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Relación de equivalencia

En matemáticas, relación de equivalencia es a relación binaria entre dos elementos de a sistema qué grupos ellos junto como siendo “equivalente” de cierta manera. Dejado a, b, y c sea elementos arbitrarios de un cierto sistema X. Entonces “a ~ b“o”a ≡ b“denota eso a es equivalente a b.

Una relación de equivalencia “~” es reflexivo, simétrico, y transitivo. Es decir el asimiento siguiente de la necesidad para el “~” a ser una relación de equivalencia encendido X:

• Reflexivity: a ~ a
• Simetría: si a ~ b entonces b ~ a
• Transitividad: si a ~ b y b ~ c entonces a ~ c.

clase de equivalencia a bajo “~”, denotado [a], es el subconjunto de X de quién elementos b son tales que a~b. X junto con “~” se llama a setoid.

Contenido 1 Ejemplos de relaciones de equivalencia 2 Ejemplos de las relaciones que no son equivalencias 3 Conexión a otras relaciones 4 Clase de equivalencia, sistema del cociente, partición 5 Generación de relaciones de equivalencia 6 Estructura algebraica 6.1 Enrejados modulares 6.2 Teoría del grupo 6.3 Relación con teoría de la categoría y con los groupoids 7 Relaciones de equivalencia y lógica matemática 8 Equivalencia anticipada Euclid 9 Vea también 10 Referencias 11 Acoplamientos externos

Ejemplos de relaciones de equivalencia

Una relación de equivalencia ubicua es igualdad (“=”) relación entre los elementos de fijado. Otros ejemplos incluyen:

• “Tiene el mismo cumpleaños que” en el sistema de toda la gente, dado teoría determinada ingenua.
• “Es similar” o “congruente a” en el sistema de todos triángulos.
• “Es congruente a modulo n“en números enteros.
• “Tiene igual imagen debajo de a función“en los elementos del dominio de la función.
• Equivalencia lógica de oraciones lógicas.
• “Es isomorfo a " encendido modelos de un sistema de oraciones.
• En alguno teorías determinadas axiomáticas con excepción del canónico ZFC (e.g., Nuevas fundaciones y teorías relacionadas):
  • Semejanza en universo de well-orderings da lugar clases de equivalencia ése es números ordinales.
  • Equinumerosity en universo de:
    • Finito los sistemas dan lugar clases de equivalencia cuáles son números naturales.
    • Infinito los sistemas dan lugar a las clases de equivalencia que son transfinite números cardinales.
• Dejado a, b, c, d sea números naturales, y deje (a, b) y (c, d) sea pares pedidos de tales números. Entonces clases de equivalencia bajo relación (a, b) ~ (c, d) sea:
  • Números enteros si a + d = b + c;
  • Positivo números racionales si anuncio = a.C..
• Dejado (r_n) y (s_n) sea cualesquiera dos Secuencias de Cauchy de números racionales. números verdaderos son las clases de equivalencia de la relación (r_n) ~ (s_n), si la secuencia (r_n − s_n) tiene límite 0.
• Relaciones de Green son cinco relaciones de equivalencia en los elementos de a semigroup.
• “Es paralelo a " en el sistema de subspaces de afine el espacio.

