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Problema de valor de límite elíptico

En matemáticas, problema de valor de límite elíptico es una clase especial de problema de valor de límite cuál se puede pensar en como el estado estable de un problema de la evolución. Por ejemplo, Problema de Dirichlet para Laplacian da a distribución eventual del calor en un cuarto varias horas después de que la calefacción se encienda.

Las ecuaciones diferenciales describen una clase grande de fenómenos naturales, del ecuación del calor describiendo la evolución del calor en (por ejemplo) un plateado de metal, a Navier-Alimenta la ecuación describir el movimiento de líquidos, incluyendo Ecuaciones de Einstein describir el universo físico en una manera relativista. Aunque todas estas ecuaciones son problemas de valor de límite, se subdividen más a fondo en categorías. Esto es necesario porque cada categoría se debe analizar usando diversas técnicas. El actual artículo se ocupa de la categoría de los problemas de valor de límite conocidos como problemas elípticos lineares.

Los problemas de valor de límite y las ecuaciones diferenciales parciales especifican relaciones entre dos o más cantidades. Por ejemplo, en la ecuación del calor, relacionar el índice del cambio de la temperatura en un punto con la diferencia de la temperatura entre ese punto y los puntos próximos para, en un cierto plazo, los caudales caloríficos de puntos más calientes a puntos más frescos. Los problemas de valor de límite pueden implicar el espacio, el tiempo y otras cantidades tales como temperatura, velocidad, presión, campo magnético, etc….

Algunos problemas no implican tiempo. Por ejemplo, si uno cuelga un clothesline entre la casa y un árbol, entonces en ausencia del viento, el clothesline no se moverá y adoptará una forma curvada que cuelga apacible conocida como catenaria [1]. Esta forma curvada se puede computar como la solución de una ecuación diferencial que relaciona la posición, la tensión, el ángulo y la gravedad, pero puesto que la forma no cambia en un cierto plazo, no hay variable del tiempo.

Los problemas de valor de límite elípticos son una clase de los problemas que no implican la variable del tiempo, y en lugar de otro dependen solamente de variables del espacio.

No es posible discutir problemas de valor de límite elípticos más detalladamente sin referirse cálculo en variables múltiples.

A menos que se indicare en forma diferente, todos los hechos presentados en este artículo se pueden encontrar adentro [2].

Contenido

El ejemplo principal

En dos dimensiones, deje x,y sea los coordenadas. Utilizaremos la notación ux,uxx para el primer y el segundo derivados parciales de u con respecto a x, y una notación similar para y. Utilizaremos los símbolos Dx y Dy para los derivados parciales adentro x y y. Los segundos derivados parciales serán denotados y . También definimos el gradiente , el Laplacian Δu = uxx + uyy y la divergencia . Nota de las definiciones eso .

El ejemplo principal para los problemas de valor de límite es el Laplacian,

Δu = f en Ω,
;

donde Ω es una región en el plano y es el límite de esa región. La función f es los datos sabidos y la solución u es qué debe ser computada. Este ejemplo tiene las mismas características esenciales que el resto de los problemas de valor de límite elípticos.

La solución u puede ser interpretado como la distribución inmóvil o del límite del calor en un gusto formado plateado de metal Ω, si este plateado de metal tiene su límite adyacente al hielo (que se guarda en los grados cero, así la condición de Dirichlet.) la función f representa la intensidad de la generación del calor en cada punto en la placa (quizás hay un calentador eléctrico que se reclina sobre el calor plateado de metal, de bombeo en la placa en la tarifa f(x), que no varía en un cierto plazo, pero puede ser no uniforme en espacio en el plateado de metal.) después de esperar durante mucho tiempo, la distribución de la temperatura en el acercamiento plateado de metal de la voluntad u.

Nomenclatura

Dejado Lu = auxx + buyy donde a y b son las constantes. se llama un segundo operador del diferencial de la orden. Si substituimos formalmente los derivados Dx por x y Dy por y, obtenemos la expresión

ax2 + by2.

Si fijamos esta expresión igual a alguno constante k, entonces obtenemos cualquiera elipse (si a,b,k es toda la misma muestra) o a hipérbola (si a y b esté de muestras opuestas.) por esa razón, L reputa elíptico cuando ab > 0 e hiperbólico si ab < 0. Semejantemente, el operador conduce a a parábola, y tan esto L reputa parabólico.

Ahora generalizamos la noción de la elipticidad. Mientras que puede no ser obvio que nuestra generalización es la derecha, resulta que preserva la mayor parte de las características necesarias con el fin de análisis.

