Top 10 de los artículos

YouTube
Gmail
Goole
GayRomeo
Números chinos
Números romanos
Orkut
Costco
Sistema porta hepático
El mundo Factbook

News:

Serie de Fourier

Fourier transforma
Fourier continuo transforma
Serie de Fourier
Fourier discreto transforma
El tiempo discreto Fourier transforma
Relacionado transforma

En matemáticas, a Serie de Fourier descompone una función periódica en una suma de funciones oscilantes simples, a saber senos y cosenos. El estudio de la serie de Fourier Es un rama de Análisis de Fourier. Las series de Fourier Fueron introducidas cerca José Fourier (1768-1830) con el fin de solucionar ecuación del calor en un plateado de metal, condujo a una revolución en las matemáticas, forzando a matemáticos reexaminar las fundaciones de las matemáticas y conduciendo a muchas teorías modernas por ejemplo Integración de Lebesgue.

La ecuación del calor es a ecuación diferencial parcial. Antes del trabajo de Fourier, no había solución sabida a la ecuación del calor en una situación general. Aunque es particular las soluciones eran sabidas si la fuente de calor se comportó de una manera simple, particularmente si la fuente de calor era a seno o coseno onda. Estas soluciones simples ahora a veces se llaman los eigensolutions. La idea de Fourier era modelar una fuente de calor complicada como superposición (o combinación linear) de las ondas simples del seno y del coseno, y escribir la solución como superposición de los eigensolutions correspondientes. Esta superposición o combinación linear se llama la serie de Fourier.

Aunque la motivación original era solucionar ecuación del calor, llegó a ser más adelante obvio que las mismas técnicas se podrían aplicar a una amplia gama de problemas matemáticos y físicos. Los resultados básicos son muy fáciles de entender con la teoría moderna.

La serie de Fourier Tiene muchos usos adentro ingeniería eléctrica, vibración análisis, acústica, la óptica, proceso de señal, proceso de imagen, etc.

Contenido

Desarrollo histórico

Las series de Fourier Se nombran en honor de José Fourier (1768-1830), que hizo contribuciones importantes al estudio de la serie trigonometric, después de investigaciones preliminares cerca Madhava, Nilakantha Somayaji, Jyesthadeva, Leonhard Euler, d'Alembert de Jean le Rond, y Daniel Bernoulli. Él aplicó esta técnica para encontrar la solución del ecuación del calor, publicando sus resultados de la inicial adentro 1807 y 1811, y publicar el suyo Théorie analytique de la chaleur en 1822.

Desde un punto de vista moderno, los resultados de Fourier son algo informales, debido a la carencia de una noción exacta de función y integral en el diecinueveavo siglo temprano (por ejemplo, uno se preguntaba[la citación necesitó]si una función definida en dos intervalos con dos diversos fórmulas seguía siendo una función). Más adelante, Dirichlet y Riemann resultados de Fourier expresado con la mayores precisión y formalidad.

Un artículo revolucionario

“

Multiplicando ambos lados cerca , y entonces integrando de y = − 1 a y = + 1 producciones:


 ”

- José Fourier, solides del cuerpo de los les de los dans de la propagation de la chaleur del sur de Mémoire, pp. 218--219.[1]

En estas pocas líneas, que están asombrosamente cerca del formalismo moderno utilizó en la serie de Fourier, Fourier revolucionó involuntariamente matemáticas y la física. Aunque es similar las series trigonometric fueron utilizadas previamente por Euler, d'Alembert, Daniel Bernoulli y Gauss, Fourier creyó que tal serie trigonometric podría representar arbitrario funciones. Mientras que esto no es verdad, las tentativas sobre muchos años de clarificar esta idea han conducido a los descubrimientos importantes en las teorías de convergencia, espacios de la función, y análisis armónico.

