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Método de elemento finito

método de elemento finito (FEM) se utiliza para encontrar soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales parciales (PDE) así como de ecuaciones integrales por ejemplo ecuación del transporte del calor. El acercamiento de la solución se basa en la eliminación de la ecuación diferencial totalmente (los problemas del estado constante), o la representación del PDE a un sistema que aproxima de ecuaciones diferenciales ordinarias, tales como que entonces se solucionan usando técnicas estándares Método de Euler, Runge-Kutta, etc.

En solucionar ecuaciones diferenciales parciales, el desafío primario es crear una ecuación que aproxime la ecuación que se estudiará, pero es numéricamente estable, significando que los errores en los datos y los cálculos intermedios de entrada no acumulan y no hacen la salida que resulta ser sin setido. Hay muchas maneras de hacer esto, todo con ventajas y desventajas. El método de elemento finito es una buena opción para solucionar dominios complejos del excedente parcial de las ecuaciones diferenciales (como los coches y los oleoductos), cuando el dominio cambia (como durante una reacción de estado sólido con un límite móvil), cuando la precisión deseada varía sobre el dominio entero, o cuando la solución carece suavidad. Por ejemplo, en la simulación del patrón del tiempo en la tierra, consiste más importante tener predicciones exactas sobre tierra que sobre el mar abierto de par en par, una demanda que sea realizable con el método de elemento finito.

Contenido

Historia

El método del finito-elemento originó de las necesidades de solucionar el complejo elasticidad, análisis estructural problemas adentro genio civil y ingeniería aeronáutica. Su desarrollo se puede remontar de nuevo al trabajo cerca Alexander Hrennikoff (1941) y Richard Courant (1942). Mientras que los acercamientos usados por estos pioneros son dramáticamente diferentes, comparten una característica esencial: acoplamiento discretización de un dominio continuo en un sistema de secundario-dominios discretos. El trabajo de Hrennikoff individualiza el dominio usando una analogía del enrejado mientras que el acercamiento de Courant divide el dominio en los subregions triangulares finitos para la solución de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas de la segunda orden (PDEs) de las cuales preséntese del problema torsión de un cilindro. La contribución de Courant era evolutiva, dibujando en un cuerpo grande de resultados anteriores para PDEs desarrollado cerca Rayleigh, Ritz, y Galerkin. El desarrollo del método de elemento finito comenzó en serio en el centro a tarde los años 50 para armadura de avión y análisis estructural y ímpetu recolectado en Universidad de Stuttgart a través del trabajo de Juan Argyris y en Berkeley a través del trabajo de Rayo W. Clough en los años 60 para el uso adentro genio civil.[1] El método fue proporcionado una fundación matemática rigurosa adentro 1973 con la publicación de Strang y Arreglo's Un análisis del método de elemento finito, y se ha generalizado desde entonces en un rama de las matemáticas aplicadas para modelar numérico de sistemas físicos en una variedad amplia de ingeniería disciplinas, e.g., electromagnetismo y dinámica flúida.

El desarrollo del método de elemento finito en mecánicos estructurales se basa a menudo en un principio de la energía, e.g., trabajo virtual principio o principio potencial total mínimo de la energía, que proporciona una base general, intuitiva y física que tenga una gran súplica a los ingenieros estructurales.

Discusión técnica

Ilustraremos el método de elemento finito usando dos problemas de la muestra de los cuales el método general pueda ser extrapolado. Se asume que el lector está al corriente de cálculo y álgebra linear.

P1 es a unidimensional problema

donde f se da y u es una función desconocida de x, y u'' es el segundo derivado de u con respecto a x.

de dos dimensiones el problema de la muestra es Problema de Dirichlet

donde Ω es una región abierta conectada en (x,y) límite del plano que es “agradable” (e.g., a múltiple liso o a polígono), y uxx y uyy denote los segundos derivados con respecto a x y y, respectivamente.

