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Matriz (matemáticas)

En matemáticas, a matriz (plural matrices) es una tabla rectangular de elementos (o entradas), que puede ser números o, más generalmente, cualesquiera cantidades abstractas que pueden ser agregadas y ser multiplicadas. Las matrices se utilizan para describir ecuaciones lineares, no pierda de vista coeficientes de transformaciones lineares y para registrar los datos que dependen de parámetros múltiples. Las matrices son descritas por el campo de teoría de la matriz. Las matrices se pueden agregar, multiplicar, y descomponer de varias maneras, de que también le hace un concepto dominante en el campo álgebra linear.

En este artículo, las entradas de una matriz están verdadero o complejo números a menos que se indicare en forma diferente.

Contenido

Definiciones y notaciones

Las lineas horizontales en una matriz se llaman filas y se llaman las líneas verticales columnas. Una matriz con m filas y n las columnas se llaman m- cercan matriz (escrita m × n) y m y n se llaman su dimensiones. Las dimensiones de una matriz se dan siempre con el número de filas primero, entonces el número de columnas. Se dice comúnmente que m- cercan la matriz tiene orden de m × n (tamaño del significado de la “orden”). Dos matrices de la misma orden que entradas correspondientes son equivalentes se consideran iguales.

Las mayúsculas casi siempre denotan matrices con las letras minúsculas correspondientes con dos índices que representan las entradas. Por ejemplo, la entrada de una matriz A ese miente en i- fila del th y j- se escribe la columna del th como ai, j y llamado i, j entrada o (i, j)- entrada del th de A. Las notaciones alternativas para esa entrada son A[i, j] o Ai, j. La fila es siempre primera conocido, entonces la columna. En este ejemplo, A (sin subíndices) simbolizaría la matriz entera. Además de usar letras mayúsculas como símbolos que representan matrices, muchos autores utilizan un estilo tipográfico especial, comúnmente montante de la negrilla (no-itálico), para distinguir más lejos matrices de otras variables. Después de esta convención, A es una matriz, distinguida de A, un escalar. Una convención alterna es anotar matrices con sus dimensiones en tipo pequeño por debajo del símbolo, por ejemplo, para r- cercac matriz.

Escribimos a menudo o para definir m × n matriz A. En este caso, las entradas ai, j se definen por separado para todos los números enteros 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. En algunos lenguajes de programación, la enumeración de filas y las columnas empieza cero. Los textos que utilizan cualquier lengua extensivamente siguen con frecuencia a esa convención, así que tenemos 0 ≤ i ≤ m-1 y 0 ≤ j ≤ n-1.

Una matriz donde una de las dimensiones iguala uno a menudo se llama a vector, e interpretado como elemento de espacio coordinado verdadero. m matriz del × 1 (una columna y m las filas) se llaman a vector de la columna y un 1 × n matriz (una fila y n las columnas) se llaman a vector de la fila.

Definición matemática

matriz es a función donde está novacie el sistema.

es Producto cartesiano de sistemas y

Decimos esa matriz está un excedente de la matriz el sistema . La cosa importante a observar es ésa, si deseamos tener álgebra de la matriz, el sistema debe ser a anillo y matriz debe ser una matriz del cuadrado (véase Matrices cuadradas y definiciones relacionadas debajo para de la explicación adicional). Puesto que el sistema de todas las matrices cuadradas sobre un anillo es también un anillo, la álgebra de la matriz se llama generalmente anillo de la matriz.

Puesto que este artículo considera principalmente matrices encima números verdaderos, las matrices demostradas aquí son realmente funciones

Ejemplo

La matriz

  o  

es a matriz. El elemento a2,3 o es 7. En términos de definición matemática dada arriba, esta matriz es una función y, por ejemplo, y

La matriz

es a matriz, o vector de la fila de 9 elementos.

Operaciones básicas

Suma

Artículo principal: Adición de la matriz

Dos o más matrices de dimensiones idénticas m y n puede ser agregado. Dado m- cercan matrices A y B, su sume A+B es m- cercan matriz computada agregando elementos correspondientes:

Por ejemplo:

Otro, noción mucho menos de uso frecuente de la adición de la matriz es suma directa.

Multiplicación escalar

Artículo principal: Multiplicación escalar

Dado una matriz A y un número c, multiplicación escalar cA es computado multiplicando cada elemento de A por escalar c (es decir. ). Por ejemplo:

La adición de la matriz y la multiplicación escalar dan vuelta al sistema de todos m- cercan matrices con verdadero entradas en un verdadero espacio del vector de la dimensión .

