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Función (matemáticas)

Este artículo está sobre funciones en matemáticas. Para las funciones y los procedimientos (subprogramas) en la computadora que programa, vea función (informática).

matemático concepto de a función expresa dependencia entre dos cantidades, una de las cuales se da ( variable independiente, discusión de la función, o su “entrada”) y la otra producida (la variable dependiente, valor de la función, o “salida”). Una función asocia una sola salida a cada elemento de la entrada dibujado de un fijo sistema, por ejemplo números verdaderos.

Hay muchas maneras de dar una función: por a fórmula, por un diagrama o gráfico, por algoritmo ese lo computa, por una descripción de sus características. A veces, una función se describe con su relación a otras funciones (véase, por ejemplo, función inversa). En disciplinas aplicadas, las funciones son especificadas con frecuencia por sus tablas de valores o por un fórmula. No todos los tipos de descripción se pueden dar para cada función posible, y una debe hacer una distinción firme entre función sí mismo y múltiplo maneras de la presentación o el visualizar él.

Una idea de la importancia enorme en todas las matemáticas es composición de funciones: si z es una función de y y y es una función de x, entonces z es una función de x. Podemos describirlo informal diciendo que la función compuesta es obtenida usando la salida de la primera función como la entrada de segunda. Esta característica de funciones las distingue de otras construcciones matemáticas, por ejemplo números o figuras, y provee de la teoría de funciones su estructura más de gran alcance.

Contenido

Introducción

Las funciones desempeñan un papel fundamental en todas las áreas de las matemáticas, así como en las otras ciencias e ingeniería. Sin embargo, la intuición referente a funciones, a la notación, e incluso al mismo significado del término “función” varía entre los campos. Áreas más abstractas de las matemáticas, por ejemplo fije la teoría, considere los tipos muy generales de funciones, que no se pueden especificar por una regla concreta y no son gobernadas por ninguna principios familiar. La característica característica de una función en el sentido más abstracto es que relaciona exactamente uno hecho salir con cada uno de sus entradas admisibles. Tales funciones no necesitan implicar números y pueden, por ejemplo, asociar cada uno de un sistema de palabras a sus propias primeras letras.

Funciones adentro álgebra sea generalmente expresable en términos de operaciones algebraicas. Las funciones estudiaron adentro análisis, por ejemplo función exponencial, puede tener características adicionales el presentarse de la continuidad del espacio, pero en el caso más general no puede ser definido por un solo fórmula. Funciones analíticas en análisis complejo puede ser definido bastante concreto con su extensiones de la serie. Por otra parte, adentro cálculo de la lambda, la función es un concepto primitivo, en vez de ser definido en términos de teoría determinada. Los términos transformación y el traz sea a menudo sinónimo con función. En algunos contextos, sin embargo, diferencian levemente. En el primer caso, la transformación del término se aplica generalmente a las funciones que entradas y salidas son elementos del mismo sistema o estructura más general. Así, hablamos de transformaciones lineares de a espacio del vector en sí mismo y de simetría transformaciones de un objeto geométrico o de un patrón. En el segundo caso, usado para describir los sistemas que naturaleza es arbitraria, el término el traz es el concepto más general de la función.

Las funciones matemáticas son denotadas con frecuencia por las letras, y la notación estándar para la salida de un ƒ de la función con la entrada x es el ƒ (x). Una función se puede definir solamente para ciertas entradas, y la colección de todas las entradas aceptables de la función se llama su dominio. El sistema de todas las salidas que resultan se llama gama de la función. Sin embargo, en muchos campos, es también importante especificar codomain de una función, que contiene la gama, pero no necesite ser igual a ella. La distinción entre la gama y el codomain nos deja preguntar si los dos suceden ser iguales, que particularmente encajona puede ser una cuestión de un cierto interés matemático.