Ejemplos de las relaciones que no son equivalencias

• La relación “≥” entre los números verdaderos es reflexiva y transitiva, pero no simétrica. Por ejemplo, 7 el ≥ 5 no implica ese 5 ≥ 7. Es, sin embargo, a orden parcial.
• La relación “tiene un factor común 1 mayor que con” en medio números naturales 1 mayor que, es reflexivo y simétrico, pero no transitivo. (Los números naturales 2 y 6 tienen un factor común 1 mayor que, y 6 y 3 tienen un factor común 1 mayor que, pero 2 y 3 no tienen un factor común 1 mayor que).
• La relación vacía R en a no vacío sistema X (es decir. aRb nunca es verdad) es vacuously simétrico y transitivo, pero no reflexivo. (Si X entonces es también vacío R es reflexivo.)
• La relación “es aproximadamente igual a” entre los números verdaderos u otras cosas, aunque definidas más exacto, no son una relación de equivalencia, porque aunque es reflexivo y simétrico, no es transitiva, puesto que los cambios pequeños múltiples pueden acumular para convertirse en un cambio grande.
• La relación “es un hermano de” en el sistema de todos los seres humanos no es una relación de equivalencia. Aunque el siblinghood es simétrico (si A es un hermano de B, entonces B es un hermano de A) es ni reflexivo (nadie es un hermano de se), ni transitivo (desde entonces si A es un hermano de B, entonces B es un hermano de A, pero A no es un hermano de A). En vez de ser transitivo, el siblinghood es “casi transitivo”, significando eso si A ~ B, y B ~ C, y A ≠ C, entonces A ~ C.
• El concepto del paralelismo adentro geometría pedida no es simétrica y es, por lo tanto, no una relación de equivalencia.
• Una relación de equivalencia en un sistema es nunca una relación de equivalencia en un sobreconjunto apropiado de eso fijó. Por ejemplo R = {(1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (2.2), (2.3), (3.1), (3.2), (3.3)} es una relación de equivalencia en {1.2.3} pero no en {1.2.3.4} o en el número natural. El problema es que el reflexivity falla porque (4.4) no es un miembro.

Conexión a otras relaciones

A relación de la congruencia es una relación de equivalencia que dominio X está también el sistema subyacente para estructura algebraica, y que respeta la estructura adicional. Las relaciones de la congruencia desempeñan generalmente el papel de núcleos de homomorphisms, y del cociente de una estructura por una relación de la congruencia puede ser formado. En muchos casos importantes las relaciones de la congruencia tienen una representación alternativa pues las subestructuras de la estructura en la cual se definen. E.g. las relaciones de la congruencia en grupos corresponden a subgrupos normales.

Orden y relaciones de equivalencia son ambas transitivo, pero solamente las relaciones de equivalencia son simétricas también. Si simetría se debilita a antisymmetry, el resultado es a orden parcial.

A relación de equivalencia parcial es transitivos y simétricos, pero no el reflexivo.

• Transitivo y simétrico implique el reflexivo iff para todos a∈X existe b∈X tales que a~b.
  

A relación de la dependencia es reflexivo y simétrico, pero no transitivo.
A preorder es reflexivo y transitivo, pero ni simétrico ni antisimétrico.
A orden parcial terminante es solo transitivo.

Las relaciones de equivalencia se pueden considerar así como la culminación de una jerarquía de las relaciones de la orden.

Clase de equivalencia, sistema del cociente, partición

Dejado X sea un sistema no vacío con los elementos típicos a y b. Algunas definiciones:

• El sistema de todos a y b para cuál a ~ b los asimientos componen clase de equivalencia de X por el ~. Dejado [a] =: {x ∈ X : x ~ a} denote la clase de equivalencia a la cual a pertenece. Entonces todos los elementos de X el equivalente es el uno al otro también elementos de la misma clase de equivalencia: ∀a, b ∈ X (a ~ b ↔ [a ] = [b ]).
• El sistema de todas las clases de equivalencia posibles de X por el ~, denotado X/~ =: {[x] : x ∈ X}, es sistema del cociente de X por el ~. Si X es a espacio topológico, hay una manera natural de transformar X/~ en un espacio topológico; vea espacio del cociente para los detalles.
• proyección de ~ está el π de la función: X → X/~, definido por el π (x) = [x ], traz elementos de X en sus clases de equivalencia respectivas por el ~.
  

Teorema en proyecciones (Birkhoff y carril 1999 del Mac: 35, Th. 19): Deje la función f: X → B sea tales que a ~ b → f(a) = f(b). Entonces hay una función única g : X/~ → B, tales que f = gπ. Si f es a surjection y a ~ b ↔ f(a) = f(b), entonces g es a bijection.