El problema P1 puede ser solucionado “directamente” computando antiderivatives. Sin embargo, este método de solucionar problema de valor de límite trabaja solamente cuando hay solamente una dimensión espacial y no generaliza a los problemas alto-dimensionales o a los problemas como u + u'' = f. Por esta razón, desarrollaremos el método de elemento finito para P1 y contornearemos su generalización a P2.

Nuestra explicación procederá en dos pasos, que reflejan dos pasos esenciales uno deben tomar para solucionar un problema de valor de límite (BVP) que usa el FEM.

  • En el primer paso, uno reformula el BVP original en su débil, o variado forma. Poco a ningún cómputo se requiere generalmente para este paso, la transformación se hace a mano en el papel.
  • El segundo paso es la discretización, donde la forma débil está individualizada en un espacio dimensional finito.

Después de este segundo paso, tenemos fórmulas concretos para un problema linear dimensional grande pero finito que solución solucione aproximadamente el BVP original. Este problema dimensional finito entonces se pone en ejecución en a computadora.

Formulación variada

El primer paso es convertir P1 y P2 en su variado equivalentes. Si u soluciona P1, entonces para cualquier función lisa v eso satisface las condiciones de límite de la dislocación, es decir. v = 0 en x = 0 y x = 1, tenemos

(1)

Inversamente, si para dado u, (1) sostiene para cada función lisa v(x) entonces uno puede demostrar a eso esto u solucionará P1. (La prueba es no trivial y aplicaciones Espacios de Sobolev.)

Usando integración por las piezas en el derecho-mano-lado de (1), obtenemos

(2)

donde hemos utilizado la asunción eso v(0) = v(1) = 0.

Un contorno de la prueba de la existencia y unicidad de la solución

Podemos pensar libremente en para ser absolutamente continuo funciones de (0,1) eso es 0 en x = 0 y x = 1 (véase Espacios de Sobolev). Tal función es (débil) “una vez que sea diferenciable” y resulta que el simétrico mapa bilineario entonces define producto interno cuál da vuelta en a Espacio de Hilbert (una prueba detallada es no trivial.) por otra parte, el izquierdo-mano-lado está también un producto interno, este vez en Espacio del Lp L2(0,1). Un uso del Teorema de la representación de Riesz para los espacios de Hilbert demuestra que hay un único u el solucionar (2) y por lo tanto P1.

La forma variada de P2

Si integramos por las piezas usando una forma de Teorema de Green, vemos eso si u soluciona P2, entonces para cualesquiera v,

donde denota gradiente y denota producto de punto en el plano de dos dimensiones. Una vez más puede ser dado vuelta en un producto interno en un espacio conveniente de funciones “una vez diferenciables” de Ω eso es cero encendido . También hemos asumido eso (véase Espacios de Sobolev). La existencia y la unicidad de la solución pueden también ser demostradas.

Discretización

La idea básica es substituir el problema linear dimensional infinito:

Hallazgo tales que

con una versión dimensional finita:

(3) Hallazgo tales que

donde V es un dimensional finito subspace de . Hay muchas opciones posibles para V (una posibilidad conduce a método espectral). Sin embargo, para el método de elemento finito tomamos V para ser un espacio de funciones por trozos lineares.

Para el problema P1, tomamos el intervalo (0,1), elija n x valores 0 = x0 < x1 < ... < xn < xn + 1 = 1 y definimos V por

donde definimos x0 = 0 y xn + 1 = 1. Observe que las funciones adentro V no sea diferenciable según la definición elemental del cálculo. De hecho, si entonces el derivado no se define típicamente en cualesquiera x = xk, k = 1,...,n. Sin embargo, el derivado existe en cada otro valor de x y uno puede utilizar este derivado con el fin de integración por las piezas.