Por ejemplo, el ƒ de la expresión (x) = x2 describe un ƒ de la función de una variable x, que, dependiendo del contexto, puede ser número entero, a verdadero o número complejo o aún un elemento de a grupo. Especifiquemos eso x es un número entero; entonces esta función relaciona cada entrada, x, con una sola salida, x2, obtenido de x por el ajustar. Así, la entrada de 3 se relaciona con la salida de 9, la entrada de 1 a la salida de 1, y la entrada de −2 a la salida de 4, y escribimos el ƒ (3) = 9, ƒ (1) =1, ƒ (−2) =4. Puesto que cada número entero puede ser ajustado, el dominio de esta función consiste en todos los números enteros, mientras que su gama es el sistema de cuadrados perfectos. Si elegimos números enteros como el codomain también, encontramos que muchos números, tales como 2, 3, y 6, están en el codomain pero no la gama.

Es una práctica generalmente en matemáticas introducir funciones con nombres temporales como ƒ; en el párrafo siguiente puede ser que definamos el ƒ (x) = 2x+1, y entonces ƒ (3) = 7. Cuando un nombre para la función no es necesario, a menudo la forma y = x2 se utiliza.

Si utilizamos una función a menudo, podemos darle un nombre más permanente como, por ejemplo,

La característica esencial de una función es ésa para cada entrada allí debe ser una salida única. Así, por ejemplo, el fórmula

no define una función verdadera de una variable verdadera positiva, porque asigna dos salidas a cada número: las raíces cuadradas de 9 son 3 y −3. Para hacer la raíz cuadrada una función verdadera, debemos especificar, que raíz cuadrada a elegir. La definición

para cualquier positivo la entrada elige la raíz cuadrada positiva como salida.

Según lo mencionado arriba, una función no necesita implicar números. Por ejemplos, considere la función que asocia a cada palabra su primera letra o la función que asocia a cada triángulo su área.

Definiciones

Porque las funciones se utilizan en tan muchas áreas de las matemáticas, y en tan muchas diversas maneras, no se ha adoptado ninguna definición de la función universal. Algunas definiciones son elementales, mientras que otras utilizan la lengua técnica que puede obscurecer la noción intuitiva. Las definiciones formales son teórico determinado y, aunque hay variaciones, confía en el concepto de relación. Intuitivo, una función es una manera de asignar a cada elemento de un sistema dado (el dominio o la fuente) exactamente un elemento de otro sistema dado (el codomain o la blanco).

Definiciones intuitivas

Una definición intuitiva simple, para las funciones en números, dice:

  • Una función es dada por una expresión aritmética que describe cómo un número depende de otro.

Un ejemplo de tal función es y = 5x−20x3+16x5, del donde el valor y depende del valor de x. Esto es enteramente satisfactorio para las partes de matemáticas elementales, pero es demasiado torpe y restrictivo para áreas más avanzadas. Por ejemplo, coseno función usada adentro trigonometría no puede ser escrito en esta manera; el mejor que podemos hacer es serie infinita,

Eso dijo, si estamos dispuestos a aceptar serie como sentido extendido de la “expresión aritmética”, nosotros tiene una definición que sirvió matemáticas razonablemente bien para los centenares de años.

La transformación gradual del “cálculo intuitivo” en “análisis formal” trajo eventual la necesidad de una definición más amplia. El énfasis cambió de puesto de cómo una función fue presentada - como un fórmula o regla - a un concepto más abstracto. La parte de la nueva fundación era el uso de sistemas, de modo que las funciones fueran restringidas no más a los números. Así podemos decir eso

  • Un ƒ de la función de un sistema X a un sistema Y asociados a cada elemento x en X un elemento y = ƒ (x) adentro Y.

Observe eso X y Y no necesite ser diversos sistemas; es posible tener una función de un sistema a sí mismo. Aunque es posible interpretar el término “se asocia” en esta definición a una regla concreta para la asociación, es esencial moverse más allá de esa restricción. Por ejemplo, podemos probar a veces que existe una función con ciertas características, con todo no poder dar cualquier regla explícita para la asociación. De hecho, en algunos casos está imposible para dar una regla explícita produciendo un específico y para cada uno x, aun cuando tal función existe. En el contexto de las funciones definidas en sistemas arbitrarios, no está incluso claro cómo la frase “regla explícita” debe ser interpretada.

definiciones Fijar-teóricas

Artículo principal: Función (teoría determinada)

