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El coseno discreto modificado transforma

el coseno discreto modificado transforma (MDCT) es a Fourier-relacionado transforme de acuerdo con el tipo-IV el coseno discreto transforma (DCT-IV), con la característica adicional de ser traslapado: se diseña para ser realizado en bloques consecutivos de un dataset más grande, donde se traslapan los bloques subsecuentes de modo que la última mitad de un bloque coincida con la primera mitad del bloque siguiente. Este traslapo, además de las calidades de la energía-compactación del DCT, hace el MDCT especialmente atractivo para los usos de la compresión de la señal, puesto que ayuda a evitar artefactos provenir los límites de bloque. Así, un MDCT se emplea adentro MP3, AC-3, Ogg Vorbis, y AAC para compresión audio, por ejemplo.

El MDCT fue propuesto por Princen, Johnson, y Bradley adentro 1987, (1986) trabajos anterior de siguiente de Princen y Bradley para desarrollar el principio subyacente del MDCT de cancelación del aliasing del tiempo-dominio (TDAC), descrito más abajo. (También existe un análogo transforma, el MDST, basado en el seno discreto transforma, tan bien como otro, utilizado raramente, forma del MDCT basado en diversos tipos de combinaciones de DCT o de DCT/DST.)

En MP3, el MDCT no se aplica a la audioseñal directamente, sino algo a la salida de una venda 32 filtro polifásico de la cuadratura Banco (PQF). La salida de este MDCT es postprocesada por un fórmula de la reducción del alias para reducir el aliasing típico del banco de filtro de PQF. Tal combinación de un banco de filtro con un MDCT se llama a híbrido banco de filtro o a subband MDCT. AAC, por otra parte, utiliza normalmente un MDCT puro; solamente (utilizado raramente) MPEG-4 AAC-SSR variante (por Sony) utiliza un banco four-band de PQF seguido por un MDCT. ATRAC aplicaciones apiladas filtros del espejo de la cuadratura (QMF) seguido por un MDCT.

Contenido 1 Definición 1.1 Lo contrario transforma 1.2 Cómputo 2 Funciones de la ventana 3 Relación a DCT-IV y al origen de TDAC 3.1 Origen de TDAC 3.2 TDAC para windowed MDCT 4 Referencias

Definición

Pues traslapado transforma, el MDCT es un pedacito inusual comparado a otro Fourier-relacionado transforma en que tiene mitad de tantas salidas como entradas (en vez del mismo número). Particularmente, es a linear función F : R^2N -> R^N (donde R denota el sistema de números verdaderos). Los 2N números verdaderos x₀, ..., x_2N-1 se transforman en N números verdaderos X₀, ..., X_N-1 según el fórmula:

(El coeficiente de la normalización delante de esto transforma, aquí unidad, es una convención arbitraria y diferencia entre los tratamientos. Solamente el producto de las normalizaciones del MDCT y del IMDCT, abajo, se obliga.)

Lo contrario transforma

El MDCT inverso se conoce como IMDCT. Porque hay diversos números de entradas y de salidas, a primera vista puede ser que se parezca que el MDCT no debe ser inversible. Sin embargo, el invertibility perfecto se alcanza cerca adición el IMDCTs traslapado de bloques traslapados subsecuentes, causando los errores a cancelación y los datos originales que se recuperarán; se conoce esta técnica como cancelación del aliasing del tiempo-dominio (TDAC).

El IMDCT transforma N números verdaderos X₀, ..., X_N-1 en 2N números verdaderos y₀, ..., y_2N-1 según el fórmula:

(Como para el DCT-IV, un orthogonal transforma, lo contrario hace que la misma forma que el delantera transforme.)

En el caso de a windowed MDCT con la normalización generalmente de la ventana (véase abajo), el coeficiente de la normalización delante del IMDCT debe ser multiplicado por 2 (es decir, 2 que se conviertenN).

Cómputo

Aunque el uso directo del fórmula de MDCT requeriría O (N²) las operaciones, es posible computar la misma cosa con solamente O (N registro N) complejidad recurrentemente descomponiendo en factores el cómputo, como en Fourier rápido transforma (FFT). Uno puede también computar MDCTs vía otro transforma, típicamente un DFT (FFT) o un DCT, combinado con O (N) pasos pre y del post-processing. También, como descrito más abajo, cualquier algoritmo para el DCT-IV proporciona inmediatamente un método para computar el MDCT y el IMDCT del tamaño uniforme.

