Combinación linear

En matemáticas, combinaciones lineares está una central del concepto a álgebra linear y campos relacionados de las matemáticas. La mayor parte de este artículo se ocupa de combinaciones lineares en el contexto de a espacio del vector sobre a campo, con algunas generalizaciones dadas en el extremo del artículo.

Definición

Suponga eso K es un campo y V ha un espacio del vector terminado K. Como de costumbre, llamamos elementos de V vectores y elementos de la llamada de K escalares. Si v₁,...,v_n son los vectores y a₁,...,a_n son los escalares, entonces combinación linear de esos vectores con esos escalares como coeficientes es

En una situación dada, K y V puede ser especificado explícitamente, o pueden ser obvios de contexto. En ese caso, hablamos a menudo de una combinación linear de los vectores v₁,...,v_n, con los coeficientes sin especificar (salvo que ellos debe pertenecer a K). O, si S es a subconjunto de V, podemos hablar de una combinación linear de vectores en S, donde están sin especificar los coeficientes y los vectores, salvo que los vectores deben pertenecer al sistema S (y los coeficientes deben pertenecer a K). Finalmente, podemos hablar simplemente de una combinación linear, donde no se especifica nada (salvo que los vectores deben pertenecer a V y los coeficientes deben pertenecer a K).

Observe que por la definición, una combinación linear implica solamente finito muchos vectores (excepto según lo descrito adentro Generalizaciones debajo). Sin embargo, el sistema S que los vectores están tomados de (si se menciona uno) puede todavía estar infinito; cada combinación linear individual implicará solamente finito muchos vectores. También, no hay razón eso n no puede ser cero; en ese caso, declaramos por la convención que el resultado de la combinación linear es el vector cero adentro V.

Ejemplos y contraejemplos

Geometría analítica

Deje el campo K sea el sistema R de números verdaderos, y deje el espacio del vector V sea Espacio euclidiano R³. Considere los vectores e₁ : = (1.0.0), e₂ : = (0.1.0) y e₃ = (0.0.1). Entonces cualesquiera vector adentro R³ es una combinación linear de e₁, e₂ y e₃.

Para ver que esto está así pues, tome un vector arbitrario (a₁,a₂,a₃) adentro R³, y escriba:

Análisis funcional

Dejado K sea el sistema C de todos números complejos, y deje V sea el sistema C_C(R) de todos continuo funciones de línea verdadera R a plano complejo C. Considere los vectores (las funciones) f y g definido cerca f(t) := e^él y g(t) := e^−él. (Aquí, e es base del logaritmo natural, cerca de 2.71828…, y i es unidad imaginaria, una raíz cuadrada de −1.) algunas combinaciones lineares de f y g sea:

Por otra parte, la función constante 3 es no una combinación linear de f y g. Para ver esto, suponga que 3 se podrían escribir como combinación linear de e^él y e^−él. Esto significa que existiría los escalares complejos a y b tales que ae^él + sea^−él = 3 para todos los números verdaderos t. Ajuste t = 0 y t = el π da las ecuaciones a + b = 3 y a + b = −3, y éste no pueden suceder claramente.

Geometría algebraica

Dejado K sea cualquier campo (R, C, o lo que usted tiene gusto lo más mejor posible), y deje V sea el sistema P de todos polinomios con los coeficientes tomados del campo K. Considere los vectores (los polinomios) p₁ := 1, p₂ := x + 1, y p₃ := x² + x + 1.