Problemas de valor de límite elípticos lineares generales del segundo grado

Dejado x1,...,xn sea las variables del espacio. Dejado aij(x),bi(x),c(x) sea funciones valoradas verdaderas de x = (x1,...,xn). Dejado L sea un operador linear del segundo grado. Es decir,

(forma de la divergencia).
(forma del nondivergence)

Hemos utilizado el subíndice para denotar derivado parcial con respecto a la variable del espacio xi. Los dos fórmulas son equivalentes, a condición de que

.

En la notación de matriz, podemos dejar a(x) sea función valorada matriz de x y b(x) sea a n- función vector-valorada columna dimensional de x, y entonces podemos escribir

(forma de la divergencia).

Uno puede asumir, sin la pérdida de generalidad, que la matriz a es simétrico (es decir, para todos i,j,x, aij(x) = aji(x). Hacemos esa asunción en el resto de este artículo.

Decimos que el operador L es elíptico si, para alguno constante α > 0, asimiento equivalente de siguiente un de los de las condiciones:

  1. (véase valor propio).
  2. .
  3. .

Un problema de valor de límite elíptico es entonces un sistema de ecuaciones como

Lu = f en Ω (el PDE) y
(el valor de límite).

Este ejemplo particular es Problema de Dirichlet. Problema de Neumann es

Lu = f en Ω y

donde uν es el derivado de u en la dirección hacia fuera de señalar normal de . Generalmente si B es cualquiera operador del rastro, uno puede construir el problema de valor de límite

Lu = f en Ω y
.

En el resto de este artículo, asumimos eso L es elíptico y ésa la condición de límite es la condición de Dirichlet .

Espacios de Sobolev

El análisis de los problemas de valor de límite elípticos requiere algunas herramientas bastante sofisticadas de análisis funcional. Requerimos el espacio H1(Ω), Espacio de Sobolev de funciones “una vez que-diferenciables” encendido Ω, tales que ambos la función u y sus derivados parciales , son todos integrable cuadrado. Hay una delicadeza aquí en que los derivados parciales se deben definir “en el sentido débil” (véase el artículo sobre los espacios de Sobolev para los detalles.) el espacio H1 es a Espacio de Hilbert, que explica mucha de la facilidad con la cual se analizan estos problemas.

La discusión en detalles de los espacios de Sobolev está más allá del alcance de este artículo, pero cotizaremos requerimos resultados como se presentan.

A menos que se indicare en forma diferente, todos los derivados en este artículo deben ser interpretados en el débil, sentido de Sobolev. Utilizamos el término “derivado fuerte” para referir al derivado clásico del cálculo. También especificamos que los espacios Ck, consista en las funciones que son k épocas fuertemente diferenciables, y ésa kel derivado del th es continuo.

Formulación débil o variada

El primer paso para echar el problema de valor de límite como en la lengua de los espacios de Sobolev es reformularla en su forma débil. Considere el problema de Laplace Δu = f. Multiplique cada lado de la ecuación por una “función de la prueba” e integre usando de las piezas Teorema de Green para obtener

.

Solucionaremos el problema de Dirichlet, de modo que . Que las razones técnicas, es útil asuman eso se toma del mismo espacio de funciones que u es así que también asumimos eso . Éste consigue librado de término, rindiendo

(*)

donde

y
.

Si L es un operador elíptico general, el mismo razonamiento conduce a la forma bilinearia

.

No discutimos el problema de Neumann sino observamos que está analizado de una manera similar.

Formas bilinearias continuas y coactivas

El mapa se define en el espacio de Sobolev de las funciones que son una vez diferenciables y cero en el límite , con tal que impongamos algunas condiciones encendido a,b,c y Ω. Hay muchas opciones posibles, pero con el fin de este artículo, asumiremos eso

  1. aij(x) es continuamente diferenciable en para ,
  2. bi(x) es continuo encendido para ,
  3. c(x) es continuo encendido y
  4. Ω se limita.

El lector puede verificar que el mapa está además bilineario y continuo, y eso el mapa es linear en , y continuo si (por ejemplo) f es integrable cuadrado.

Decimos que el mapa A es coactivo si hay α > 0 para todos ,

.

Esto es trivial verdad para el Laplacian (con α = 1) y es también verdad para un operador elíptico si asumimos b = 0 y . (Memoria eso uTau > αuTu cuando L es elíptico.)

Existencia y unicidad de la solución débil

Uno puede demostrar, vía Lema Flojo-Milgram, eso siempre que es coactivo y es continuo, después existe una solución única al problema débil (*).