Para el problema P2, necesitamos V para ser un sistema de funciones de Ω. En la figura a la derecha, hemos ilustrado a triangulación de 15 echados a un lado poligonal región Ω en el plano (abajo), y una función por trozos linear (sobre, en color) de este polígono que es linear en cada triángulo de la triangulación; el espacio V consistiría en las funciones que son lineares en cada triángulo de la triangulación elegida.

Uno lee a menudo Vh en vez de V en la literatura. La razón es que uno espera que como la rejilla triangular subyacente llega a ser más fina y más fina, la solución del problema discreto (3) en un cierto sentido convergerá a la solución del problema de valor de límite original P2. La triangulación entonces es puesta en un índice por un parámetro valorado verdadero h > 0 cuál uno toma para ser muy pequeño. Este parámetro será relacionado con el tamaño del triángulo más grande o medio de la triangulación. Como refinamos la triangulación, el espacio de funciones por trozos lineares V la necesidad también cambia con h, por lo tanto la notación Vh. Puesto que no realizamos tal análisis, no utilizaremos esta notación.

Elegir una base

Para terminar la discretización, debemos seleccionar a base de V. En la caja unidimensional, para cada punto de control xk elegiremos la función por trozos linear vk en V es de quién valor 1 en xk y cero en cada , es decir,

para k = 1,...,n; esta base es haber cambiado de puesto y escalado función de la tienda. Para el caso de dos dimensiones, elegimos otra vez una función de la base vk por cima xk de la triangulación de la región planar Ω. La función vk es la función única de V es de quién valor 1 en xk y cero en cada .

Dependiendo del autor, la palabra “elemento” en “método de elemento finito” se refiere a los triángulos en el dominio, la función por trozos linear de la base, o a ambos. Tan por ejemplo, un autor interesado en dominios curvados pudo substituir los triángulos por los primitivos curvados, en este caso él puede ser que describa sus elementos como siendo curvilíneo. Por otra parte, algunos autores substituyen “por trozos linear” por “por trozos la ecuación cuadrática” o aún “por trozos el polinomio”. El autor pudo entonces decir el “elemento de una orden más alta” en vez de un “polinomio más alto del grado.” El método de elemento finito no se restringe a los triángulos (o al tetrahedra en simplexes de la orden tridimensional, o más alta en espacios multidimensionales), pero se puede definir en los subdomains cuadriláteros (hexahedra, prismas, o pirámides en tridimensional, y así sucesivamente). Las formas de una orden más alta (elementos curvilíneos) se pueden definir con polinómico e incluso formas no-polinómicas (e.g. elipse o círculo).

Los métodos que utilizan funciones por trozos polinómicas más altas de la base del grado se llaman a menudo métodos espectrales del elemento, especialmente si el grado de los polinomios aumenta como el tamaño de la triangulación h va a cero.

Puestas en práctica más avanzadas (métodos de elemento finito adaptantes) utilizan un método para determinar la calidad de los resultados (basados en teoría de la valoración del error) y para modificar el acoplamiento durante la solución que apunta alcanzar la solución aproximada dentro de alguno limitan de “exigen” la solución del problema de la serie continua. La adaptatividad del acoplamiento puede utilizar varias técnicas, el más popular es:

  • nodos móviles (r-adaptatividad)
  • elementos refinadores (y unrefining) (h-adaptatividad)
  • orden que cambia de las funciones bajas (p-adaptatividad)
  • combinaciones del antedicho (e.g. caballo de fuerza-adaptatividad)

Ayuda pequeña de la base

La ventaja primaria de esta opción de la base es que los productos internos

y

sea cero para casi todos j,k. (El contener de la matriz en (j,k) la localización se conoce como Matriz de Gramian.) En el caso unidimensional, ayuda de vk es el intervalo [xk − 1,xk + 1]. Por lo tanto, los integrandos de y Φ (vj,vk) sea idénticamente cero siempre que | j − k | > 1.

Semejantemente, en el caso planar, si xj y xk no comparta un borde de la triangulación, entonces los integrales

y

es ambo cero.