Mientras que las funciones adquieren nuevos papeles y encuentran nuevas aplicaciones, la relación de la función a los sistemas requiere más precisión. Quizás cada elemento adentro Y se asocia a alguno x, quizás no. En algunas partes de matemáticas, incluyendo teoría de la repetición y análisis funcional, es conveniente permitir valores de x sin la asociación (en este caso, el término función parcial es de uso frecuente). Para poder discutir tales distinciones, muchos autores partidos una función en tres porciones, cada un sistema:

  • Un ƒ de la función es un triple pedido de sistemas (F,X,Y) con las restricciones, donde
    F ( gráfico) es un sistema de pares pedidos (x,y),
    X ( fuente) contiene todos los primeros elementos de F y quizás más, y
    Y ( blanco) contiene todos los segundos elementos de F y quizás más.

Las restricciones mas comunes son ésa F aparea cada uno x con apenas uno y, y eso X es justo el sistema de los primeros elementos de F y no más.

Cuando no las restricciones se ponen encendido F, hablamos de a relación entre X y Y más bien que una función. “Solo-se valora” la relación cuando la primera restricción sostiene: (x,y1)∈F y (x,y2)∈F junto implique y1 = y2. Las relaciones que no son solas valoradas se llaman a veces funciones multivalued. Una relación es “total” cuando una segunda restricción sostiene: si x∈X entonces (x,y)∈F para alguno y. Así podemos también decir eso

  • Una función de X a Y es en medio solo-valorada, total una relación X y Y.

gama de F, y del ƒ, es el sistema de todos los segundos elementos de F; es denotado a menudo por el ƒ del rng. dominio de F es el sistema de todos los primeros elementos de F; es denotado a menudo por el ƒ del dom. Hay dos definiciones comunes para el dominio del ƒ que algunos autores lo definen como el dominio de F, mientras que otros lo definen como la fuente del F.

La blanco Y de ƒ también se llama codomain del ƒ, denotado por el ƒ del bacalao; y la gama del ƒ también se llama imagen del ƒ, denotado por im el ƒ. El ƒ de la notación:X→Y indica que el ƒ es una función con dominio X y codomain Y.

Algunos autores omiten la fuente y la blanco como datos innecesarios. De hecho, dado solamente el gráfico F, uno puede construir un triple conveniente tomando el dom F para ser la fuente y el rng F para ser la blanco; esto automáticamente causas F para ser total. Sin embargo, la mayoría de los autores en matemáticas avanzadas prefieren la mayor energía de la expresión producida por el triple, especialmente la distinción que permite entre la gama y el codomain.

Incidentemente, los pares y los triples pedidos que hemos utilizado no son distintos de sistemas; podemos representarlos fácilmente dentro de teoría determinada. Por ejemplo, podemos utilizar {{x},{x,y}} para el par (x,y). Entonces para un triple (x,y,z) podemos utilizar el par ((x,y),z). Una construcción importante es Producto cartesiano de sistemas X y Y, denotado cerca X×Y, que es el sistema de todos los pares pedidos posibles (x,y) con x∈X y y∈Y. Podemos también construir el sistema de todas las funciones posibles del sistema X para fijar Y, que denotamos por cualquiera [X→Y] o YX.

Ahora tenemos enorme flexibilidad. Usando los pares para X podemos tratar, por ejemplo, substracción de números enteros como función, submarino:Z×Z→Z. Usando los pares para Y podemos dibujar una curva planar usando una función, crv:R→R×R. En el intervalo de unidad, I, podemos hacer una función definir para ser una en los números racionales y para poner a cero de otra manera, rata:I→2. Usando las funciones para X podemos considerar a integral definido sobre el intervalo de unidad a ser una función, interna: [I→R]→R.

Con todo todavía no estamos satisfechos. Podemos desear aún más generalidad en algunos casos, como una función que integral sea a función del paso; así definimos supuesto funciones generalizadas. Podemos desear menos generalidad, como una función podemos utilizar siempre realmente conseguir una respuesta definida; así definimos funciones recurrentes primitivas y entonces limítese a ésos que podemos probar somos con eficacia computable. O podemos desear relacionar sistemas no justos, pero estructuras algebraicas, termine con operaciones; así definimos homomorphisms.

