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Predicción linear

Predicción linear está una operación matemática donde los valores futuros de a tiempo discreto señal se estiman como a función linear de muestras anteriores.

En proceso de la señal numérica, la predicción linear se llama a menudo codificación profética linear (LPC) y puede ser visto así como subconjunto de teoría del filtro. En análisis del sistema (un subcampo de matemáticas), la predicción linear se puede ver como parte de el modelar matemático o optimización.

El modelo de la predicción

La representación más común es

donde es el valor predicho de la señal, x(n − i) los valores observados anteriores, y a_i los coeficientes del predictor. El error generado por esta estimación es

donde x(n) es el valor verdadero de la señal.

Estas ecuaciones son válidas para todos los tipos de predicción linear (unidimensional). Las diferencias se encuentran de la manera los parámetros a_i se eligen.

Para las señales multidimensionales el error métrico se define a menudo como

donde es un vector elegido conveniente norma.

Estimar los parámetros

La opción más común de la optimización de parámetros a_i es media cuadrada de la raíz criterio que también se llama autocorrelation criterio. En este método reducimos al mínimo el valor previsto del error ajustado E [e²(n)], que rinde la ecuación

para 1 ≤ j ≤ p, donde R es autocorrelation de la señal x_n, definido como

donde E es valor previsto. En el caso multidimensional esto corresponde a la reducción al mínimo L₂ norma.

Las ecuaciones antedichas se llaman ecuaciones normales o ecuaciones del Yule-Walker. En forma de la matriz las ecuaciones se pueden equivalente escribir como

donde la matriz del autocorrelation R es un simétrico, Matriz de Toeplitz con los elementos r_i,j = R(i − j), vector r es el vector del autocorrelation r_j = R(j), y vector a es el vector del parámetro.

Otra, más general, acercamiento es reducir al mínimo

donde obligamos generalmente los parámetros a_i con a₀ = 1 para evitar la solución trivial. Este constreñimiento rinde a mismo predictor que sobre pero las ecuaciones normales entonces están

donde el índice i se extiende a partir de la 0 a p, y R es a (p + 1) × (p + 1) matriz.

La optimización de los parámetros es un asunto amplio y se han propuesto una gran cantidad de otros acercamientos.

No obstante, el método del autocorrelation es más el campo común y se utiliza, por ejemplo, para codificación del discurso en G/M estándar.

Solución de la ecuación de la matriz Ra = r está de cómputo un proceso relativamente costoso. Algoritmo del gauss para la matriz la inversión es probablemente la más vieja solución pero este acercamiento no utiliza eficientemente la simetría de R y r. Un algoritmo más rápido es Repetición de Levinson propuesto cerca Levinson normando en 1947, que calcula recurrentemente la solución. Más adelante, Delsarte y otros. propuso una mejora a este algoritmo llamado la repetición partida de Levinson que requiere sobre mitad del número de multiplicaciones y de divisiones. Utiliza una característica simétrica especial de los vectores del parámetro en niveles subsecuentes de la repetición.

Referencias

Original

• G. U. Yule. En un método de investigar periodicidades en series disturbadas, con especial referencia a la mancha solar de los wolfer numera. Phil. Transporte. Roy. Soc., 226-A: 267-298, 1927.

Descripción

• J. Makhoul. Predicción linear: Una revisión preceptoral. Procedimientos del IEEE, 63 (5): 561-580, abril de 1975.
• M. H. Hayes. Señal numérica estadística que procesa y que modela. J. Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1996.

Acoplamientos externos

• PLP y RASTA (y MFCC, e inversión) en Matlab

Vea también

• Pronóstico
• Intervalo de la predicción
• Deconvolution