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Análisis matemático

Análisis tiene sus principios en la formulación rigurosa de cálculo. Es el rama de matemáticas tratado lo más explícitamente posible a la noción de a límite, si límite de una secuencia o límite de una función.^[1] También incluye las teorías de diferenciación, integración y medida, serie infinita^[2], y funciones analíticas. Estas teorías se estudian a menudo en el contexto de números verdaderos, números complejos, y verdadero y complejo funciones. Sin embargo, pueden también ser definidos y ser estudiados en cualesquiera espacio de objetos matemáticos que se equipa de una definición de la “proximidad” (a espacio topológico) o más específicamente “distancia” (a espacio métrico).

Motivación

La motivación para estudiar análisis matemático en el contexto más amplio de espacios topológicos o métricos es doble:

• Primero, las mismas técnicas básicas han probado aplicable a una clase más ancha de los problemas (e.g., el estudio de espacios de la función).

• En segundo lugar, y apenas como importantemente, una mayor comprensión del análisis en espacios más abstractos demuestra con frecuencia ser directamente aplicable a los problemas clásicos. Por ejemplo, adentro Análisis de Fourier, las funciones se expresan en términos de cierta serie infinita de exponentials complejos o de funciones trigonométricas. Así el análisis de Fourier se pudo utilizar para descomponer el sonido de a (posiblemente muy complicada) en una combinación única de tonos puros de varias echadas. “Carga” o los coeficientes de los términos en la extensión de Fourier de una función se pueden pensar en como componentes de un vector en un espacio dimensional infinito conocido como a Espacio de Hilbert. El estudio de las funciones definidas en este ajuste más general proporciona así un método conveniente de derivar resultados sobre la manera que las funciones varían en espacio así como tiempo o, en términos más matemáticos, ecuaciones diferenciales parciales, del donde esta técnica se conoce como separación variables.

Historia

Los resultados tempranos en análisis estaban implícito presentes en los días tempranos de las matemáticas del Griego antiguo. Por ejemplo, una suma geométrica infinita es implícita adentro Zeno paradoja de la dicotomía.^[3] Más adelante, Matemáticos griegos por ejemplo Eudoxus y Archimedes hecho más explícito, pero informal, uso de los conceptos de límites y convergencia cuando utilizaron método de agotamiento para computar el área y el volumen de regiones y de sólidos.^[4] En La India, el 12mo matemático del siglo Bhaskara concebido de cálculo diferenciado, y dio ejemplos del derivado y diferencial coeficiente, junto con una declaración de qué ahora se conoce como Teorema de Rolle.

En el 14to siglo, las raíces del análisis matemático comenzaron con el trabajo hecho cerca Madhava de Sangamagrama, mirado por alguno como el “fundador del análisis matemático”,^[5] quién se convirtió serie infinita extensiones, como serie de energía y Serie de Taylor, de funciones por ejemplo seno, coseno, tangente y arctangent. Junto a su desarrollo de la serie de Taylor de funciones trigonométricas él también estimaba la magnitud de los términos del error creados truncando estas series y dio una aproximación racional de una serie infinita. Sus seguidores en Escuela de Kerala fomente amplió sus trabajos, hasta el décimosexto siglo.

En Europa, durante la mitad más última del 17mo siglo, Neutonio y Leibniz cálculo independientemente desarrollado, que creció, con el estímulo del trabajo aplicado que continuó con el décimo octavo siglo, en asuntos del análisis tales como cálculo de variaciones, ordinario y ecuaciones diferenciales parciales, Análisis de Fourier, y generación de funciones. Durante este período, las técnicas del cálculo fueron aplicadas para aproximar problemas discretos por los continuos.

En el décimo octavo siglo, Euler introdujo la noción de función matemática.^[6] El análisis verdadero comenzó a emerger como tema independiente cuando Bernard Bolzano introdujo la definición moderna de la continuidad en 1816.^[7] En el diecinueveavo siglo, Cauchy ayudó a poner cálculo en una fundación lógica firme introduciendo el concepto del Secuencia de Cauchy. Él también comenzó la teoría formal de análisis complejo. Poisson, Liouville, Fourier y otros estudiaron ecuaciones diferenciales parciales y análisis armónico. Las contribuciones de estos matemáticos y de otros, por ejemplo Weierstrass, convertido la noción moderna del rigor matemático, así fundando el campo del análisis matemático (por lo menos en el sentido moderno).

