconocida de dos variables el φ tiene la forma

Las soluciones de la ecuación de Laplace se llaman funciones armónicas.

Conexión con funciones

Las soluciones de la ecuación de Laplace en dos dimensiones están conectadas íntimo con funciones analíticas de una variable compleja (a.k.a. funciones holomorphic): las partes verdaderas e imaginarias de cualquier función analítica son armónico conyugal funciones: ambos satisfacen la ecuación de Laplace, y sus gradientes son orthogonal. Si f=u+intravenoso, entonces Ecuaciones de Cauchy-Riemann indique eso

y sigue eso

Inversamente, dado cualquier función armónica en dos dimensiones, es la parte real de una función analítica, por lo menos localmente. Los detalles se dan adentro Ecuación de Laplace.

Un problema de valor de límite típico

Un problema típico para la ecuación de Laplace es encontrar una solución que satisfaga valores arbitrarios en el límite de un dominio. Por ejemplo, podemos buscar una función armónica que adquiera los valores u(θ) en un círculo del radio uno. La solución fue dada cerca Poisson:

Petrovsky (1967, P. 248) demuestra cómo este fórmula puede ser obtenido sumando una serie de Fourier Para el φ. Si r<1, los derivados del φ puede ser computado distinguiendo bajo muestra integral, y una puede verificar que el φ sea analítico, aunque u es continuo pero no no necesariamente diferenciable. Este comportamiento es típico para las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas: las soluciones pueden ser mucho más lisas que los datos del límite. Esto está en contraste con soluciones del ecuación de onda, y más general ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas, que no tienen típicamente no más de derivado que los datos.

Ecuación de Euler-Tricomi

Ecuación de Euler-Tricomi se utiliza en la investigación de transónico flujo. Es

Ecuación de la advección

ecuación de la advección describe el transporte de un escalar conservado ψ en un campo de la velocidad . Es:

Si es el campo de la velocidad solenoidal (es decir, ), entonces la ecuación se puede simplificar a

La ecuación unidimensional de la advección del flujo constante ψt + u.ψx = 0 (donde u es constante) se refiere comúnmente como el problema del pigpen. Si u no es constante e igual a ψ se refiere la ecuación como Ecuación de las hamburguesas.

Ecuación del Ginzburg-Landau

Ecuación del Ginzburg-Landau se utiliza en modelar superconductividad. Es

donde y son las constantes y i es la unidad imaginaria.

La ecuación de Dym

Ecuación de Dym se nombra para Harry Dym y ocurre en el estudio de solitons. Es

Otros ejemplos

Ecuación de Schrödinger está un PDE en el corazón de no-relativista mecánicos del quántum. En Aproximación de WKB es Ecuación de Hamilton-Jacobi.

A excepción de la ecuación de Dym y de la ecuación del Ginzburg-Landau, las ecuaciones antedichas están linear en el sentido que pueden ser escritos en la forma Au = f para dado operador linear A y una función dada f. Otras ecuaciones no lineares importantes incluyen Navier-Alimenta ecuaciones describir el flujo de líquidos, y Einstein ecuaciones del campo de relatividad general.

También vea lista de ecuaciones diferenciales parciales no lineares.

Métodos para solucionar PDEs

El método de separación de variables rendirá soluciones particulares de un PDE linear en dominios muy simples tales como rectángulos que puedan satisfacer condiciones de la inicial o de límite. Porque cualesquiera superposición de soluciones de un PDE linear está otra vez una solución, las soluciones particulares se puede entonces combinar para obtener soluciones más generales. Si el dominio es finito o periódico, una suma infinita de soluciones tales como a Serie de Fourier es apropiados, pero un integral de soluciones tales como a Integral de Fourier se requiere generalmente para los dominios infinitos. La solución para una fuente del punto para la ecuación del calor dada arriba es un ejemplo para el uso de un integral de Fourier.

problemas del valor del Inicial-límite

Muchos problemas de Física matemática se formulan como problemas del valor del inicial-límite.

Secuencia que vibra

Si la secuencia se estira entre dos puntos donde x=0 y x=L y u denota la amplitud de la dislocación de la secuencia, entonces u satisface la ecuación de onda unidimensional en la región donde 0<x<L y t es ilimitado. Puesto que la secuencia se ata abajo en los extremos, u la necesidad también satisface las condiciones de límite

así como las condiciones iniciales

El método de separación de las variables para la ecuación de onda

conduce a las soluciones de la forma

donde

donde la constante k debe ser determinado. Las condiciones de límite entonces implican eso X es un múltiplo del pecado KX, y k debe tener la forma

donde n es un número entero. Cada término en la suma corresponde a un modo de la vibración de la secuencia. El modo con n=1 se llama el modo fundamental, y las frecuencias de los otros modos son todos los múltiplos de esta frecuencia. Forman serie de la insinuación la secuencia, y de ellos está la base para la acústica musical. Las condiciones iniciales pueden entonces ser satisfechas representando f y g como sumas infinitas de estos modos. Los instrumentoes de viento corresponden típicamente a las vibraciones de una columna del aire con un extremo abierto y un extremo cerrado. Las condiciones de límite correspondientes son

El método de separación de variables se puede también aplicar en este caso, y conduce a una serie de insinuaciones impares.