Multiplicación de la matriz

Artículo principal: Multiplicación de la matriz

Multiplicación de dos matrices está bien definido solamente si el número de columnas de la matriz izquierda es igual que el número de filas de la matriz derecha. Si A es m- cercan matriz y B es n- cercap matriz, entonces su producto AB de la matriz es m- cercap matriz dada cerca:

para cada par (i,j). Por ejemplo:

La multiplicación de la matriz tiene las características siguientes:

  • (AB)C = A(A.C.) para todos k- cercam matrices A, m- cercan matrices B y n- cercap matrices C (“associativity”).
  • (A+B)C = CA+A.C. para todos m- cercan matrices A y B y n- cercak matrices C (“distributivity derecho”).
  • C(A+B) = CA+CBES para todos m- cercan matrices A y B y k- cercam matrices C (“distributivity dejado”).

La multiplicación de la matriz no es comutativo; es decir, matrices dadas A y B y su producto definido, entonces generalmente AB  BA. Puede también suceder eso AB se define pero BA no se define.

Además de la multiplicación ordinaria de la matriz apenas descrita, existen otras operaciones en las matrices que se pueden considerar las formas de multiplicación, tales como Producto de Hadamard y Producto de Kronecker.

Transformaciones lineares

Artículo principal: Matriz de la transformación

Las matrices pueden representar convenientemente transformaciones lineares porque la multiplicación de la matriz corresponde cuidadosamente a la composición de mapas, como será descrito después. Esta misma característica les hace las estructuras de datos de gran alcance en lenguajes de programación de alto nivel.

Aquí y en la consecuencia identificamos Rn con el sistema de “columnas” o n- matrices by-1. Para cada mapa linear f : Rn → Rm existe un único m- cercan matriz A tales que f(x) = Hacha para todos x en Rn. Decimos que la matriz A “representa” el mapa linear f. Ahora si k- cercam matriz B representa otro mapa linear g : Rm → Rk, entonces el mapa linear g o f se representa cerca BA. Esto sigue del associativity antedicho de la multiplicación de la matriz.

Más generalmente, un mapa linear del n- espacio dimensional del vector a m- el espacio dimensional del vector es representado por m- cercan matriz, a condición de que bases se han elegido para cada uno.

Filas

Artículo principal: Fila de una matriz

fila de una matriz A es dimensión de imagen del mapa linear representado cerca A; éste es igual que la dimensión del espacio generado por las filas de A, y también igual que la dimensión del espacio generado por las columnas de A. Puede también ser definido sin referencia a la álgebra linear como sigue: la fila del m- cercan matriz A es el número más pequeño k tales que A puede ser escrito como producto A.C. donde B es m- cercak matriz y C es a k- cercan matriz (aunque esto no es una manera práctica de computar a la fila).

Transporte

Artículo principal: Transporte

transporte de m- cercan matriz A es n- cercam matriz Atr (también escrito a veces como AT o tA) formado dando vuelta rema en columnas y columnas en filas, es decir. Atr[i, j] = A[j, i] para todos los índices i y j. Si A describe un mapa linear con respecto a dos bases, entonces la matriz Atr describe el transportar del mapa linear con respecto a las bases duales, ve espacio dual.

Tenemos (A + B)tr = Atr + Btr y (AB)tr = Btr Atr.

Raíz cuadrada

Artículo principal: Raíz cuadrada de una matriz

Dos dados limitaron matrices T y B, B es una raíz cuadrada de T si T = B*B.

Matrices cuadradas y definiciones relacionadas

A matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas y de columnas. El sistema de todo el cuadrado n- cercan las matrices, junto con la adición de la matriz y la multiplicación de la matriz son a anillo. A menos que n = 1, este anillo no es comutativo.

M (n, R), el anillo de matrices cuadradas verdaderas, es un unitario verdadero álgebra sociable. M (n, C), el anillo de matrices cuadradas complejas, es una álgebra sociable compleja.

matriz de la unidad o matriz de la identidad In, con los elementos en diagonal principal el sistema a 1 y el resto de los elementos fijados a 0, satisface MIn = M y InN = N para cualesquiera m- cercan matriz M y n- cercak matriz N. Por ejemplo, si n = 3:

La matriz de la identidad es el elemento de la identidad en el anillo de matrices cuadradas.

Los elementos inversibles en este anillo se llaman matrices inversibles o matrices no singulares. n por n matriz A es inversible si y solamente si existe una matriz B tales que

AB = In ( = BA).

En este caso, B es matriz inversa de A, denotado cerca A−1. El sistema de todo inversible n- cercan las matrices forman a grupo (específicamente a Grupo de mentira) bajo multiplicación de la matriz, grupo linear general.