• núcleo de equivalencia de una función f es la relación de equivalencia, denotada Ef, tales que xEfy ↔ f(x) = f(y). El núcleo de equivalencia del inyección es relación de la identidad.
• A partición de X es un sistema P de subconjuntos de X, tales que cada elemento de X es un elemento de un solo elemento de P. Cada elemento de P es a célula de la partición. Por otra parte, los elementos de P sea en parejas desunen y su unión es X.

Teorema (“Teorema fundamental de relaciones de equivalencia”: Wallace 1998: 31, Th. 8; Dummit y Foote 2004: 3, apoyo. 2):

• Un ~ de equivalencia de la relación particiones X.
• Inversamente, correspondiendo a cualesquiera partición de X, existe un ~ de equivalencia de la relación encendido X.

En ambos casos, las células de la partición de X son las clases de equivalencia de X por el ~. Desde cada elemento de X pertenece a una célula única de cualquier partición de X, y puesto que cada célula de la partición es idéntica a clase de equivalencia de X por el ~, cada elemento de X pertenece a una clase de equivalencia única de X por el ~. Así hay un natural bijection del sistema de todas las relaciones de equivalencia posibles encendido X y el sistema de todas las particiones de X.

Cuenta de particiones posibles. Dejado X sea un sistema finito con n elementos. Desde cada relación de equivalencia encima X corresponde a una partición de X, y viceversa, el número de relaciones de equivalencia posibles encendido X iguala el número de particiones distintas de X, que es nth Número de Bell B_n:

Generación de relaciones de equivalencia

• Dado fijado X, hay un excedente de equivalencia de la relación el sistema de todas las funciones posibles X→X. Dos tales funciones se juzgan equivalentes cuando sus sistemas respectivos de fixpoints tenga igual cardinality, correspondiendo a los ciclos de la longitud una en a permutación. Funciona la forma del equivalente de este modo una clase de equivalencia encendido X², y partición de equivalencia de estas clases X².

• Un ~ de equivalencia de la relación encendido X es el núcleo de equivalencia de su surjective proyección π: X → X/~. (Birkhoff y carril 1999 del Mac: Th 33. 18). Inversamente, cualesquiera surjection entre los sistemas determina una partición en su dominio, el sistema de preimages de singletons en codomain. Así una relación de equivalencia encima X, una partición de X, y una proyección que es dominio X, son tres maneras equivalentes de especificar la misma cosa.

• La intersección de cualquieres dos relaciones de equivalencia encima X (visto como a subconjunto de X × X) está también una relación de equivalencia. Esto rinde una manera conveniente de generar una relación de equivalencia: dado cualquier relación binaria R en X, la relación de equivalencia generado por R es el contener de equivalencia más pequeño de la relación R. Concreto, R genera la relación de equivalencia a ~ b iff existen los elementos x₁, x₂, ..., x_n en X tales que a = x₁, b = x_n, y (x_i,x_{i+ 1})∈R o (x_i+1,x_i)∈R, i = 1,…, n-1.

Observe que la relación de equivalencia generada de este modo puede ser trivial. Por ejemplo, el ~ de equivalencia de la relación generado cerca:

• La relación binaria ≤ tiene exactamente una clase de equivalencia, X sí mismo, porque x ~ y para todos x y y;
• antisimétrico la relación tiene clases de equivalencia que sean singletons de X.

• Dejado r sea cualquier clase de relación encendido X. Entonces r ∪ r⁻¹ es a relación simétrica. encierro transitivo s de r ∪ r⁻¹ asegura eso s es transitivo y reflexivo. Por otra parte, s es el contener de equivalencia “más pequeño” de la relación r, y r/s parcialmente órdenes X/s.