Historia

La historia del concepto de la función en matemáticas se describe cerca da Ponte (1992). Como término matemático, “función“fue acuñado cerca Gottfried Leibniz en 1694, describir una cantidad se relacionó con a curva, por ejemplo una curva cuesta en un específico punto. Las funciones Leibniz considerado se llaman hoy funciones diferenciables. Para este tipo de función, una puede hablar límites y derivados; ambas son medidas de la salida o del cambio en la salida pues depende de la entrada o del cambio en la entrada. Tales funciones son la base de cálculo.

La función de la palabra fue utilizada más adelante cerca Leonhard Euler durante el siglo de mid-18th para describir expresión o participación del fórmula varia discusiones, e.g. ƒ (x) = pecado (x) + x3.

Durante el diecinueveavo siglo, los matemáticos comenzaron a formalizar todos los diversos ramas de las matemáticas. Weierstrass cálculo constructivo abogado encendido aritmética más bien que encendido geometría, que favorecieron la definición de Euler sobre Leibniz (véase arithmetization del análisis).

Al principio, la idea de una función era algo limitada. José Fourier, por ejemplo, demandado que cada función tenía a Serie de Fourier, algo que ningún matemático demandaría hoy. Ensanchando la definición de funciones, los matemáticos podían estudiar objetos matemáticos “extraños” tales como funciones continuas que son en ninguna parte diferenciable. Estas funciones eran primer pensamiento a ser solamente curiosidades teóricas, y colectivamente fueron llamadas los “monstruos” tan tarde como la vuelta del vigésimo siglo. Sin embargo, técnicas de gran alcance de análisis funcional han demostrado que estas funciones están en un cierto sentido “más común” que funciones diferenciables. Tales funciones se han aplicado desde entonces a modelar de fenómenos físicos por ejemplo Movimiento browniano.

Hacia el final del diecinueveavo siglo, los matemáticos comenzaron a formalizar todo el usar de las matemáticas fije la teoría, e intentaron definir cada objeto matemático como a sistema. Dirichlet y Lobachevsky se acreditan tradicionalmente con independientemente dar la definición “formal” moderna de una función como relación en la cual cada primer elemento tenga un segundo elemento único, pero la demanda de Dirichlet a esta formalización se disputa cerca Imre Lakatos:

No hay tal definición en los trabajos de Dirichlet en todos. Pero hay evidencia amplia que él no tenía ninguna idea de este concepto. En el suyo [1837], por ejemplo, cuando él discute funciones por trozos continuas, él dice que en los puntos de la discontinuidad la función tiene dos valores: ...
(Pruebas y refutaciones, 151, prensa 1976 de la universidad de Cambridge.)

Hardy (1908), pp. 26-28) definido una función como relación entre dos variables x y y tales que “a algunos valores de x de todos modos corresponden los valores de y. “Él ni unos ni otros requirió la función para ser definido para todos los valores de x ni para asociar cada valor de x a un solo valor de y. Esta amplia definición de una función abarca más relaciones que ordinariamente se consideran las funciones en matemáticas contemporáneas.

La noción de una función en general para el computar, más bien que una clase especial de relación, se ha estudiado extensivamente adentro lógica matemática y informática teórica. Modelos para éstos funciones computables incluya cálculo de la lambda, funciones μ-recurrentes y Máquinas de Turing.

Vocabulario

Una entrada específica en una función se llama discusión de la función. Para cada valor de la discusión x, el corresponder único y en el codomain se llama la función valor en x, o imagen de x debajo ƒ. La imagen de x puede ser escrito como ƒ (x) o como y. (Véase la sección encendido notación.)

gráfico de la función un ƒ es el sistema de todos pares pedidos (x, ƒ (x)), para todos x en el dominio X. Si X y Y son los subconjuntos de R, los números verdaderos, entonces esta definición coinciden con el sentido familiar del “gráfico” como un cuadro o diagrama de la función, con los pares pedidos siendo Coordenadas cartesianos de puntos.