Si el λ es un número y v está un vector diferente a cero tales que Sistema de pesos americano = λv, entonces llamamos v vector propio de A y λ el asociado valor propio. (Eigen medios “poseer” adentro Alemán y adentro Holandés.) El λ del número es un valor propio de A si y solamente si A−λIn no es inversible, que sucede si y solamente si pA(λ) = 0. Aquí pA(x) es polinomio característico de A. Ésta es a polinómico del grado n y tiene por lo tanto n raíces complejas (que cuentan raíces múltiples según su multiplicidad). En este sentido, cada matriz cuadrada tiene n valores propios complejos.

determinante de una matriz cuadrada A es el producto de su n los valores propios, pero él se pueden también definir por Fórmula de Leibniz. Las matrices inversibles son exacto esas matrices con un determinante distinto a cero.

Eliminación Gaussian el algoritmo es de importancia central: puede ser utilizado para computar determinantes, filas y lo contrario de matrices y para solucionarlos sistemas de ecuaciones lineares.

rastro de a matriz cuadrada es la suma de sus entradas diagonales, que iguala la suma de su n valores propios.

Matriz exponencial se define para las matrices cuadradas, usando serie de energía.

Tipos especiales de matrices

En muchas áreas en matemáticas, las matrices con cierta estructura se presentan. Algunos ejemplos importantes son

Para una lista más extensa vea lista de matrices.

Matrices en álgebra abstracta

Si comenzamos con a anillo R, podemos considerar el sistema M (m,n, R) de todos m por n matrices con las entradas adentro R. La adición y la multiplicación de estas matrices se pueden definir como en el caso de matrices verdaderas o complejas (véase sobre). El sistema M (n, R) de todo el cuadrado n por n matrices encima R está un anillo por derecho propio, isomorfo a anillo del endomorphism de la izquierda R-módulo Rn.

Semejantemente, si las entradas se toman de a el semiring S, la adición de la matriz y la multiplicación se pueden todavía definir como de costumbre. El sistema de todo el cuadrado n×n matrices encima S está sí mismo el semiring. Observe que los algoritmos rápidos de la multiplicación de la matriz tales como Algoritmo de Strassen apliqúese generalmente solamente a las matrices sobre los anillos y no trabajará para las matrices sobre los semirings que no son anillos.

Si R es a anillo comutativo, entonces M (n, R) es un unitario álgebra sociable encima R. Es entonces también significativo definir determinante de usar cuadrado de las matrices Fórmula de Leibniz; una matriz es inversible si y solamente si su determinante es inversible adentro R.

Todas las declaraciones mencionadas en este artículo para las matrices verdaderas o complejas siguen siendo correctas para las matrices sobre un arbitrario campo.

Matrices sobre a anillo polinómico sea importante en el estudio de teoría de control.

Matrices sin entradas

Una pregunta sutil que se plantea apenas siempre es si hay una cosa tal como una matriz 3 by-0. Ésa sería una matriz con 3 filas pero sin ningunas columnas, que se parece absurda. Sin embargo, si uno desea poder tener matrices para todos los mapas lineares entre los espacios dimensionales finitos del vector, uno necesita tales matrices, puesto que no hay nada mal con los mapas lineares de 0 espacios dimensionales a un espacio de 3 dimensiones (de hecho si los espacios están fijados hay un tal mapa, el mapa cero). Tan uno se conduce para admitir que hay exactamente una matriz 3 by-0 (que tiene entradas 3×0=0; entradas no nulas sino ningúna). Semejantemente hay matrices con un número positivo de columnas pero de ningunas filas.

Incluso en la ausencia de entradas, una debe inmóvil no perder de vista el número de filas y de columnas, desde el producto A.C. donde B es la matriz 3 by-0 y C es las 0 matrices by-4 son una matriz perfectamente normal 3 by-4, todas las que 12 entradas son 0 (pues son dadas por suma vacía). Observe que este cómputo de A.C. justifica el criterio dado arriba para la fila de una matriz en términos de expresiones posibles como producto: la matriz 3 by-4 con las entradas cero tiene ciertamente fila 0, así que debe ser el producto de una matriz 3 by-0 y de las 0 matrices by-4.[1]

Para permitir y para distinguir entre las matrices sin entradas, las matrices se deben definir formalmente, en un estilo algo pedantic de la informática, como cuadruplican (A, r, c, M), donde A es el sistema en el cual las entradas viven, r y c son los números (naturales) de filas y de columnas, y M es la colección rectangular de rc elementos de A (la matriz en el sentido generalmente).