• Las relaciones de equivalencia pueden construir nuevos espacios “pegando cosas juntas.” Dejado X sea la unidad Cuadrado cartesiano el × [de 0.1] [0.1], y dejó el ~ sea la relación de equivalencia encendido X definido por el ∀a, b ∈ [0.1] ((a, 0) ~ (a, 1) ∧ (0, b) ~ (1, b)). Entonces espacio del cociente X/~ se puede identificar naturalmente con a toro: tome un pedazo cuadrado de papel, doble y pegue junto el borde superior y más bajo para formar un cilindro, después doble el cilindro que resulta para pegar juntos sus dos extremos abiertos, dando por resultado a toro.

Estructura algebraica

Enrejados modulares

Las relaciones de equivalencia posibles en fijado X, cuando está ordenado cerca fije la inclusión, forme a enrejado modular, llamado Con X por la convención. El canónico mapa ker: X∧X → Con X, relaciona monoid X^X de todos funciones en X y Con X. ker es surjective pero no injective. Menos formalmente, la relación de equivalencia ker en X, tomas cada función f: X→X a su núcleo ker f. Asimismo, ker (ker) está una relación de equivalencia encendido X^X.

Teoría del grupo

Es muy bien sabido que teoría del enrejado captura la estructura matemática de relaciones de la orden. Menos se sabe eso grupos de la transformación (algunos autores prefieren grupos de la permutación) y su órbitas vierta la luz en la estructura matemática de relaciones de equivalencia. Apenas como relaciones de la orden se ponen a tierra adentro sistemas pedidos, los sistemas se cerraron debajo en parejas supremum y infimum, las relaciones de equivalencia se ponen a tierra adentro sistemas repartidos, los sistemas se cerraron debajo bijections preservar la estructura de partición. Desde todos tales bijections traz una clase de equivalencia sobre sí mismo, tales bijections también se conocen como permutaciones.

El “~ dejado” denota una relación de equivalencia sobre un cierto sistema no vacío A, llamado universo o sistema subyacente. Dejado G denote el sistema de funciones bijective encima A ese coto la estructura de partición de A: ∀x ∈ A ∀g ∈ G (g(x) ∈ [x]). Entonces los tres siguientes conectaron teoremas sostienen (Van Fraassen 1989: §10.3):

• ~ particiones A en clases de equivalencia. (Éste es Teorema fundamental de relaciones de equivalencia, mencionado arriba);
• A dada partición de A, G es a grupo de la transformación bajo composición, que órbitas sea células del ‡ de la partición;
• A dada grupo de la transformación G encima A, existe un ~ de equivalencia de la relación encima A, que clases de equivalencia son órbitas de G. (Wallace 1998: 202, Th. 6; Dummit y Foote 2004: 114, apoyo. 2).

En la suma, dada un ~ de equivalencia de la relación encima A, existe a grupo de la transformación G encima A cuyo órbitas son las clases de equivalencia de A bajo ~.

Esta caracterización del grupo de la transformación de relaciones de equivalencia diferencia fundamental de la manera enrejados caracterice relaciones de la orden. Las discusiones de las operaciones de la teoría del enrejado reunión y ensamble son los elementos de un poco de universo A. Mientras tanto, las discusiones de la transformación agrupan operaciones composición y inverso son los elementos de un sistema de bijections, A → A.

La mudanza a los grupos dejó generalmente H sea a subgrupo de alguno grupo G. Deje el ~ ser una relación de equivalencia encendido G, tales que a ~ b ↔ (ab⁻¹ ∈ H). Las clases de equivalencia del ~-also llamaron las órbitas del acción de H en G- es la derecha cosets de H en G. El intercambiar a y b rinde los cosets izquierdos.

Para más en relaciones de la teoría y de la equivalencia del grupo, vea a Lucas (1973: §31).