El concepto del imagen puede ser extendido de la imagen de un punto a la imagen de a sistema. Si A es cualquier subconjunto del dominio, entonces ƒ (A) es el subconjunto de la gama que consiste en todas las imágenes de elementos del A. Decimos el ƒ (A) es imagen de A bajo F.

Note que la gama del ƒ es el ƒ de la imagen (X) de su dominio, y de ése la gama del ƒ es un subconjunto de su codomain.

preimage (o imagen inversa, o más exacto, termine la imagen inversa) de un subconjunto B del codomain Y bajo función un ƒ es el subconjunto del dominio X definido cerca

Así pues, por ejemplo, el preimage de {4, 9} bajo función que ajusta es el sistema {−3, −2, +2, +3}.

Generalmente el preimage de a singleton el sistema (un sistema con exactamente un elemento) puede contener cualquier número de elementos. Por ejemplo, si ƒ (x) = 7, entonces el preimage de {5} es el sistema vacío pero el preimage de {7} es el dominio entero. Así el preimage de un elemento en el codomain es un subconjunto del dominio. La convención generalmente sobre el preimage de un elemento es ese ƒ−1(b) ƒ de los medios−1({b}), es decir

Tres clases importantes de función son inyecciones (o funciones unas por), que tienen la característica que si el ƒ (a) = ƒ (b) entonces a debe igualar b; surjections (o sobre funciones), que tienen la característica que para cada y en el codomain hay x en el dominio tales que ƒ (x) = y; y bijections, que son unos por y sobre. Esta nomenclatura fue introducida por Grupo de Bourbaki.

Cuando la primera definición de la función dada arriba se utiliza, puesto que el codomain no se define, el “surjection” se debe acompañar con una declaración sobre el sistema los mapas de la función sobre. Por ejemplo, puede ser que digamos mapas del ƒ sobre el sistema de todos los números verdaderos.

Restricciones y extensiones

Informal, a restricción de la función un ƒ es el resultado de ajustar su dominio.

Más exacto, si el ƒ es una función de a X a Y, y S es cualquier subconjunto de X, restricción de ƒ a S es el ƒ de la función|S de S a Y tales que ƒ|S(s) = ƒ (s) para todos s en S.

Si g es cualquier restricción del ƒ, decimos que el ƒ es extensión de g.

Notación

Es común omitir paréntesis alrededor de la discusión cuando hay poca ocasión de la ambigüedad, así: pecado x. En algunos ajustes formales, uso de notación polaca reversa, x el ƒ, elimina la necesidad de cualquier paréntesis; y, por ejemplo, factorial la función se escribe siempre n¡! , aun cuando su generalización, función gamma, se escribe Γ (n).

La descripción formal de una función implica típicamente el nombre de la función, su dominio, su codomain, y una regla de la correspondencia. Así vemos con frecuencia una notación bipartita, un ejemplo que es

donde se lee la primera parte:

  • el “ƒ es una función de N a R“(uno escribe a menudo “dejó informal el ƒ: X → Y“para significar “deje el ƒ ser una función de X a Y“), o
  • el “ƒ es una función encendido N en R“, o
  • el “ƒ es a R- función valorada del N- variable valorada ",

y se lee la segunda parte:

  • mapas a

Aquí la función nombrada “ƒ” tiene números naturales como dominio, números verdaderos como codomain, y mapas n a sí mismo se dividió por el π. Menos formalmente, esta forma larga pudo ser abreviada

sin embargo con una cierta pérdida de información; nos dan no más explícitamente el dominio y el codomain. Incluso la forma larga aquí abrevia el hecho que n en el lado derecho se trata silenciosamente como número verdadero usando encajar estándar.

Un alternativa a la notación de los dos puntos, conveniente cuando se están componiendo las funciones, escribe el nombre de la función sobre la flecha. Por ejemplo, si el ƒ se sigue cerca g, donde g produce número complejo eix, podemos escribir

Una forma más elaborada de esto es diagrama comutativo.