Cuando Fourier sometió su papel en 1807, el comité (integrado por ningunos pocos matemáticos que Lagrange, Laplace, Malus y Legendre, entre otros) concluidos: … la manera en la cual el autor llega estas ecuaciones no es exenta de dificultades y de [...] su análisis integrarlos todavía deja algo ser deseado en la cuenta de la generalidad e incluso del rigor.

El nacimiento del análisis armónico

Desde el tiempo de Fourier, muchos diversos acercamientos a definir y a entender el concepto de la serie de Fourier Se han descubierto, que son constante el uno con el otro, pero que acentúa diversos aspectos del asunto. Algunos de los acercamientos más de gran alcance y más elegantes se basan en ideas matemáticas y las herramientas que no estaban disponibles en ese entonces Fourier terminaron su trabajo original. Fourier definió originalmente la serie de Fourier Para las funciones real-valued de discusiones verdaderas, y de usar las funciones del seno y de coseno como sistema de la base para la descomposición.

Mucho otro Fourier-relacionado transforma se han definido desde entonces, ampliando la idea inicial a otros usos. Esta área general de la investigación ahora se llama a veces análisis armónico.

Definición

En esta sección, f(x) denota una función de la variable verdadera x. Esta función se toma generalmente para ser periódico, del período 2π, que es decir eso f(x+2π) = f(x), para todos los números verdaderos x. Demostraremos cómo escribir una función tal como una suma infinita, o serie. Comenzaremos usando una suma infinita de seno y coseno las funciones del intervalo [- π, π], como lo hizo Fourier (véase la cotización arriba), y nosotros entonces discutiremos diversas formulaciones y generalizaciones.

El fórmula de Fourier para 2π-periodic funciona con senos y cosenos

Para una función 2π-periodic f(x) los números

y

se llaman los coeficientes de Fourier de f. suma infinita

es Serie de Fourier para f en el intervalo [- π, π]. La serie de Fourier No converge, tan allí puede siempre no ser igualdad en el fórmula arriba. Es una de las preguntas principales adentro Análisis armónico para decidir cuando la igualdad sostiene. Si es una función cuadrado-integrable en el intervalo [- π, π], entonces puede ser representado en ese intervalo por el fórmula anterior.

Ejemplo: una serie de Fourier Simple

Ahora utilizamos los fórmulas arriba para dar una extensión de la serie de Fourier De una función muy simple. Considere una función del sawtooth (según lo representado en la figura):

En este caso, los coeficientes de Fourier se dan cerca

Y por lo tanto:

 

 

 (Eq.1)

 

Uno nota que la extensión de la serie de Fourier De nuestra función parece mucho menos simple que el fórmula f(x)=x, y no es tan inmediatamente evidente porqué uno necesitaría esta serie de Fourier. Mientras que hay muchos usos, citamos la motivación de Fourier de solucionar la ecuación del calor. Por ejemplo, considere un plateado de metal en la forma de un cuadrado que lado mida los metros del π, con coordenadas . Si no hay fuente de calor dentro de la placa, y si tres de los cuatro lados se llevan a cabo en 0 grados centígrado, mientras que el cuarto lado, dado cerca yel =π, se mantiene en el gradiente de la temperatura T(x, π) = x grados centígrados, para x en (0, π), entonces uno puede demostrar que la distribución inmóvil del calor (o la distribución del calor después de que haya transcurrido un período del tiempo largo) está dada cerca

Aquí, el sinh es seno hiperbólico función. Esta solución de la ecuación del calor es obtenida multiplicando cada término de (Eq.1) por el sinh (ny) /sinh (nπ). Mientras que nuestra función del ejemplo f(x) se parece tener una serie de Fourier Innecesario complicada, la distribución del calor T(x,y) es no trivial. La función T no puede ser escrito como a expresión del closed-form. Este método de solucionar el problema del calor solamente fue hecho posible por el trabajo de Fourier.