Forma de la matriz del problema

Si escribimos y entonces el problema (3) se convierte

(4) para j = 1,...,n.

Si denotamos cerca y los vectores de la columna (u1,...,un)t y (f1,...,fn)t, y si dejamos L = (Lij) y M = (Mij) sea las matrices que son entradas Lij = φ (vi,vj) y entonces podemos reformular (4) como

(5) .

Como hemos discutido antes, la mayor parte de las entradas de L y M es cero porque funciona la base vk tenga ayuda pequeña. Ahora tenemos que solucionar tan un sistema linear en el desconocido donde la mayor parte de las entradas de la matriz L, que necesitamos invertir, es cero.

Se conocen tales matrices como matrices escasas, y hay los solvers eficientes para tales problemas (mucho más eficientes que realmente invirtiendo la matriz.) además, L es definido simétrico y positivo, tan una técnica tal como método conyugal del gradiente se favorece. Para los problemas que no son demasiado grandes, escaso Descomposiciones del LU y Descomposiciones de Cholesky todavía pozo del trabajo. Por ejemplo, Matlab'el operador del backslash de s (que utiliza el LU escaso, Cholesky escaso, y otros métodos de la facturización) pueden ser suficientes para los acoplamientos con cientos mil cimas.

La matriz L se refiere generalmente como matriz de la tiesura, mientras que la matriz M es doblado matriz total.

Forma general del método de elemento finito

El método de elemento finito es caracterizado generalmente por el proceso siguiente.

  • Uno elige una rejilla para Ω. En el tratamiento precedente, la rejilla consistió en triángulos, pero uno puede también utilizar cuadrados o polígonos curvilíneos.
  • Entonces, uno elige funciones de la base. En nuestra discusión, utilizamos funciones por trozos lineares de la base, pero es también campo común para utilizar funciones por trozos polinómicas de la base.

Una consideración separada es la suavidad de las funciones de la base. Para la segunda orden problemas de valor de límite elípticos, la función por trozos polinómica de la base que son simplemente continuos es suficiente (es decir, los derivados son discontinuos.) para las ecuaciones diferenciales parciales de una orden más alta, una debe utilizar funciones más lisas de la base. Por ejemplo, para un cuarto problema de la orden por ejemplo uxxxx + uyyyy = f, uno puede utilizar las funciones por trozos cuadráticas de la base que son C1.

Otra consideración es la relación del espacio dimensional finito V a sus contrapartes dimensionales infinitas, en los ejemplos arriba . Un método del elemento que se conforma es uno en el cual el espacio V es un subspace del espacio del elemento para el problema continuo. El ejemplo arriba es tal método. Si esta condición no está satisfecha, obtenemos un método no conforme del elemento, un ejemplo de el cual es el espacio de las funciones por trozos lineares sobre el acoplamiento que son continuas en cada punto mediano del borde. Puesto que estas funciones son en general discontinuas a lo largo de los bordes, este espacio dimensional finito no es un subspace de la original .

Típicamente, uno tiene un algoritmo para tomar un acoplamiento dado y subdividing lo. Si el método principal para aumentar la precisión es subdividir el acoplamiento, uno tiene h- método (h está acostumbradamente el diámetro del elemento más grande del acoplamiento.) de este modo, si uno demuestra a eso el error con una rejilla h se limita arriba cerca Chp, para alguno y p > 0, entonces uno tiene una orden p método. Bajo ciertas hipótesis (por ejemplo, si el dominio es convexo), por trozos un polinomio de la orden d el método tendrá un error de la orden p = d + 1.

Si en vez de la fabricación h más pequeño, uno aumenta el grado de los polinomios usados en la función de la base, una tiene a p- método. Si simultáneamente marcas una h más pequeño mientras que hace p más grande, uno tiene caballos de fuerza- método. Método de la alta orden (con grande p) se llaman métodos espectrales del elemento, con que no es ser confundida métodos espectrales.

