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Fórmula de Euler

Este artículo está sobre el fórmula de Euler adentro análisis complejo. Para el fórmula de Euler en teoría de gráfico y combinatorics polyhedral vea Característica de Euler. Vea también asuntos nombrados después de Euler.

  Parte de una serie de artículos encendido
La constante matemática, e

Logaritmo natural

Usos adentro Interés compuesto · Identidad de Euler & Fórmula de Euler  · Períodos Y exponencial crecimiento/decaimiento

Definir e Impermeabilice que e es irracional  · Representaciones de e · Teorema de Lindemann-Weierstrass

Gente Juan Napier  · Leonhard Euler

Conjetura de Schanuel

El fórmula de Euler indica eso, para cualesquiera número verdadero x,

donde e es base del logaritmo natural, i es unidad imaginaria, y lechuga romana y el pecado son funciones trigonométricas (aquí se asume que, al calcular el seno y el coseno, x se mide adentro radianes más bien que adentro grados). El fórmula sigue siendo válido si x es a número complejo, y tan algunos autores refieren a la versión compleja más general como fórmula de Euler.[1]

Richard Feynman fórmula de Euler llamado “nuestra joya” y “el fórmula más notable de matemáticas”.[2]

Contenido

Historia

El fórmula de Euler era probado por primera vez cerca Roger Cotes en 1714 en la forma

(donde el “ln” significa logaritmo natural, es decir. registro con la base e).[3]

Era Euler que publicó la ecuación en su forma actual adentro 1748, basando su prueba en serie infinita de ambos lados que son iguales. Ni unos ni otros de estos hombres vieron la interpretación geométrica del fórmula: la vista de números complejos como puntos en plano complejo se presentaron solamente unos 50 años más adelante (véase Caspar Wessel). Euler consideraba natural introducir a estudiantes a los números complejos mucho anteriores que lo hacemos hoy. En su libro de texto elemental de la álgebra, Elementos de la álgebra, él introduce estos números casi inmediatamente y después los utiliza de una manera natural en todas partes.

Usos en teoría del número complejo

Fórmula de Euler, nombrado después Leonhard Euler, es a matemático fórmula en análisis complejo ese demuestra una relación profunda entre funciones trigonométricas y el complejo función exponencial. (Identidad de Euler es un caso especial del fórmula de Euler.)

Este fórmula se puede interpretar como diciendo que la función eIX rastros hacia fuera círculo de la unidad en número complejo plano como x gamas con los números verdaderos. Aquí, x es ángulo que una línea que conecta el origen con un punto en las marcas del círculo de la unidad con el eje verdadero positivo, medido a la izquierda y adentro radianes.

La prueba original se basa en Serie de Taylor extensiones del función exponencial ez (donde z es un número complejo) y del pecado x y lechuga romana x para los números verdaderos x (véase abajo). De hecho, la misma prueba demuestra que el fórmula de Euler es incluso válido para todos complejo números z.

Un punto en plano complejo puede ser representado por un número complejo escrito adentro coordenadas cartesianos. El fórmula de Euler proporciona medios de la conversión entre los coordenadas cartesianos y coordenadas polares. La forma polar reduce el número de términos a partir el dos a una, que simplifica las matemáticas cuando está utilizado en la multiplicación o energías de números complejos. Cualquier número complejo z = x + iy puede ser escrito como

donde

la parte real
la parte imaginaria
magnitud de z
atan2(y, x)

es discusión de z- es decir, el ángulo entre x eje y el vector z medido a la izquierda y adentro radianes- se define que hasta adición de 2π.

Ahora, tomando este fórmula derivado, podemos utilizar el fórmula de Euler para definir logaritmo de un número complejo. Para hacer esto, también utilizamos la definición del logaritmo (como el operador inverso del exponentiation) eso

y eso

ambos válidos para cualquieres números complejos a y b.

Por lo tanto, uno puede escribir:

para cualesquiera . Tomar el logaritmo de ambos lados demuestra eso:

y de hecho esto se puede utilizar como la definición para logaritmo complejo. El logaritmo de un número complejo es así a función multi-valued, debido al hecho eso es multi-valued.

Finalmente, la otra ley exponencial

cuál se puede ver para sostener para todos los números enteros k, junto con el fórmula de Euler, implica varios identidades trigonometric así como fórmula de de Moivre.

Relación a la trigonometría

El fórmula de Euler proporciona una conexión de gran alcance en medio análisis y trigonometría, y proporciona una interpretación de las funciones del seno y de coseno como sumas cargadas de la función exponencial:

Las dos ecuaciones arriba pueden ser derivadas agregando o restando los fórmulas de Euler:

y solucionando para el coseno o el seno.

Estos fórmulas pueden incluso servir como la definición de las funciones trigonométricas para las discusiones complejas x. Por ejemplo, el dejar x = iy, tenemos:

Los exponentials complejos pueden simplificar la trigonometría, porque son más fáciles de manipular que sus componentes sinusoidales. Una técnica es simplemente convertir sinusoids en expresiones equivalentes en términos de exponentials. Después de las manipulaciones, el resultado simplificado sigue siendo real-valued. Por ejemplo:

Otra técnica es representar los sinusoids en términos de parte real de una expresión más compleja, y realice las manipulaciones en la expresión compleja. Por ejemplo:

Este fórmula se utiliza para la generación recurrente de un sinusoid en los intervalos de x radianes.

Otros usos

En ecuaciones diferenciales, la función eIX es de uso frecuente simplificar derivaciones, aunque la respuesta final es una función verdadera que implica seno y coseno. Identidad de Euler es una consecuencia fácil del fórmula de Euler.