Uso del ƒ (A) para denotar la imagen de un subconjunto A⊆X es constante siempre y cuando no hay subconjunto del dominio también un elemento del dominio. En algunos campos (e.g. en la teoría determinada, donde ordinales están también los sistemas de ordinales) que es conveniente o aún necesario distinguir los dos conceptos; la notación acostumbrada es ƒ [A] para el sistema {ƒ (x): ∈ x A }; algunos autores escriben `del ƒx en vez de ƒ (x), y ƒ ``A en vez de ƒ [A].

Composición de la función

Artículo principal: Composición de la función

composición de la función de dos o más funciones utiliza la salida de una función como la entrada de otra. El ƒ de las funciones: X → Y y g: Y → Z puede ser compuesto por el primer ƒ de aplicación a una discusión x para obtener y = ƒ (x) y entonces aplicándose g a y para obtener z = g(y). La función compuesta formó de esta manera del ƒ general y g puede ser escrito

La función a la derecha actúa primer y la función a la izquierda actúa en segundo lugar, invirtiendo orden inglesa de la lectura. Recordamos la orden leyendo la notación como “g del ƒ ". La orden es importante, porque raramente conseguimos a mismo resultado ambas maneras. Por ejemplo, suponga el ƒ (x) = x2 y g(x) = x+1. Entonces g(ƒ (x)) = x2+1, mientras que ƒ (g(x)) = (x+1)2, que es x2+2x+1, una diversa función.

De una manera similar, la función dada arriba por el fórmula y = 5x−20x3+16x5 puede ser obtenido componiendo varias funciones, a saber adición, negación, y multiplicación de números verdaderos.

Función de la identidad

Artículo principal: Función de la identidad

El excedente único de la función un sistema X eso traz cada elemento a sí mismo se llama función de la identidad para X, y denotado típicamente por la identificaciónX. Cada sistema tiene su propia función de la identidad, así que el subíndice no puede ser omitido a menos que el sistema se pueda deducir de contexto. Bajo composición, una función de la identidad es “hilo neutro”: si el ƒ es cualquier función de X a Y, entonces

Función inversa

Artículo principal: Función inversa

Si el ƒ es una función de X a Y entonces función inversa para el ƒ, denotado por el ƒ−1, es una función en la dirección opuesta, de Y a X, con la característica esa un viaje del redondo (a composición) vuelve cada elemento sí mismo. No cada función tiene lo contrario; se llaman los que lo hacen inversible.

Como ejemplo simple, si el ƒ convierte una temperatura grados Centígrado a los grados Fahrenheit, los grados que convierten de la función Fahrenheit a los grados Centígrado sea un ƒ conveniente−1.

La notación para la composición nos recuerda la multiplicación; de hecho, lo denotamos a veces que usa la yuxtaposición, gƒ, sin un círculo que interviene. Bajo esta analogía, las funciones de la identidad son como 1, y las funciones inversas están como reciprocals (por lo tanto la notación).

Especificar una función

Una función se puede definir por cualquier condición matemática que relaciona cada discusión con el valor correspondiente de la salida. Si el dominio es finito, un ƒ de la función puede ser definido simplemente tabulando todas las discusiones x y su función correspondiente valora el ƒ (x). Más comunmente, una función es definida por a fórmula, o (más generalmente) algoritmo - una receta que dice cómo computar el valor del ƒ (x) dado cualesquiera x en el dominio.

Hay muchas otras maneras de definir funciones. Los ejemplos incluyen repetición, algebraico o analítico encierro, límites, continuación analítica, infinito serie, y como soluciones a integral y ecuaciones diferenciales. cálculo de la lambda proporciona un de gran alcance y flexible sintaxis para definir y combinar funciones de varias variables.

Computability

Artículo principal: función computable

Las funciones que envían números enteros a los números enteros, o secuencias finitas a las secuencias finitas, se pueden definir a veces por algoritmo, que da una descripción exacta de un sistema de los pasos para computar la salida de la función de su entrada. Las funciones definibles por un algoritmo se llaman funciones computables. Por ejemplo, Algoritmo euclidiano da un proceso exacto para computar el divisor común más grande de dos números enteros positivos. Muchas de las funciones estudiaron en el contexto de teoría del número sea computable.