Si es más futuro es simétrico (es decir, b = 0), uno puede demostrar mismo usar del resultado Teorema de la representación de Riesz en lugar.

Esto confía en el hecho eso forma un producto interno encendido , de que sí mismo depende Desigualdad de Poincaré.

Soluciones fuertes

Hemos demostrado que hay a cuál soluciona el sistema débil, pero no sabemos si esto u soluciona el sistema fuerte

Lu = f en Ω,
.

Disgustando es que no somos incluso seguros que u es dos veces diferenciable, rindiendo las expresiones en Lu al parecer sin setido. Hay muchas maneras de remediar la situación, la principal que es regularidad.

Regularidad

Un teorema de la regularidad para un problema de valor de límite elíptico linear de la segunda orden toma la forma

Teorema Si (una cierta condición), entonces la solución u está adentro H2(Ω), el espacio de las funciones “dos veces diferenciables” que segundos derivados son integrables cuadrado.

No hay condición simple sabida necesaria y suficiente para la conclusión del teorema para sostener, pero las condiciones siguientes se saben para ser suficientes:

  1. El límite de Ω es C2, o
  2. Ω es convexo.

Puede tentar a deducir eso si está por trozos C2 entonces u está de hecho adentro H2, solamente eso es desafortunadamente falso.

Casi por todas partes soluciones

En el caso eso entonces los segundos derivados de u se definen casi por todas partes, y en ese caso Lu = f casi por todas partes.

Soluciones fuertes

Uno puede probar más lejos eso si el límite de es a múltiple liso y f es infinitamente diferenciable en el sentido fuerte, entonces u es también infinitamente diferenciable en el sentido fuerte. En este caso, Lu = f con la definición fuerte del derivado.

La prueba de esto confía en un teorema mejorado de la regularidad que diga eso si es Ck y , , entonces , junto con a Sobolev que encaja teorema diciendo que funciones adentro Hk(Ω) esté también adentro siempre que .

Soluciones numéricas

Mientras que en circunstancias excepcionales, es posible solucionar problemas elípticos explícitamente, en general él es una tarea imposible. La solución natural es aproximar el problema elíptico con más simple y solucionar este problema más simple en una computadora.

Debido a las buenas características hemos enumerado (así como muchos no tenemos), allí somos solvers numéricos extremadamente eficientes para los problemas de valor de límite elípticos lineares (véase método de elemento finito, método finito de la diferencia y método espectral por ejemplos.)

Valores propios y eigensolutions

Otro Sobolev que encaja teorema indica que la inclusión es un mapa linear compacto. Equipado de teorema espectral para los operadores lineares compactos, uno obtiene el resultado siguiente.

Teorema Asuma eso es coactivo, continuo y simétrico. El mapa de L2(Ω) a L2(Ω) es un mapa linear compacto. Tiene a base de vectores propios y el emparejar valores propios tales que

  2. como ,
  3. ,
∫ ujuk = 0
Ω

siempre que y

∫ ujuj = 1
Ω

para todos

Soluciones de la serie y la importancia de eigensolutions

Si uno ha computado los valores propios y los vectores propios, después uno puede encontrar la solución “explícita” de Lu = f,

vía el fórmula

donde

.

(Véase Serie de Fourier.)

La serie converge adentro L2. Puesto en ejecución en una computadora usando aproximaciones numéricas, esto se conoce como método espectral.

Un ejemplo

Considere el problema

u − uxx − uyy = f(x,y) = xy en ,
(Condiciones de Dirichlet).

El lector puede verificar que los vectores propios estén exactamente

ujk(x,y) = pecado (πjx) pecado (πky),

con valores propios

.

Los coeficientes de Fourier de g(x) = x se puede mirar para arriba en una tabla, el conseguir . Por lo tanto,

rendimiento de la solución

.

Principio máximo

Hay muchas variantes del principio máximo. Damos simple.

Teorema. (Principio máximo débil.) deje , y asuma eso . Diga eso en Ω. Entonces . Es decir el máximo se logra en el límite.

Un principio máximo fuerte concluiría eso para todos a menos que u es constante.

Referencias

  1. ^ Swetz, Faauvel, Bekken, “aprende de los amos”, 1997, MAA ISBN 0883857030, pp.128-9
  2. ^ Ecuaciones diferenciales parciales por Lorenzo C. Evans. Sociedad matemática americana, Providence, RI, 1998. Estudios del graduado en las matemáticas 19.
The original article is from Wikipedia. To view the original article please click here.
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