Funciones de la ventana

En usos típicos de la señal-compresión, las características del transformar son mejoradas más a fondo usando a función de la ventana W_n (n = 0,…, 2N-1) con que se multiplica x_n y y_n en los fórmulas de MDCT y de IMDCT, arriba, para evitar discontinuidades en n = 0 y 2N los límites haciendo la función van suavemente a cero en esos puntos. (Es decir, nosotros ventana los datos antes el MDCT y después los IMDCT.) en principio, x y y podría tener diversas funciones de la ventana, y la función de la ventana podría también cambiar a partir de un bloque al siguiente (especialmente para el caso donde los bloques de los datos de diversos tamaños se combinan), pero para la simplicidad consideramos el caso común de las funciones idénticas de la ventana para los bloques igual-clasificados.

El transformar sigue siendo inversible (es decir, los trabajos de TDAC), para una ventana simétrica W_n = W_2N-1-n, mientras W satisface la condición de Princen-Bradley:

.

Varias diversas funciones de la ventana son comunes, e.g.

para MP3 y MPEG-2 AAC, y

para Vorbis. AC-3 utiliza a Kaiser-Bessel derivó La ventana (KBD), y MPEG-4 AAC pueden también utilizar una ventana de KBD.

Observe que las ventanas se aplicaron al MDCT son diferentes de las ventanas usadas para otros tipos de análisis de la señal, puesto que deben satisfacer la condición de Princen-Bradley. Una de las razones de esta diferencia es que las ventanas de MDCT están aplicadas dos veces, para el MDCT (análisis) y el IMDCT (síntesis).

Relación a DCT-IV y al origen de TDAC

Como puede ser visto por la inspección de las definiciones, para uniforme N el MDCT es esencialmente equivalente a un DCT-IV, donde la entrada se cambia de puesto cerca N/2 y dos N- los bloques de datos se transforman inmediatamente. Examinando esta equivalencia más cuidadosamente, las características importantes como TDAC pueden ser derivadas fácilmente.

Para definir la relación exacta al DCT-IV, uno debe realizar que el DCT-IV corresponde a alternarse incluso/las condiciones de límite impares: iguale en su límite izquierdo (alrededor n=-1/2), impar en su límite derecho (alrededor n=N- el 1/2), y así sucesivamente (en vez de límites periódicos en cuanto a a DFT). Esto sigue de las identidades y . Así, si sus entradas son un arsenal x de la longitud N, podemos imaginarnos el ampliar de este arsenal a (x, –x_R, –x, x_R,…) y así sucesivamente, donde x_R denota x en orden reversa.

Considere un MDCT con 2N entradas y N salidas, donde dividimos las entradas en cuatro bloques (a, b, c, d) cada uno del tamaño N/2. Si cambiamos de puesto éstos cerca N/2 (de +Ntérmino de /2 en la definición de MDCT), entonces (b, c, d) extienda más allá del final del N Las entradas de DCT-IV, así que nosotros debemos “doblarlos” detrás según las condiciones de límite descritas arriba.

Así, el MDCT de 2N entradas (a, b, c, d) es exactamente equivalente a un DCT-IV del N entradas: (–c_R–d, a–b_R), donde R denota la revocación como arriba.

(De esta manera, cualquier algoritmo de computar el DCT-IV se puede aplicar trivial al MDCT.)

Semejantemente, el fórmula de IMDCT arriba es el exacto 1/2 del DCT-IV (que es su propio lo contrario), donde la salida se cambia de puesto cerca N/2 y extendido (vía las condiciones de límite) a una longitud 2N. El DCT-IV inverso daría simplemente detrás las entradas (-c_R–d, a–b_R) de arriba. Cuando esto se cambia de puesto y se amplía vía las condiciones de límite, una obtiene:

IMDCT (MDCT (a, b, c, d)) = (a–b_R, b–a_R, c+d_R, c_R+d) / 2.

(La mitad de las salidas de IMDCT es así redundante.)

Uno puede ahora entender cómo TDAC trabaja. Suponga que uno computa el MDCT del subsecuente, el 50% traslapado, 2N bloque (c, d, e, f). El IMDCT entonces rendirá, análogo al antedicho: (c–d_R, d–c_R, e+f_R, e_R+f) / 2. Cuando esto se agrega con el resultado anterior de IMDCT por la mitad traslapado, la cancelación e invertida los términos obtiene simplemente (c, d), recuperando los datos originales.