‡Prueba (adaptado de Van Fraassen 1989: 246). Dejado composición de la función interprete la multiplicación del grupo, y lo contrario de la función interprete lo contrario del grupo. Entonces G está un grupo bajo composición, significando ese ∀x ∈ A ∀g ∈ G ([g(x)] = [x]), porque G satisface las cuatro condiciones siguientes:

• G es cerrado debajo composición. La composición de cualquieres dos elementos de G existe, porque dominio y codomain de cualquier elemento de G es A. Por otra parte, la composición de bijections es bijective (Wallace 1998: 22, Th. 6);
• Existencia de elemento de la identidad. función de la identidad, I(x)=x, es un elemento obvio de G;
• Existencia de función inversa. Cada función bijective g tiene inverso g⁻¹, tales que gg⁻¹ = I;
• Composición asociados. f(gh) = (fg)h. Esto sostiene para todas las funciones sobre todos los dominios (Wallace 1998: 24, Th. 7).

Dejado f y g sea cualquier dos elementos de G. En virtud de la definición de G, [g(f(x))] = [f(x)] y [f(x)] = [x], de modo que [g(f(x))] = [x]. Por lo tanto G está también un grupo de la transformación (y grupo del automorphism) porque la composición de la función preserva repartir de A.

Relación con teoría de la categoría y con los groupoids

La composición de morphisms central a teoría de la categoría, denotado aquí por el encadenamiento, generaliza composición de funciones central a los grupos de la transformación. Los axiomas de teoría de la categoría afirme que la composición de morphisms se asocia, y eso el izquierdo y derecho morphisms de la identidad exista para cualquier morphism.

Un morphism f puede ser dicho tener lo contrario cuando f es isomorfismo, es decir, existe un morphism g tales que fg y gf son los morphisms apropiados de la identidad. Por lo tanto el concepto categoría-teórico lo más cerca posible a una relación de equivalencia es la categoría (pequeña) de a que morphisms son todos los isomorphisms. Esto es justo el concepto de groupoid.

En un groupoid G, dos objetos x,y es el “equivalente” si hay un elemento g del groupoid de x a y. Puede haber muchos tal g, y pueden ser mirados como diversas “pruebas” eso x es equivalente a y.

Con respecto a una relación de equivalencia como caso especial de un groupoid tiene muchas implicaciones: uno es que mientras que no tenemos una noción de la “relación de equivalencia libre” tenemos una noción del groupoid libre en un gráfico dirigido. Así podemos hablar de una “presentación de una relación de equivalencia”, significando una presentación del groupoid correspondiente. La otra ventaja es que ve a paquetes de grupos, de acciones del grupo, de sistemas, y de relaciones de equivalencia, como casos especiales de la misma noción, que de groupoid, y permite tan analogías entre estas teorías y conceptos.

Esto también se aplica en muchos otros contextos en donde “quotienting”, y tan las relaciones de equivalencia apropiadas, llamadas a menudo congruencias sea importante. Esto conduce a la noción del groupoid interno en una categoría. Para esto, vea el libro “teorías de Galois” citadas abajo.

Relaciones de equivalencia y lógica matemática

Las relaciones de equivalencia son una fuente lista de ejemplos o contraejemplos. Por ejemplo, una relación de equivalencia con exactamente dos clases de equivalencia infinitas es un ejemplo fácil de una teoría que sea ω-categórico, pero no categórico para más grande número cardinal.

Una implicación de teoría modelo es eso que las características que definen una relación pueden ser independiente probada de uno a (y por lo tanto partes necesarias de la definición) si y solamente si, para cada característica, los ejemplos se pueden encontrar de las relaciones que no satisfacen la característica dada mientras que satisfacen todas las otras características. Por lo tanto las tres características que definen de relaciones de equivalencia pueden ser mutuamente probada independiente por los tres ejemplos siguientes:

• Reflexivo y transitivo: El ≤ de la relación encendido N. O cualesquiera preorder;
• Simétrico y transitivo: La relación R en N, definido como aRb ↔ ab ≠ 0. O cualesquiera relación de equivalencia parcial;
• Reflexivo y simétrico: La relación R en Z, definido como aRb ↔ "a − b es divisible por por lo menos uno de 2 o 3. “O cualesquiera relación de la dependencia.