Otro uso de esta serie de Fourier Es solucionar Problema de Basilea usando Teorema de Parseval. El ejemplo generaliza y uno puede computar zeta(2n), para cualquier número entero positivo N.

La versión moderna usando exponentials complejos

Podemos utilizar Fórmula de Euler, einx = lechuga romana (nx) + ipecado (nx), donde i es unidad imaginaria, para dar un fórmula más sucinto:

Los coeficientes de Fourier entonces se dan cerca:

Los coeficientes de Fourier an,bn,cn sea relacionado vía

an = cn + c − n para

y

bn = i(cn − c − n) para

La notación cn es inadecuado para discutir los coeficientes de Fourier de varias diversas funciones. Por lo tanto es substituido acostumbradamente por una forma modificada de (en este caso), por ejemplo o   y la notación funcional substituye a menudo subscripting.  Así:

En varios campos de la ciencia, la secuencia tiene otros nombres, por ejemplo función característica (teoría de las probabilidades). En la ingeniería, particularmente cuando variable x representa tiempo, la secuencia se llama a dominio de la frecuencia representación. Los corchetes son de uso frecuente acentuar que el dominio de esta función es a discreto sistema de frecuencias.

Series de Fourier En un intervalo del general [a,b]

Deje G [0], G [±1], G [±2], … sea coeficientes verdaderos o complejos. La serie de Fourier:

es una función periódica, que es período en el dominio   Si es una función cuadrado-integrable en el intervalo   puede ser representado en ese intervalo por el fórmula arriba. Si g(x) son integrables, entonces los coeficientes de Fourier se dan cerca:

Observe que si la función que se representará está también - periódico, entonces es una opción arbitraria. Dos opciones populares son y  

Otra representación de uso general del dominio de la frecuencia utiliza los coeficientes de la serie de Fourier Para modular a Peine de Dirac:

donde variable representa a continuo dominio de la frecuencia. Cuando variable tiene unidades de segundos, tiene unidades de hertzios. Los “dientes” del peine se espacian en los múltiplos (es decir. armónicos) de    cuál se llama frecuencia fundamental. La original puede ser recuperado de esta representación por Fourier inverso transforma.[2] La función por lo tanto se refiere comúnmente como a Fourier transforma, aun cuando el integral de Fourier de una función periódica no es convergente.[3]

Serie de Fourier En un cuadrado

Podemos también definir la serie de Fourier Para las funciones de dos variables x y y en [- π, π] el × cuadrado [- π, π]:

Aparte de ser útil para solucionar ecuaciones diferenciales parciales tales como la ecuación del calor, un uso notable de la serie de Fourier Del cuadrado está adentro compresión de la imagen. Particularmente, JPEG el estándar de la compresión de la imagen utiliza el de dos dimensiones el coseno discreto transforma, que es un Fourier transforme con las funciones de la base del coseno.

Interpretación del espacio de Hilbert

Artículo principal: Espacio de Hilbert

En la lengua de Los espacios de Hilbert, el sistema de funciones es base orthonormal para el espacio L2([π del −, π]) de funciones cuadrado-integrables de [π del −, π]. Este espacio es realmente a Espacio de Hilbert con producto interno dado cerca:

El resultado básico de la serie de Fourier De los espacios de Hilbert se puede escribir como

Esto corresponde exactamente a la formulación exponencial compleja dada arriba. La versión con senos y cosenos también se justifica con la interpretación del espacio de Hilbert. Claramente, los senos y los cosenos forman sistema orthonormal:

(donde δmn es Delta de Kronecker), y

La densidad de su palmo es una consecuencia del Teorema de la Piedra-Weierstrass.

Características

Decimos eso si f es una función de cuál es k mide el tiempo de diferenciable, su kel derivado del th es continuo, y es 2π- periódico.