Para las ecuaciones diferenciales parciales del vector, las funciones de la base pueden tomar valores adentro .

Comparación al método finito de la diferencia

método finito de la diferencia (FDM) es una manera alternativa de aproximar soluciones de PDEs. Las diferencias entre FEM y FDM son:

  • El método finito de la diferencia es una aproximación a la ecuación diferencial; el método de elemento finito es una aproximación a su solución.
  • La característica más atractiva del FEM es su capacidad de manejar geometries complejos (y límites) con facilidad relativa. Mientras que FDM en su forma básica se restringe para manejar formas rectangulares y alteraciones simples de eso, la dirección de geometries en FEM es teóricamente directa.
  • La característica más atractiva de diferencias finitas es que puede ser muy fácil poner en ejecución.
  • Hay varias maneras una podría considerar el FDM un caso especial del acercamiento de FEM. Uno pudo elegir funciones de la base como cualquiera por trozos funciones constantes o Funciones delta de Dirac. En ambos acercamientos, las aproximaciones se definen en el dominio entero, pero no necesitan ser continuas. Alternativomente, uno pudo definir la función en un dominio discreto, con el resultado que del operador el sentido diferenciado continuo de las marcas no más, no obstante este acercamiento no es FEM.
  • Hay razones de considerar la fundación matemática de la aproximación finita del elemento más sonido, por ejemplo, porque la calidad de la aproximación entre los puntos de rejilla es pobre en FDM.
  • La calidad de una aproximación de FEM es a menudo más alta que en el acercamiento correspondiente de FDM, pero éste es extremadamente problema dependiente y varios ejemplos por el contrario pueden ser proporcionados.

Generalmente, FEM es el método de opción en todos los tipos de análisis en mecánicos estructurales (es decir. el solucionar para la deformación y las tensiones en cuerpos sólidos o dinámica de estructuras) mientras que dinámica flúida de cómputo (CFD) tiende para utilizar FDM u otros métodos (e.g., método finito del volumen). Los problemas del CFD requieren generalmente la discretización del problema en una gran cantidad de células/de gridpoints (millones y más), por lo tanto de coste de los favores de la solución más simples, una aproximación más baja de la orden dentro de cada célula. Esto es especialmente verdad para los problemas del “flujo externo”, como flujo de aire alrededor del coche o del aeroplano, o la simulación del tiempo en un área grande.

Hay muchas paquetes de software finitas del elemento, algunas libre y algunos propietario.

Algunos ejemplos del software de FEM disponibles en el mercado

  • ANSA: Software griego
  • ABAQUS: Software americano
  • CosmosWorks: Software Franco-Americano de SolidWorks, que pertenecen a Dassault CosmosWorks
  • NISA: Software indio NISA
  • ANSYS: Software americano
  • CAST3M: Software francés CASTEM
  • SYSTUS: Software francés
  • SYSWELD: Software francés
  • Cifre el aster: Software francés Aster
  • Nastran: Software americano
  • PERMAS: Software alemán PERMAS
  • SAMCEF: Software belgaSAMCEF
  • Morfeo: Software belgaMorfeo
  • JMAG: Software japonés
  • freeFEM: un software GLP-licenciado freefem.org
  • CalculiX: Abrir-Fuente-FEM, aplicaciones un parcialmente compatible ABAQUS formato del archivo
  • Actran: Software belga (acústico)

Algunos ejemplos del software explícito:

  • ABAQUS: Software americano
  • EuroPlexus: Software francés EuroPlexus
  • LS DYNA: Software americano
  • PAM: Software francés PAM
  • Radioss: Software francés

Vea también

Referencias

  1. ^ Clough, rayo W.; Edward L. Wilson. Investigación finita temprana del elemento en Berkeley (Pdf). Recuperado encendido 2007-10-25.

Acoplamientos externos

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