El problema general de este tipo se soluciona adentro Teoría de Sturm-Liouville.

Membrana que vibra

Si una membrana se estira sobre una curva C eso forma el límite de un dominio D en el plano, sus vibraciones son gobernadas por la ecuación de onda

si t>0 y (x,y) está adentro D. La condición de límite es u(t,x,y) = 0 si (x,y) está encendido C. El método de separación de variables conduce a la forma

cuál alternadamente debe satisfacer

La última ecuación se llama Ecuación de Helmholtz. La constante k debe ser determinado para permitir un no trivial v para satisfacer la condición de límite encendido C. Tales valores de k2 se llaman los valores propios del Laplacian adentro D, y las soluciones asociadas son las funciones propias del Laplacian adentro D. La teoría de Sturm-Liouville se puede ampliar a este problema elíptico del valor propio (Jost, 2002).

No hay métodos generalmente aplicables para solucionar PDEs no linear. No obstante, la existencia y la unicidad resulta (por ejemplo Teorema de Cauchy-Kovalevskaya) sea a menudo posible, al igual que pruebas de características cualitativas y cuantitativas importantes de soluciones (conseguir estos resultados es una parte importante de análisis). Solución de cómputo al PDEs no lineal, método del Partir-paso, exista para las ecuaciones específicas como la ecuación de Schrodinger no linear.

Sin embargo, algunas técnicas se pueden utilizar para varios tipos de ecuaciones. h-principio es el método más de gran alcance a solucionar underdetermined ecuaciones. La teoría de Riquier-Janet es un método eficaz para obtener la información sobre muchos analíticos overdetermined sistemas.

método de características (Método de la transformación de la semejanza) puede ser utilizado en algunos casos muy especiales solucionar ecuaciones diferenciales parciales.

En algunos casos, un PDE se puede solucionar vía el análisis de la perturbación en el cual la solución se considera ser una corrección a una ecuación con una solución sabida. Los alternativas son análisis numérico técnicas de simple diferencia finita esquemas al más maduro multigrid y métodos de elemento finito. Muchos problemas interesantes en ciencia y la ingeniería se solucionan al este usar de la manera computadoras, rendimiento a veces alto superordenadores.

Clasificación

Algunas ecuaciones diferenciales parciales lineares, second-order se pueden clasificar como parabólico, hiperbólico o elíptico. Otros tales como Ecuación de Euler-Tricomi tenga diferente mecanografía adentro diversas regiones. La clasificación proporciona una guía a las condiciones apropiadas de la inicial y de límite, y a la suavidad de las soluciones.

Ecuaciones de la segunda orden

El asumir uxy = uyx, el PDE second-order general en dos variables independientes tiene la forma

donde los coeficientes A, B, C etc. puede depender sobre x y y. Esta forma es análoga a la ecuación para una sección cónica:

Apenas como uno clasifica secciones cónicas en parabólico, hiperbólico, y elíptico basado en discriminante B2 − 4AC, iguales se pueden hacer para un PDE second-order en un punto dado.

  1.  : soluciones de PDEs elíptico sea tan liso como los coeficientes permiten, dentro del interior de la región donde se definen la ecuación y las soluciones. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación de Laplace son analíticas dentro del dominio donde se definen, pero las soluciones pueden asumir los valores límites que no son lisos. El movimiento de un líquido a las velocidades subsónicas se puede aproximar con PDEs elíptico, y está elíptica la ecuación de Euler-Tricomi donde x<0.
  2.  : ecuaciones que son parabólico en cada punto puede ser transformado en una forma análoga a la ecuación del calor por un cambio de variables independientes. Las soluciones alisan hacia fuera mientras que la variable transformada del tiempo aumenta. La ecuación de Euler-Tricomi tiene tipo parabólico en la línea donde x=0.
  3.  : hiperbólico las ecuaciones conservan cualquier discontinuidad de funciones o de derivados en los datos iniciales. Un ejemplo es ecuación de onda. El movimiento de un líquido a las velocidades supersónicas se puede aproximar con PDEs hiperbólico, y está hiperbólica la ecuación de Euler-Tricomi donde x>0.

Si hay n variables independientes x1, x2 , ..., xn, una ecuación diferencial parcial linear general de la segunda orden tiene la forma

La clasificación depende de la firma de los valores propios de la matriz del coeficiente.