  • Si f es a 2π- periódico función impar, entonces an = 0 para todos n.
  • Si , entonces los coeficientes de Fourier del derivado f'(t) puede ser expresado en términos de coeficientes de Fourier de la función f(t), vía el fórmula .
  • Si , entonces . Particularmente, desde entonces tiende a cero, nosotros tienen eso tiende a cero, que significa que los coeficientes de Fourier convergen a más rápido cero que kenergía del th de n.
  • TEOREMA (Plancherel). Si son los coeficientes y entonces hay una función única tales que para cada n.

Caso general

Hay muchas avenidas posibles para generalizar la serie de Fourier. El estudio de la serie de Fourier Y de sus generalizaciones se llama Análisis armónico.

Funciones generalizadas

Artículos principales: Función generalizada y Distribución (matemáticas)

Uno puede ampliar la noción de los coeficientes de Fourier a las funciones que no son cuadrado-integrables, y uniforme a los objetos que no son funciones. Esto es muy útil en la ingeniería y los usos porque necesitamos a menudo tomar el Fourier transforman de a Función delta de Dirac. El delta de Dirac δ no está realmente una función, es una medida pero todavía hace que un Fourier transforme, y para cada n. Esta generalización agranda el dominio de la definición del Fourier transforma de L2([π del −, π]) a un sobreconjunto de L2. La serie de Fourier Converge débil.

Grupos compactos

Artículos principales: Grupo compacto y Grupo de mentira

Una de las características interesantes del Fourier transforma que hemos mencionado, es que lleva circunvoluciones a los productos del pointwise. Si ésa es la característica que intentamos preservar, una puede producir la serie de Fourier En cualesquiera grupo compacto. Los ejemplos típicos incluyen ésos grupos clásicos eso es compacto. Esto generaliza el Fourier transforma a todos los espacios de la forma L2(G), donde G es un grupo compacto, de una manera tal que el Fourier transforme lleve circunvoluciones a los productos del pointwise. La serie de Fourier Existe y converge de maneras similares a [π del −, π] caso.

Múltiples de Riemannian

Artículos principales: Operador de Laplace y Múltiple de Riemannian

Si el dominio no es un grupo, entonces no hay circunvolución intrínseco definida. Sin embargo, si X es a acuerdo Múltiple de Riemannian, tiene un operador de Laplace-Beltrami. Puesto que el operador de Laplace-Beltrami es el operador diferenciado a quien corresponde Operador de Laplace para el múltiple de Riemannian X. Entonces, por analogía, uno puede entonces considerar ecuaciones del calor encendido X. Puesto que Fourier llegó su base procurando solucionar la ecuación del calor, la generalización natural es utilizar los eigensolutions del operador de Laplace-Beltrami como base. Esto generaliza la serie de Fourier A los espacios del tipo L2(X), donde X es un múltiple de Riemannian. La serie de Fourier Converge de las maneras similares a [π del −, π] caso. Un ejemplo típico es tomar X para ser la esfera con el métrico generalmente, en este caso la base de Fourier consiste en armónicos esféricos.

Grupos Abelian localmente compactos

Artículo principal: Dualidad de Pontryagin

La generalización para condensar a grupos discutidos arriba no generaliza a los grupos no compactos, nonabelian. Sin embargo, hay una generalización del straightfoward localmente para condensar los grupos Abelian (LCA).

Esto generaliza el Fourier transforma a L1(G) o L2(G), donde está un grupo G de LCA. Si G es el acuerdo, uno también obtiene una serie de Fourier, Que converge semejantemente a [π del −, π] caso, pero si G es no compacto, uno obtiene en lugar de otro a Integral de Fourier. Esta generalización rinde el generalmente Fourier transforma cuando localmente el grupo Abelian compacto subyacente está .

Aproximación y convergencia de la serie de Fourier

Una pregunta importante para la teoría así como usos es la de la convergencia. Particularmente, es a menudo necesario en usos substituir la serie infinita por finito,

Esto se llama a suma parcial. Quisiéramos saber, en quienes el sentido lo hace SN(x) converja a f(x) como N tiende al infinito.