Características definibles adentro lógica de primer orden que una relación de equivalencia puede o no puede poseer incluya:

• El número de clases de equivalencia es finito o infinito;
• El número de clases de equivalencia iguala el número natural (finito) n;
• Todas las clases de equivalencia tienen infinito cardinality;
• El número de elementos en cada clase de equivalencia es el número natural n.

Equivalencia anticipada Euclid

Euclid Los elementos incluye la “noción común siguiente 1”:

Las cosas que igualan la misma cosa también igualan uno otro.

Hoy en día, la característica descrita por la noción común 1 se llama Euclidiano (substituyendo el “igual” por “esté en la relación con”). El teorema siguiente conecta Relaciones euclidianas y relaciones de equivalencia:

Teorema. Si una relación es euclidiana y reflexivo, es también simétrico y transitivo.

Prueba:

• (arco ∧ bRc) → aRb [aire/acondicionado] = (aRa ∧ sujetador) → aRb [reflexivo; borre T∧] = sujetador → aRb. Por lo tanto R es simétrico.
• (arco ∧ bRc) → aRb [simetría] = (arco ∧ cRb) → aRb. Por lo tanto R es transitivo.

Por lo tanto una relación de equivalencia es una relación que es Euclidiano y reflexivo. Los elementos menciona ni simetría ni reflexivity, y Euclid probablemente habría juzgado el reflexivity de la igualdad demasiado obvio para autorizar la mención explícita. Si se concede esto (y tomando “igualdad” como relación abstracta de uso múltiple), una lectura caritativa de la noción común 1 acreditaría Euclid con ser la primera a concebir de relaciones de equivalencia y de su importancia adentro sistemas deductivos.

Vea también

• Automorphism
• Grupo del Automorphism
• Relación de la congruencia
• Sistema dirigido
• Equivalencia
• Clase de equivalencia
• Relación euclidiana
• Acción del grupo
• Relación de equivalencia parcial
• Grupo de la simetría
• Orden total
• Grupo de la transformación
• Hasta

Referencias

• Garrett Birkhoff y Carril del Mac de Saunders, 1999 (1967). Álgebra, 3ro ed. Chelsea.
• Borceux, F. y Janelidze, G., 2001. Teorías de Galois, Prensa de la universidad de Cambridge, ISBN 0521803098.
• Marrón, R., 2006. Topología y Groupoids, LLC de Booksurge. ISBN 1419627228.
• Castellani, E., 2003, “simetría y equivalencia” en Katherine Brading y E. Castellani (eds.), Simetrías en la física: Reflexiones filosóficas. Prensa de la universidad de Cambridge: 422-433.
• Roberto Dilworth y Crawley, Peter, 1973. Teoría algebraica de enrejados. Prentice Pasillo. Chpt. 12 discute cómo se presentan las relaciones de equivalencia adentro enrejado teoría.
• Dummit, D. S., y Foote, R. M., 2004. Álgebra abstracta, 3ro ed. Juan Wiley y hijos.
• Higgins, P.J., 1971. Categorías y groupoids, van Nostrand, downloadable como Reimpresión del TAC, 2005.
• Juan Randolph Lucas, 1973. Un tratado en Tiempo y espacio. Londres: Methuen. Sección 31.
• Rosen, José, 1995. Simetría en ciencia: Una introducción a la teoría general. Springer-Verlag.
• Bas van Fraassen, 1989. Leyes y simetría. Oxford Univ. Presión.
• Wallace, D. A. R., 1998. Grupos, anillos y campos. Springer-Verlag.

Acoplamientos externos

• Bogomolny, A., “Relación de equivalencia" cortar--nudo. Tenido acceso 7 de diciembre 2007