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Método de Galerkin

En matemáticas, en el área de análisis numérico, Métodos de Galerkin es una clase de los métodos para convertir un problema continuo del operador (tal como a ecuación diferencial) a un problema discreto. En principio, es el equivalente de aplicar el método de variación a un espacio de la función, convirtiendo la ecuación a a formulación débil. Típicamente uno entonces aplica algunos apremios en el espacio de las funciones para caracterizar el espacio con un sistema finito de funciones de la base. A menudo cuando usar un método uno de Galerkin también da el nombre junto con los métodos típicos de la aproximación usados, por ejemplo el método de Petrov-Galerkin o el método de Ritz-Galerkin.^[1]

El acercamiento se acredita al matemático ruso Boris Galerkin.

Puesto que la belleza de los métodos de Galerkin miente de la manera muy abstracta de estudiarlos, primero daremos su derivación abstracta. En el extremo, daremos los ejemplos para su uso.

Los ejemplos para los métodos de Galerkin son:

• método de elemento finito^[2],^[3]
• Método del elemento del límite para solucionar ecuaciones integrales
• Métodos del subspace de Krylov ^[4]

Contenido 1 Introducción con un problema abstracto 1.1 Un problema en la formulación débil 1.2 Discretización de Galerkin 1.3 Orthogonality de Galerkin 1.4 Forma de la matriz 1.4.1 Simetría de la matriz 2 Análisis de los métodos de Galerkin 2.1 Well-posedness de la ecuación de Galerkin 2.2 la Cuasi-mejor aproximación (lema de Céa) 2.2.1 Prueba 3 Uso al método de elemento finito para la ecuación de Poisson 4 Uso al análisis del método conyugal del gradiente 5 Referencias 6 Acoplamientos externos

Introducción con un problema abstracto

Un problema en la formulación débil

Introduzcamos el método de Galerkin con un problema abstracto se presentó como a formulación débil en a Espacio de Hilbert, V, a saber, hallazgo tales que para todos

a(u,v) = f(v)

asimientos. Aquí, es a forma bilinearia (los requisitos exactos encendido será especificado más adelante) y f es a operador linear limitado en V.

Discretización de Galerkin

Elija un subspace , que está de una dimensión mucho más pequeña (realmente, asumiremos que el índice n denota su dimensión) y soluciona el problema proyectado: hallazgo tales que para todos

a(u_n,v_n) = f(v_n).

Llamaremos esto la ecuación de Galerkin. Note que ha seguido habiendo la ecuación sin cambiar y solamente los espacios han cambiado.

Orthogonality de Galerkin

Ésta es la característica dominante que hace el análisis matemático de los métodos de Galerkin muy agudo. Desde entonces , podemos utilizar v_n como vector de la prueba en la ecuación original. Restando los dos, conseguimos la relación del orthogonality de Galerkin para el error

a(e_n,v_n) = a(u,v_n) − a(u_n,v_n) = f(v_n) − f(v_n) = 0.

Aquí, e_n = u − u_n es el error entre la solución del problema original u y la ecuación de Galerkin u_n, respectivamente.

Forma de la matriz

Puesto que la puntería del método de Galerkin es la producción de a sistema linear de ecuaciones, construimos su forma de la matriz, que se puede utilizar para computar la solución por un programa de computadora.

Dejado sea a base para V_n. Entonces, es suficiente utilizar éstos alternadamente para probar la ecuación de Galerkin, es decir: hallazgo tales que

Nos ampliamos u_n por lo que se refiere a esta base, e insértelo en la ecuación arriba, para obtener

Esta ecuación anterior es realmente un sistema linear de ecuaciones Au = f, donde

Simetría de la matriz

Debido a la definición de las entradas de la matriz, la matriz de la ecuación de Galerkin es simétrico si y solamente si la forma bilinearia es simétrico.

Análisis de los métodos de Galerkin

Aquí, nos restringiremos a simétrico formas bilinearias, eso es

a(u,v) = a(v,u).

Mientras que ésta no es realmente una restricción de los métodos de Galerkin, el uso de la teoría estándar llega a ser mucho más simple. Además, un método de Petrov-Galerkin se puede requerir en el caso dismétrico.

El análisis de estos métodos procede en dos pasos. Primero, demostraremos que la ecuación de Galerkin es a problema bien-presentado en el sentido de Hadamard y por lo tanto admite una solución única. En el segundo paso, estudiamos la calidad de la aproximación de la solución de Galerkin u_n.

El análisis se basará sobre todo sobre dos características de forma bilinearia, a saber

• Boundedness: para todos asimientos

  para alguno constante C > 0

• Elipticidad: para todos asimientos

  para alguno constante c > 0

Por el teorema Flojo-Milgram (véase formulación débil), estas dos condiciones implican el well-posedness del problema original en la formulación débil. Todas las normas en las secciones siguientes serán las normas para las cuales las desigualdades antedichas sostienen (estas normas a menudo se llaman norma de la energía).

Well-posedness de la ecuación de Galerkin

Desde entonces , el boundedness y la elipticidad de la forma bilinearia se aplican a V_n. Por lo tanto, el well-posedness del problema de Galerkin se hereda realmente del well-posedness del problema original.

la Cuasi-mejor aproximación (lema de Céa)

Artículo principal: Lema de Céa

El error e_n = u − u_n entre la original y Galerkin la solución admite la estimación

Este medios, de que hasta la constante C / c, la solución de Galerkin u_n está como cerca de la solución original u como cualquier otro vector adentro V_n. Particularmente, será suficiente estudiar la aproximación por los espacios V_n, totalmente olvidándose sobre la ecuación que es solucionada.

Prueba

Puesto que la prueba es muy simple y el principio de base detrás de todos los métodos de Galerkin, lo incluimos aquí: por elipticidad y el boundedness de la forma bilinearia (desigualdades) y del orthogonality de Galerkin (igual en el centro), tenemos para arbitrario :

El dividirse cerca y tomando el infimum sobre todo posible v_h rinde el lema.

Uso al método de elemento finito para la ecuación de Poisson

Uso al análisis del método conyugal del gradiente

Referencias

1. ^ A. Ern, J.L. Guermond, Teoría y práctica de elementos finitos, Springer, 2004, ISBN 0-3872-0574-8
2. ^ S. Brenner, R. L. Scott, La teoría matemática de los métodos de elemento finito, 2da edición, Springer, 2005, ISBN 0-3879-5451-1
3. ^ P. G. Ciarlet, El método de elemento finito para los problemas elípticos, Norte-Holanda, 1978, ISBN 0-4448-5028-7
4. ^ Y. Saad, Métodos iterativos para los sistemas lineares escasos, 2da edición, TAILANDIA, 2003, ISBN 0-8987-1534-2

Acoplamientos externos

• Método de Galerkin
• Método de Galerkin de MathWorld

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