Resultados fundamentales de teoría del computability demuestre que hay las funciones que se pueden definir exacto pero no son computables. Por otra parte, en el sentido de cardinality, casi todas las funciones de los números enteros a los números enteros no son computables. El número de funciones computables de números enteros a los números enteros es contable, porque es el número de algoritmos posibles. El número de todas las funciones de números enteros a los números enteros es más alto: igual que el cardinality del números verdaderos. Así la mayoría de las funciones de números enteros a los números enteros no son computables. Los ejemplos específicos de funciones uncomputable se saben, incluyendo función ocupada del castor y las funciones se relacionaron con problema que para y otro problemas undecidable.

Funciones con las entradas múltiples y las salidas

El concepto de la función se puede ampliar a un objeto que lleve una combinación de dos (o más) valores de la discusión un solo resultado. Este concepto intuitivo es formalizado por una función que dominio sea Producto cartesiano de dos o más fija.

Por ejemplo, considere multiplicación función que asocia dos números enteros a su producto: ƒ (x, y) = x·y. Esta función se puede definir formalmente como teniendo dominio Z×Z , el sistema de todos los pares del número entero; codomain Z; y, para el gráfico, el sistema de todos los pares ((x,y), x·y). Observe que el primer componente de cualquier par es sí mismo un par (de números enteros), mientras que el segundo componente es un solo número entero.

El valor de la función del par (x,y) es el ƒ ((x,y)). Sin embargo, es acostumbrado caer un sistema de paréntesis y considerar el ƒ (x,y) a función de dos variables (o con dos discusiones), x y y.

El concepto puede ser ampliado aún más considerando una función que también produzca la salida que se expresa como varias variables. Por ejemplo considere el espejo de la función (x, y) = (y, x) con dominio R×R y codomain R×R también. El par (y, x) es un solo valor en el codomain considerado como producto cartesiano.

Operaciones binarias

El familiar operaciones binarias de aritmética, adición y multiplicación, puede ser visto como funciones de R×R a R. Esta visión se generaliza adentro álgebra abstracta, donde n- las funciones ary se utilizan para modelar las operaciones de estructuras algebraicas arbitrarias. Por ejemplo, un extracto grupo se define como sistema X y un ƒ de la función de X×X a X eso satisface ciertas características.

Tradicionalmente, la adición y la multiplicación se escriben en infix notación: x+y y x×y en vez de + (x, y) y × (x, y).

Espacios de la función

El sistema de todas las funciones de un sistema X a un sistema Y se denota cerca X → Y, cerca [X → Y], o cerca YX. La última notación es motivada por el hecho que, cuando X y Y sea finito, de tamaño m y n respectivamente, entonces el número de funciones X → Y es nm. Éste es un ejemplo de la convención del combinatorics enumerativo eso proporciona las notaciones para los sistemas basados en sus cardinalities.

Vea el artículo encendido números cardinales para más detalles.

Podemos interpretar el ƒ: X → Y para significar el ∈ del ƒ [X → Y]; es decir, el “ƒ es una función de X a Y".

Operaciones de Pointwise

Si ƒ: X → R y g: X → R son las funciones con dominio común X y codomain común a anillo R, entonces uno puede definir el ƒ de la función de suma + g: X → R y el ⋅ del ƒ de la función del producto g: X → R como sigue:

para todos x en X.

Esto da vuelta al sistema de todas tales funciones en un anillo. Las operaciones binarias en ese anillo tienen como pares pedidos dominio de funciones, y como codomain funcionan. Éste es un ejemplo de subir para arriba en la abstracción, a las funciones de tipos más complejos.

Tomando algún otro estructura algebraica A en el lugar de R, podemos dar vuelta al sistema de todas las funciones de X a A en una estructura algebraica del mismo mecanografíe adentro una manera análoga.

Otras características

Hay muchas otras clases especiales de las funciones que son importantes para los ramas particulares de las matemáticas, o de los usos particulares. Aquí está una lista parcial:

Vea también

Referencias

Acoplamientos externos

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