En ingeniería eléctrica y otros campos, las señales que varían periódicamente en un cierto plazo se describen a menudo como combinación de las funciones del seno y de coseno (véase Análisis de Fourier), y éstos se expresan más convenientemente como la parte real de funciones exponenciales con imaginario exponentes, usando el fórmula de Euler. También, análisis del phasor de circuitos puede incluir el fórmula de Euler para representar la impedancia de un condensador o de un inductor.

Definiciones del exponentiation complejo

Artículos principales: Exponentiation y Función exponencial

Generalmente el levantar e a a número entero positivo el exponente tiene una interpretación simple en términos de multiplicación repetida de e. El levantar e a cero o al número entero de la negativa un exponente se puede entender como división repetida. A número racional el exponente se puede definir cerca radicales de e, y número irracional el exponente puede ser definido encontrando los exponentes del racional-número que están arbitrariamente cerca del exponente del irracional-número, en a proceso del límite. Sin embargo, definir y entender a número complejo exponente de e, un diverso tipo de generalización se requiere para el concepto del exponentiation.

De hecho, varias definiciones son posibles. Todos se pueden demostrar para ser bien definidos y equivalentes, aunque las pruebas no se incluyen en este artículo.

Definición de la serie de Taylor

Es bien sabido que, para verdadero x, la serie siguiente es igual a ex:

(es decir éste es Serie de Taylor para la función exponencial verdadera, y ella tiene un infinito radio de convergencia). Esto invita el siguiente definición de ez para el complejo z:

Esto se puede demostrar para estar bien definido; particularmente, la serie converge para cualesquiera z.

Definición analítica de la continuación

Un simple-a-estado, definición equivalente es ése ez, para el complejo z, es continuación analítica de la función ex para verdadero x. Esto se puede demostrar para estar bien definido; particularmente, rinde una función solo-valorada en el plano complejo.

Definición del límite

Es bien sabido que, para verdadero x, el siguiente límite es igual a ex:

Esto motiva el siguiente definición de ez para el complejo z:

Definición de la ecuación diferencial

Para verdadero x, la función =e de f (x)x es bien sabido ser la función verdadera única que satisface la ecuación diferencial:

para todos x. Esto motiva una definición de =e de f (z)z para el complejo z como la función que satisface la ecuación diferencial:

para todo complejo z, donde el derivado adentro f(z) se define en el sentido de a derivado complejo. Esto se puede demostrar para rendir una función única cuál está bien definido por todas partes en el plano complejo.

Definición Multiplicative de la característica

Contábamos con la función ez para tener las características siguientes:

Resulta que esto únicamente especifica una función en el plano complejo.

Pruebas

Las varias pruebas de este fórmula son posibles. La primera prueba debajo del comienzo con “la definición de la serie de Taylor” de ez, mientras que el otro uso dos la “definición de la ecuación diferencial” de ez (véase arriba).

Usar la serie de Taylor

Aquí está una prueba de usar del fórmula de Euler Serie de Taylor extensiones así como hechos básicos sobre las energías de i:

y así sucesivamente. Las funciones ex, lechuga romana (x) y pecado (x) (asumiendo x es verdadero) puede ser expresado usando sus extensiones de Taylor alrededor de cero:

Para el complejo z nosotros defina cada uno de estas funciones por la serie antedicha, substituyendo x con z. Esto es posible porque radio de convergencia de cada serie es infinito. Entonces encontramos eso

El cambio de términos se justifica porque es cada serie absolutamente convergente. El tomar z = x ser un número verdadero da la identidad original como Euler la descubrió.

Usar cálculo

Defina (posiblemente la función del complejo) f(x), de la variable verdadera x, como

La división por cero se imposibilita desde la ecuación

implica eso nunca es cero.

derivado de f(x), según regla del cociente, es:

Por lo tanto, f(x) debe ser a función constante en x. Porque f(0) se sabe, la constante eso f(x) iguales para todo verdadero x también se sabe. Así,

Cambio, sigue eso

Q.E.D.

Usar ecuaciones diferenciales ordinarias

Defina la función g(x) cerca

Consideración de eso i son constantes, los primeros y segundos derivados de g(x) sea

porque i 2 = −1 por la definición. De esto los 2 siguientesnd- orden linear ecuación diferencial ordinaria se construye:

o

Siendo 2nd- la ecuación diferencial de la orden, allí es dos linear independiente soluciones que lo satisfacen:

Ambo lechuga romana (x) y pecado (x) son las funciones verdaderas en las cuales los 2nd el derivado es idéntico a la negativa de esa función. Cualesquiera combinación linear de soluciones a a homogéneo la ecuación diferencial es también una solución. Entonces, la solución a la ecuación diferencial está generalmente

para cualquieres constantes A y B. Pero no todos los valores de estas dos constantes satisfacen sabido condiciones iniciales para g(x):

.

Sin embargo estas mismas condiciones iniciales (aplicadas a la solución general) están

dando por resultado

y, finalmente,

Q.E.D.

Vea también

Referencias

  1. ^ Moskowitz, Martin A. (2002). Un curso en análisis complejo en una variable. Mundo Co. que publica científico, P. 7. ISBN 981-02-4780-X. 
  2. ^ Feynman, Richard P. (1977). Las conferencias de Feynman en la física, vol. I. Addison-Wesley, P. 22-10. ISBN 0-201-02010-6. 
  3. ^ Juan Stillwell (2002). Matemáticas y su historia. Springer. 

Acoplamientos externos

The original article is from Wikipedia. To view the original article please click here.
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