  1. Elíptico: Los valores propios son todos positivos o todo negativos.
  2. Parabólico: Los valores propios son todos positivos o todo la negativa, excepto una que sea cero.
  3. Hiperbólico: Hay solamente un valor propio negativo y todo el resto es positivo, o hay solamente un valor propio positivo y todo el resto es negativo.
  4. Ultrahyperbolic: Hay más de un valor propio positivo y más de un valor propio negativo, y no hay valores propios cero. Hay solamente teoría limitada para las ecuaciones ultrahyperbolic (Courant e Hilbert, 1962).

Sistemas de ecuaciones de primer orden y de superficies características

La clasificación de ecuaciones diferenciales parciales se puede ampliar a los sistemas de las ecuaciones de primer orden, donde el desconocido u ahora está un vector con m componentes, y las matrices del coeficiente Aν sea m por m matrices para . La ecuación diferencial parcial toma la forma

donde las matrices del coeficiente Aν y el vector B puede depender sobre x y u. Si un hypersurface S se da en la forma implícita

donde el φ tiene un gradiente diferente a cero, entonces S es a superficie característica para el operador L en un punto dado si la forma característica desaparece:

La interpretación geométrica de esta condición es como sigue: si datos para u se prescriben en la superficie S, entonces puede ser posible determinar el derivado normal de u en S de la ecuación diferencial. Si los datos encendido S y la ecuación diferencial determina el derivado normal de u en S, entonces S es no-característico. Si los datos encendido S y la ecuación diferencial no determine el derivado normal de u en S, entonces la superficie está característico, y la ecuación diferencial restringe los datos encendido S: la ecuación diferencial es interno a S.

  1. Un sistema de primer orden Lu=0 es elíptico si no hay superficie característica para L: los valores de u en S y la ecuación diferencial determina siempre el derivado normal de u en S.
  2. Un sistema de primer orden es hiperbólico en un punto si hay a espacio-como superficie S con el ξ normal en ese punto. Esto significa eso, dado cualquier η no trivial del vector orthogonal al ξ, y un λ escalar del multiplicador, la ecuación

tiene m λ verdadero de las raíces1, λ2,…, λm. El sistema es terminantemente hiperbólico si estas raíces son siempre distintas. La interpretación geométrica de esta condición es como sigue: la forma característica Q(ζ) =0 define un cono (el cono normal) con el ζ homogéneo de los coordenadas. En el caso hiperbólico, este cono tiene m hojas, y los funcionamientos del ζ = del λ ξ del eje dentro de estas hojas: no interseca cualesquiera de ellos. Pero cuando es desplazado del origen por el η, este eje interseca cada hoja. En el caso elíptico, el cono normal no tiene ninguna hoja verdadera.

Ecuaciones de de tipo mixto

Si un PDE tiene coeficientes que no sean constantes, es posible que no pertenecerán a ninguno de estos categorías sino estarán algo de de tipo mixto. Un ejemplo simple pero importante es la ecuación de Euler-Tricomi

se llama cuál elíptico-hiperbólico porque es elíptico en la región x < 0, hiperbólico en la región x > 0, y parabólico degenerado en la línea x = 0.

Referencias

  • R. Courant y D. Hilbert, Métodos de física matemática, vol. II. Wiley-Interscience, Nueva York, 1962.
  • L.C. Evans, Ecuaciones diferenciales parciales, Society matemática americana, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • F. Juan, Ecuaciones diferenciales parciales, Springer-Verlag, 1982.
  • J. Jost, ecuaciones diferenciales parciales, Springer-Verlag, Nueva York, 2002.
  • Hans Lewy (1957) un ejemplo de una ecuación diferencial parcial linear lisa sin la solución. Los anales de las matemáticas, 2da serie, 66 (1), 155-158.
  • I.G. Petrovskii, Ecuaciones diferenciales parciales, W. B. Saunders Co., Philadelphia, 1967.
  • A. D. Polyanin, Manual de las ecuaciones diferenciales parciales lineares para los ingenieros y los científicos, Chapman y prensa de Hall/CRC, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
  • A. D. Polyanin y V. F. Zaitsev, Manual de ecuaciones diferenciales parciales no lineales, Chapman y prensa de Hall/CRC, Boca Raton, 2004. ISBN 1-58488-355-3
  • A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev, y A. Moussiaux, manual de las ecuaciones diferenciales parciales de la primera orden, Taylor y Francis, Londres, 2002. ISBN 0-415-27267-X
  • D. Zwillinger, Manual de las ecuaciones diferenciales (3ro edición), Prensa académica, Boston, 1997.
  • Y. Pinchover y J. Rubinstein, Una introducción a las ecuaciones diferenciales parciales, Prensa de la universidad de Cambridge, Cambridge, 2005. ISBN 978-0-521-84886-2

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