Lo menos - característica de los cuadrados

Decimos eso p es a polinomio trigonometric del grado N cuando está de la forma

Observe eso SN(x) es un polinomio trigonometric del grado N. El teorema de Parseval implica eso

TEOREMA. SN(x) es el mejor polinomio trigonometric único del grado N el aproximar f(x), en el sentido que, para cualquier polinomio trigonometric del grado N, tenemos .

Aquí, la norma del espacio de Hilbert es

Convergencia

Artículo principal: Convergencia de la serie de Fourier

Debido a el lo menos - característica de los cuadrados, y debido a lo completo de la base de Fourier, obtenemos un resultado elemental de la convergencia.

TEOREMA. Si , entonces la serie de Fourier Converge adentro L2([π del −, π]), es decir, converge a 0 como N va al infinito.

Hemos mencionado ya eso si f es dos veces continuamente diferenciable, entonces converge a cero como n va al infinito. Esto da inmediatamente un segundo resultado de la convergencia.

TEOREMA. Si , entonces converge a cero, es decir, SN converge a f uniformemente.

Particularmente, SN converge a f pointwise.

Muchos otros casos se discuten en el artículo principal, Convergencia de la serie de Fourier, extendiéndose del resultado moderado simple en el cual la serie converge x si f es diferenciable en x, a Lennart Carleson un resultado mucho más sofisticado ese la serie de Fourier De L2 la función converge realmente casi por todas partes.

Divergencia

Puesto que las series de Fourier Tienen tales buenas características de la convergencia, muchos son sorprendidos a menudo por algunos de los resultados negativos. Por ejemplo, la serie de Fourier De un continuo T- la función periódica no necesita converger pointwise.

En 1922, Andrey Kolmogorov publicó un artículo titulado “partout del presque del divergente de de Fourier-Lebesgue del série de Une” en cuál él dio a ejemplo de una función Lebesgue-integrable que diverge serie de Fourier Casi por todas partes.

Vea también

Notas

  1. ^ Gallica - Fourier, Jean-Baptiste-José (1768-1830). Oeuvres de Fourier. 1888
  2. ^ Formalmente, lo contrario transforma se da cerca:
  3. ^ Puesto que el integral que define el Fourier transforma de una función periódica no es convergente, es necesario ver la función periódica y su transforme como distribuciones. En este sentido es a Función delta de Dirac, que es un ejemplo de a distribución.

Referencias

  • José Fourier, traducido por Alexander Freeman (publicado 1822, tradujo 1878, re-lanzado 2003). La teoría analítica del calor. Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-49531-0.  nueva edición íntegra 2003 de la traducción de 1878 ingleses de Alexander Freeman del trabajo de Fourier Théorie Analytique de la Chaleur, publicado originalmente en 1822.
  • Yitzhak Katznelson, Una introducción al análisis armónico, El segundo corrigió la edición. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1976. ISBN 0-486-63331-4
  • Felix Klein, Desarrollo de las matemáticas en el diecinueveavo siglo. Prensa Brookline, Mass, 1979 de Mathsci. Traducido por el M. Ackerman de Der Mathematik im 19 Jahrhundert de Entwicklung del dado del über de Vorlesungen, Springer, Berlín, 1928.
  • Walter Rudin, Principios del análisis matemático, Tercera edición. McGraw-Colina, Inc., Nueva York, 1976. ISBN 0-07-054235-X
  • Guillermo E. Boyce y Richard C. DiPrima, Problemas elementales de las ecuaciones diferenciales y de valor de límite, Octava edición. John Wiley & Sons, Inc., New Jersey, 2005. ISBN 0-471-43338-1

Acoplamientos externos

Este artículo incorpora el material de ejemplo de la serie de Fourier en PlanetMath, que se licencia debajo de GFDL.

The original article is from Wikipedia. To view the original article please click here.
Creative Commons Licence

 
Custom Search