Es el polinomio x² − 1 una combinación linear de p₁, p₂, y p₃? Para descubrir, considere una combinación linear arbitraria de estos vectores e intente ver cuando iguala el vector deseado x² − 1. Escoger coeficientes arbitrarios a₁, a₂, y a₃, deseamos

Multiplicando los polinomios hacia fuera, esto significa

y recogiendo como energías de x, conseguimos

Dos polinomios son iguales si y solamente si sus coeficientes correspondientes son iguales, así que podemos concluir

Esto sistema de ecuaciones lineares la poder se solucione fácilmente. Primero, la primera ecuación dice simplemente eso a₃ es 1. Sabiendo eso, podemos solucionar la segunda ecuación para a₂, que sale a −1. Finalmente, la ecuación pasada nos dice eso a₁ está también −1. Por lo tanto, la única manera posible de conseguir una combinación linear está con estos coeficientes. De hecho,

tan x² − 1 es una combinación linear de p₁, p₂, y p₃.

Por otra parte, qué sobre el polinomio x³ − 1? Si intentamos hacer este vector una combinación linear de p₁, p₂, y p₃, entonces siguiendo el mismo proceso que antes, conseguiremos la ecuación

Sin embargo, cuando fijamos coeficientes correspondientes iguales en este caso, la ecuación para x³ es

cuál es siempre falso. Por lo tanto, no hay manera para que éste trabaje, y x³ el − 1 es no una combinación linear de p₁, p₂, y p₃.

El palmo linear

Artículo principal: palmo linear

Tome un campo arbitrario K, un espacio arbitrario del vector V, y deje v₁,...,v_n sea vectores (en V). Es interesante considerar el sistema de todos combinaciones lineares de estos vectores. Este sistema se llama palmo linear (o apenas palmo) de los vectores, diga S = {v₁,...,v_n}. Escribimos el palmo de S como palmos o SP:

Otros conceptos relacionados

A veces, un cierto solo vector se puede escribir en dos diversas maneras como combinación linear de v₁,...,v_n. Si eso es posible, entonces v₁,...,v_n se llaman linear dependiente; si no, son linear independiente. Semejantemente, podemos hablar de dependencia o de independencia linear de un sistema arbitrario S de vectores.

Si S está linear la independiente y el palmo de S iguales V, entonces S es a base para V.

Podemos pensar en combinaciones lineares como la clase más general de operación en un espacio del vector. Las operaciones básicas de la adición y de la multiplicación escalar, junto con la existencia de una identidad aditiva y de lo contrario aditivos, no se pueden combinar de más manera complicada que la combinación linear genérica. En última instancia, este hecho miente en el corazón de la utilidad de combinaciones lineares en el estudio de los espacios del vector.

Otro concepto relacionado es afine la combinación, que es una combinación linear con el constreñimiento adicional que los coeficientes a₁,...,a_n suma a la unidad.

Generalizaciones

Si V es a espacio topológico del vector, entonces puede haber una manera de tener sentido de seguro infinito combinaciones lineares, usando la topología de V. Por ejemplo, puede ser que poder hablar de a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ +…, encendiéndose por siempre. Tales combinaciones lineares infinitas no tienen siempre sentido; los llamamos convergente cuando. Permitir combinaciones más lineares en este caso puede también conducir a un diverso concepto del palmo, de la independencia linear, y de la base. Los artículos sobre los varios sabores de los espacios topológicos del vector entran más detalle sobre éstos.

Si K es a anillo comutativo en vez de un campo, entonces todo que se ha dicho sobre combinaciones alrededor de lineares generaliza a este caso sin cambio. La única diferencia es que llamamos espacios como V módulos en vez de espacios del vector. Si K es un anillo no conmutativo, después el concepto todavía generaliza, con una advertencia: Puesto que los anillos no conmutativos del excedente de los módulos vienen en versiones izquierdas y derechas, nuestras combinaciones lineares pueden también venir en cualquiera de estas versiones, lo que es apropiado para el módulo dado. Ésta es simplemente una cuestión de hacer la multiplicación escalar en el lado correcto.

Una torcedura más complicada viene cuando V es a bimodule sobre dos anillos, K_L y K_R. En ese caso, la combinación linear más general mira gusto

donde a₁,...,a_n pertenezca a K_L, b₁,...,b_n pertenezca a K_R, y v₁,...,v_n pertenezca a V.

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