Historia

El estudio de matrices es absolutamente viejo. 3 by-3 cuadrado mágico aparece en Literatura china el fechar desde de 650 A.C.[2]

Las matrices tienen una historia larga del uso en solucionar ecuaciones lineares. Un importante Chino texto de en medio 300 A.C. y del ANUNCIO 200, Los nueve capítulos en el arte matemático (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo del uso de los métodos de matriz de solucionar ecuaciones simultáneas.[3] En el séptimo capítulo, “demasiado y no bastante,” el concepto de a determinante primero aparecer casi 2000 años antes de su publicación por Japonés matemático Seki Kowa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.

Los cuadrados mágicos eran sabidos a Matemáticos árabes, posiblemente desde el 7mo siglo, cuando Árabes partes del noroeste conquistadas de Subcontinente indio y aprendido Matemáticas indias y astronomía, incluyendo otros aspectos de matemáticas combinatorias. También se ha sugerido que la idea vino vía China. Los primeros cuadrados mágicos de la orden 5 y 6 aparecen en una enciclopedia de Bagdad circa 983 ANUNCIO, Enciclopedia de los hermanos de la pureza (Al-Safa de Rasa'il Ihkwan); cuadrados mágicos más simples eran sabidos a varios matemáticos árabes anteriores.[2]

Después del desarrollo de la teoría de determinantes de Seki Kowa y de Leibniz en el último 17mo siglo, Cramer desarrolló la teoría más lejos en el décimo octavo siglo, presentando Regla de Cramer en 1750. Gauss de Carl Friedrich y Wilhelm Jordania convertido Eliminación de Gauss-Jordania en el 1800s.

El término “matriz” fue acuñado adentro 1848 por J. J. Sylvester. Cayley, Hamilton, Grassmann, Frobenius y von Neumann esté entre los matemáticos famosos que han trabajado en teoría de la matriz.

Olga Taussky-Todd (1906-1995) contribuciones importantes hechas a la teoría de la matriz, usándola para investigar un fenómeno aerodinámico llamaron el agitar o aeroelasticidad durante WWII. Le han llamado “un torchbearer” para la teoría de la matriz.[4]

Educación

Las matrices fueron enseñadas tradicionalmente como parte de álgebra linear en universidad, o con cálculo. Con la adopción de matemáticas integradas los textos para el uso en High School secundaria en los Estados Unidos en los años 90, han sido incluidos por muchos tales textos tales como Corazón-Más proyecto de las matemáticas cuáles se apuntan a menudo desde el noveno grado, o anterior para los estudiantes de los honores. Requieren a menudo el uso de representar las calculadoras gráficamente tales como TI-83 cuál puede realizar operaciones complejas tales como inversión de la matriz muy rápidamente.

Aunque la mayoría de los lenguajes de programación no se diseñan con comandos o bibliotecas para las matrices, desde los años 70, algunas las computadoras de escritorio de la ingeniería tales como CABALLOS DE FUERZA 9830 tenía cartuchos de la ROM para agregar los comandos del BASIC para las matrices. Algunos lenguajes de programación por ejemplo APL, fueron diseñados manipular matrices, y programas matemáticos por ejemplo Mathematica, y otros se utilizan ayudar a computar con las matrices.

Usos

Cifrado

Vea también: Cifrado de la matriz

Las matrices se pueden utilizar para cifrar datos numéricos. El cifrado es hecho multiplicando la matriz de los datos con una matriz dominante. El desciframiento es hecho simplemente multiplicando la matriz cifrada con lo contrario de la llave.

Gráficos de computadora

Vea también: Matriz de la transformación

las matrices de la transformación 4×4 son de uso general en gráficos de computadora. La porción superior de la izquierda 3×3 de una matriz de la transformación se compone del nuevo X, Y, y Z hachas del espacio del coordenada de la poste-transformación.

Lectura adicional

Un artículo más avanzado sobre matrices es Teoría de la matriz.

Vea también

Referencias

  1. ^ de Boor, Carl (1990), “Un ejercicio vacío”, Boletín de noticias de ACM SIGNUM 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273, <http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf> .
    Nett, C.N. Y Haddad, W.M. (1993), “Una realización apropiada sistema-teórica del concepto vacío de la matriz”, Transacciones de IEEE en control automático 38 (5): 771-775, ISSN 0018-9286, DOI 10.1109/9.277245 .
  2. ^ a b Swaney, marca. Historia de cuadrados mágicos.
  3. ^ Shen Kangshen y otros. (ed.) (1999). Nueve capítulos del arte, del compañero y del comentario matemáticos. Presión de la universidad de Oxford.  citado cerca Otto Bretscher (2005). Álgebra linear con usos, 3ro ed., Prentice-Pasillo, P. 1. 
  4. ^ Ivars Peterson. Matrices, círculos, y Eigenthings.

Acoplamientos externos

Wikibooks Álgebra linear tiene una página en el asunto de

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