Teorema de Karhunen-Loève

En la teoría de procesos estocásticos, Teorema de Karhunen-Loève (nombrado después de Kari Karhunen y Michel Loève) está una representación de un proceso estocástico como combinación linear infinita de funciones orthogonal, análogo a a Serie de Fourier representación de una función en un intervalo limitado. En contraste con una serie de Fourier Donde están verdaderos los coeficientes los números y la base de la extensión consiste en funciones sinusoidales (es decir, seno y coseno las funciones), los coeficientes en el teorema de Karhunen-Loève son variables al azar y la base de la extensión depende del proceso. De hecho, las funciones orthogonal de la base usadas en esta representación son determinadas por función de la covariación del proceso. Si miramos un proceso estocástico como al azar función F, es decir, uno en el cual el valor al azar es una función en un intervalo [a, b], entonces este teorema se puede considerar como extensión orthonormal al azar de F.

En el caso de a centrado proceso estocástico {X_t}_{t ∈ [a, b]} (donde centrado significa que las expectativas E (X_t) sea definido e igual a 0 para todos los valores del parámetro t adentro [a, b]) satisfaciendo una condición técnica de la continuidad, admite una descomposición

donde Z_k esté en parejas sin correlación variables al azar y las funciones e_k están las funciones real-valued continuas encendido [a, b] cuáles están en parejas orthogonal en L²[a, b]. El caso general de un proceso que no se centre puede ser representado ampliando la función de la expectativa (que es una función no-al azar) en la base e_k .

Por otra parte, si es el proceso Gaussian, entonces las variables al azar Z_k sea Gaussian y estocástico independiente. Este resultado generaliza Karhunen-Loève transforma. Un ejemplo importante de un proceso estocástico verdadero centrado encendido [0.1] es Proceso de la salchicha de Francfort y el teorema de Karhunen-Loève se puede utilizar para proporcionar una representación orthogonal canónica para él. En este caso la extensión consiste en funciones sinusoidales.

La extensión antedicha en variables al azar sin correlación también se conoce como Extensión de Karhunen-Loève o Descomposición de Karhunen-Loève. empírico se conoce la versión (es decir, con los coeficientes computados de una muestra) como Análisis del componente principal, Descomposición orthogonal apropiada (VAINA), o Hotelling transforme.

Contenido

1 Formulación
- 1.1 Segunda estadística de la orden
2 Declaración del teorema
- 2.1 Sumas de Cauchy
- 2.2 Caso especial: Distribución Gaussian
3 El proceso de la salchicha de Francfort
4 Referencias
5 Vea también

Formulación

Formularemos el resultado en términos de procesos estocásticos complejo-valorados. Los resultados se aplican a los procesos real-valued sin la modificación reconociendo que la conjugación compleja de un número verdadero es el número sí mismo.

Si X y Y son las variables al azar, producto interno se define cerca

donde * representa conjugación compleja.

Segunda estadística de la orden

Se define el producto interno si ambo X y Y tenga segundo finito momentos, o equivalente, si son ambos integrable cuadrado. Observe que el producto interno está relacionado con covariación y correlación. Particularmente, para las variables al azar del medio cero, la covariación y el producto interno coinciden. La función del autocovariance K_XX es

Si {X_t}_t es un proceso centrado, entonces

para todos t. Así, el autocovariance K_XX es idéntico al autocorrelation R_XX:

Observe eso si {X_t}_t se centra y t₁, ≤ t₂, ..., ≤ t_N están los puntos adentro [a, b], entonces

Declaración del teorema

Teorema. Considere un proceso estocástico centrado {X_t}_t puesto en un índice cerca t en el intervalo [a, b] con la función Cov de la covariación_X. Suponga la función Cov de la covariación_X(t,s) está en común continuo en t, s. Entonces Cov_X puede ser mirado como núcleo definido positivo y tan cerca Teorema de Mercer, el operador integral correspondiente T en L²[a,b] (concerniente a la medida de Lebesgue encendido [a,b]) tiene una base orthonormal de vectores propios. Dejado {e_i}_i sea los vectores propios de T el corresponder a los valores propios diferentes a cero y

Entonces Z_i son las variables al azar orthogonal centradas y

donde está en el medio y es uniforme la convergencia adentro t. Por otra parte

donde λ_i es el valor propio que corresponde al vector propio e_i.

Sumas de Cauchy

En la declaración del teorema, el definir integral Z_i, puede ser definido como el límite en el medio de las sumas de Cauchy de variables al azar:

donde

Caso especial: Distribución Gaussian

Puesto que el límite en el medio de variables al azar en común Gaussian es en común Gaussian, y las variables (centradas) al azar Gaussian son en común independientes si y solamente si son orthogonal, podemos también concluir:

Teorema. Las variables Z_i tenga una distribución Gaussian común y sea estocástico independiente si el proceso original {X_t}_t es Gaussian.

En el caso gaussian, desde las variables Z_i sea independiente, podemos decir más:

casi seguramente.

Observe que por generalizaciones del teorema de Mercer podemos substituir el intervalo [a, b] con otros espacios compactos C y medida de Lebesgue encendido [a, b] con una medida de Borel que es ayuda C.

El proceso de la salchicha de Francfort

Hay caracterizaciones equivalentes numerosas del proceso de la salchicha de Francfort de el cual es una formalización matemática Movimiento browniano. Aquí lo miramos como el proceso Gaussian estándar centrado B(t) con la función de la covariación

Los vectores propios del núcleo de la covariación se determinan fácilmente. Éstos son

y los valores propios correspondientes son

Esto da la representación siguiente del proceso de la salchicha de Francfort:

Teorema. Hay una secuencia {W_i}_i de variables al azar Gaussian independientes con el medio cero y la variación 1 tales que

La convergencia es uniforme adentro t y en el L² la norma, de que es

uniformemente adentro t.

Referencias

I. Guikhman, A. Skorokhod, Introducción un DES Processus Aléatoires de Théorie del la Éditions MIR, 1977
B. Simon, Integración y física funcionales de Quantum, Prensa académica, 1979
K. Karhunen, Kari, Lineare Methoden de Über en el der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Anuncio. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. I. Matemáticas. - Phys., 1947, no. 37, 1--79
M. Loève, Teoría de las probabilidades. Vol. II, 4to ed., textos graduados en las matemáticas, vol. 46, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90262-7

Vea también

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