En el medio del siglo Riemann introdujo su teoría de integración. El tercero pasado del diecinueveavo siglo consideró el arithmetization del análisis cerca Weierstrass, que pensó que el razonamiento geométrico era intrínsecamente engañoso, e introdujo la definición del “epsilon-delta” de límite. Entonces, los matemáticos comenzaron la preocupación esa ellos asumían la existencia de a serie continua de números verdaderos sin prueba. Dedekind entonces construyó los números verdaderos cerca Cortes de Dedekind, en que un matemático crea los números irracionales que sirven para llenar “abren” entre los números racionales, de tal modo creando a completo sistema: la serie continua de números verdaderos. Alrededor de ese tiempo, las tentativas de refinar teoremas de Integración de Riemann conducido al estudio del “tamaño” del sistema de discontinuidades de funciones verdaderas.

También, “monstruos" (en ninguna parte continuo funciones, continuas pero en ninguna parte diferenciable funciones, curvas espacio-que llenan) comenzó a ser creado. En este contexto, Jordania desarrolló su teoría de medida, Cantor desarrollado qué ahora se llama teoría determinada ingenua, y Baire probó Teorema de la categoría de Baire. En el siglo a principios de siglo 20, el cálculo era el usar formalizado teoría determinada axiomática. Lebesgue solucionó el problema de la medida, y Hilbert introducido Los espacios de Hilbert para solucionar ecuaciones integrales. La idea de normed el espacio del vector era en el aire, y en los años 20 Banach creado análisis funcional.

Subdivisiones

El análisis matemático incluye los subcampos siguientes.

• Análisis verdadero, riguroso estudio de derivados y integrales de funciones de variables verdaderas. Esto incluye el estudio de secuencias y su límites, serie, y medidas.
• Análisis funcional^[8] los espacios de los estudios de funciones e introducen conceptos por ejemplo Espacios de Banach y Los espacios de Hilbert.
• Análisis armónico repartos con Serie de Fourier y sus abstracciones.
• Análisis complejo, el estudio de funciones del plano complejo al plano complejo que son diferenciables complejo.
• Geometría y topología diferenciadas, el uso del cálculo para abstraer los espacios matemáticos que poseen una estructura interna complicada.
• p- análisis adic, el estudio del análisis dentro del contexto de p- números adic, que diferencia de algunas maneras interesantes y que sorprenden de sus contrapartes verdaderas y complejas.
• Análisis no estándar, que investiga números hyperreal y sus funciones y dan a riguroso tratamiento de infinitesimals y números infinitamente grandes. Se clasifica normalmente como teoría modelo.
• Análisis numérico, el estudio de los algoritmos para aproximar los problemas de las matemáticas continuas.

Análisis clásico sea entendido normalmente como cualquier trabajo que no usa técnicas funcionales del análisis, y a veces también se llama análisis duro; también refiere naturalmente a los asuntos más tradicionales. El estudio de ecuaciones diferenciales ahora se comparte con otros campos por ejemplo sistemas dinámicos, aunque el traslapo con análisis convencional es grande.

Notas

Referencias

• Walter Rudin, Principios del análisis matemático, McGraw-Colina que publica el Co.; edición de 3Rev Ed (el 1 de septiembre de 1976), ISBN 978-0070856134.
• Apostol, Tom M., Análisis matemático, 2do ed. Addison-Wesley, 1974. ISBN 978-0201002881.
• Nikol'skii, S. M., “Análisis matemático”, adentro Enciclopedia de las matemáticas, Michiel Hazewinkel (redactor), Springer-Verlag (2002). ISBN 1-4020-0609-8.
• Smith, David E., Historia de las matemáticas, Dover Publications, 1958. ISBN 0-486-20430-8.
• Stillwell, Juan (2004). Matemáticas y su historia, Segunda edición, ciencia de Springer + Business Media Inc. ISBN 0387953361. 
• Whittaker, E. T. y Watson, G. N., Un curso del análisis moderno, cuarta edición, prensa de la universidad de Cambridge, 1927. ISBN 0521588073.