Origen de TDAC

El origen del término “cancelación del aliasing del tiempo-dominio” está claro ahora. El uso de los datos de entrada que extienden más allá de los límites del DCT-IV lógico hace los datos ser aliased exactamente de la misma manera esas frecuencias más allá del Frecuencia de Nyquist sea aliased a frecuencias más bajas, salvo que a este aliasing ocurre en el dominio de tiempo en vez del dominio de la frecuencia. Por lo tanto las combinaciones c–d_R y así sucesivamente, que tienen exacto las muestras derechas para que las combinaciones cancelen cuando se agregan.

Para impar N (que se utilizan raramente en la práctica), N/2 no es un número entero así que el MDCT no es simplemente una permutación de la cambio de un DCT-IV. En este caso, la cambio adicional por mitad de una muestra significa que el MDCT/IMDCT llega a ser equivalente al DCT-III/II, y el análisis es análogo al antedicho.

TDAC para windowed MDCT

Sobre, la característica de TDAC fue probada para el MDCT ordinario, demostrando que eso la adición de IMDCTs de bloques subsecuentes por la mitad su traslapado recupera los datos originales. La derivación de esta característica inversa para windowed MDCT es solamente levemente más complicada.

Memoria de antedicho que cuando (a,b,c,d) y (c,d,e,f) es MDCTed, IMDCTed, y agregado por la mitad su traslapado, obtenemos (c + d_R,c_R + d) / 2 + (c − d_R,d − c_R) / 2 = (c,d), los datos originales.

Ahora suponemos que nos multiplicamos ambos las entradas de MDCT y las salidas de IMDCT por una función de la ventana de la longitud 2N. Como arriba, asumimos una función simétrica de la ventana, que está por lo tanto de la forma (W,z,z_R,W_R) donde W y z es la longitudNvectores de /2 y R denota la revocación como antes. Entonces la condición de Princen-Bradley puede ser escrita: , con las multiplicaciones y el elementwise realizado adiciones, o equivalente (invirtiendo W y z).

Por lo tanto, en vez de MDCTing (a,b,c,d), nosotros ahora MDCT (Wa,zb,z_Rc,W_Rd) (con todo el elementwise realizado multiplicaciones). Cuando éste es IMDCTed y multiplicado otra vez (elementwise) por la función de la ventana, dureN la mitad se convierte:

.

(La nota que tenemos no más la multiplicación por el 1/2, porque la normalización de IMDCT diferencia por un factor de 2 en windowed el caso.)

Semejantemente, windowed MDCT e IMDCT de (c,d,e,f) producciones, en su primeroN medio:

.

Cuando agregamos estas dos mitades juntas, obtenemos:

recuperación de los datos originales.

Referencias

• Henrique S. Malvar, El proceso de señal con traslapado transforma (Casa de Artech: Norwood MA, 1992).

• Juan P. Princen y Alan B. Bradley, “análisis/diseño del banco de filtro de la síntesis basado en la cancelación del aliasing del dominio de tiempo,” Transporte de IEEE. Acoust. Sig del discurso. Proc. ASSP-34 (5), 1153-1161 (1986). (Descrito un precursor al MDCT usar una combinación del coseno y del seno discretos transforma.)

• J. P. Princen y A. W. Johnson y A. B. Bradley, “Subband/transforma la codificación usando los diseños del banco de filtro basados en la cancelación del aliasing del dominio de tiempo,” IEEE Proc. Intl. Conf. al acústica, discurso, y procesar de señal (ICASSP) 12, 2161-2164 (1987). (Descripción inicial de qué ahora se llama el MDCT.)

• A. W. Johnson y A. B. Bradley, “adaptante transforma la cancelación del aliasing del dominio de tiempo de la codificación que incorpora,” Comm del discurso. 6, 299-308 (1987).

• Para los algoritmos, vea e.g.:
  • Chi-Minuto Liu y heces de Wen-Chieh, “Un algoritmo rápido unificado para el coseno moduló filterbanks en estándares audio actuales", J. Ingeniería audio 47 (12), 1061-1075 (1999).
  • V. Britanak y K. R. Rao, “un nuevo algoritmo rápido para el cómputo delantero e inverso unificado de MDCT/MDST,” Proceso de señal 82, 433-459 (2002)
  • Vladimir Nikolajevic y Gerhard Fettweis, “cómputo de MDCT delantero e inverso usando el fórmula de repetición de Clenshaw,” Transporte de IEEE. Sig. Proc. 51 (5), 1439-1444 (2003)
  • Che-Hong Chen, Compartimiento-Da Liu, y Tarro-Ferr Yang, las “arquitecturas recurrentes para realizar coseno discreto modificado transforma y su lo contrario,” Transporte de IEEE. Sistema de los circuitos. II: Empuje análogo. Sig. Proc. 50 (1), 38-45 (2003)
  • … y referencias de eso.

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