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Elipse

En matemáticas, elipse (de Griego ἔλλειψις, literalmente ausencia) es a lugar geométrico de puntos en un plano tales que la suma de distancias a dos puntos fijos está una constante. Se llaman los dos puntos fijos focos (singular foco). Una definición alterna sería que una elipse es la trayectoria remontada hacia fuera por un punto que distancia de un punto fijo, llamado el foco, mantenga un cociente constante menos de uno con su distancia de una línea recta que no pasa a través del foco, llamado directriz.

Descripción

Una elipse es un tipo de sección cónica: si a superficie cónica se corta con un plano que no interseque la base del cono, la intersección del cono y el plano es una elipse. Para una prueba elemental corta de esto, vea Esferas de Dandelin.

Algebraico, una elipse es a curva en Plano cartesiano definido por una ecuación de la forma

tales que B² < 4AC, donde están verdaderos todos los coeficientes, y donde más de una solución, definiendo un par de los puntos (x, y) en la elipse, existe.

línea segmento El AB, ese pasa a través de los focos y termina en la elipse, se llama eje importante. El eje principal es el segmento más largo que puede ser obtenido ensamblando dos puntos en la elipse. La línea CD del segmento, que pasa a través del centro (a medio camino entre los focos), perpendicular al eje principal, y termina en la elipse, se llama eje de menor importancia. eje del semimajor (denotado cerca a en la figura) está una mitad del eje principal: la línea segmento del centro, a través de un foco, y al borde de la elipse. Asimismo, eje del semiminor (denotado cerca b en la figura) está una mitad del eje de menor importancia.

Si coinciden los dos focos, entonces la elipse es a círculo; es decir está un caso un círculo especial de una elipse, una donde excentricidad es cero.

Una elipse se centró en origen puede ser visto como la imagen del círculo de la unidad debajo de un mapa linear se asoció a a matriz simétrica A = PDP^T, D siendo a matriz diagonal con valores propios de A, que es positivo verdadero, a lo largo de la diagonal principal, y P siendo un verdadero matriz unitaria teniendo como columnas vectores propios de A. Entonces las hachas de la elipse mentirán a lo largo de los vectores propios de A, y (raíz cuadrada del) los valores propios son las longitudes del semimajor y semiminor hachas.

Una elipse puede ser producida multiplicándose x coordenadas de todos los puntos en un círculo por una constante, sin cambiar y coordenadas. Esto es equivalente a el estirar el círculo hacia fuera en la x-dirección.

Excentricidad

La forma de una elipse se puede expresar por un número llamado excentricidad de la elipse, denotado convencionalmente . La excentricidad es a número no negativo menos de 1 y mayor o igual 0. Es el valor del cociente constante de la distancia de un punto en una elipse de un foco a eso de la directriz correspondiente. Una excentricidad de 0 implica que los dos focos ocupan el mismo punto y que la elipse es a círculo. Puede también ser expresado como el seno del excentricidad angular, . Para una elipse con eje del semimajor a y eje del semiminor b, la excentricidad es

Cuanto mayor la excentricidad es, más grande cociente de a a b, y por lo tanto alargada la elipse.

Si c iguala la distancia del centro a cualquier foco, entonces

La distancia c se conoce como excentricidad linear de la elipse. La distancia entre los focos es 2c o 2aε.

Dibujo

Una elipse se puede inscribir dentro de a rectángulo usar dos pernos, un lazo de la secuencia, y un lápiz. Los pernos se colocan en los focos y los pernos y el lápiz se incluyen dentro del lazo. El lápiz se coloca en el papel dentro del lazo y de la secuencia hecha tensos. La secuencia formará a triángulo. Si el lápiz se mueve alrededor con la secuencia mantenida tensa, la suma de las distancias del lápiz a los pernos seguirá siendo constante, así satisfaciendo la definición de una elipse.

Considere el centro del rectángulo ser el origen y las longitudes de sus lados a ser 2a y 2b, con a siendo más grande que b. El eje principal después pasa con el origen y es paralelo al lado más largo. Los dos pernos se colocan la distancia c lejos del origen en cada dirección a lo largo del eje principal. La longitud requerida de la secuencia usada para formar el lazo es 2a + 2c.

Ecuaciones

Una elipse con un eje del semimajor a y eje del semiminor b, centrado en el punto (h,k) y teniendo su eje importante paralelo a x- el eje se puede especificar por la ecuación

Esta elipse puede ser expresada paramétrico como

donde t puede ser restringido al intervalo .

La forma paramétrica de una elipse rotó a la izquierda por un ángulo :

El fórmula para las directrices es

Si h = 0 y k = 0 (es decir, si el centro es el origen (0.0)), entonces podemos expresar esta elipse en coordenadas polares por la ecuación

Con un foco en el origen, la ecuación polar de la elipse está

A Gauss-traz forma:

tiene normal (cosβ, sinβ).

Recto de Semi-latus y coordenadas polares

recto del semi-latus de una elipse, denotado generalmente (minúsculo L), es la distancia de un foco de la elipse a la elipse sí mismo, medido a lo largo de una línea perpendicular al eje principal. Se relaciona con y (las semi-hachas de la elipse) por el fórmula o, si usa la excentricidad,

En coordenadas polares, una elipse con un foco en el origen y la otra en la negativa x- el eje es dado por la ecuación

Una elipse se puede también pensar en como proyección de un círculo: un círculo en un plano en el φ del ángulo al horizontal proyectado verticalmente sobre un plano horizontal da una elipse del φ del pecado de la excentricidad, con tal que el φ no sea 90°.

Área y circunferencia

área incluido por una elipse es πab, donde (como antes) a y b son las hachas del semimajor y del semiminor de la elipse.

circunferencia C de una elipse está , donde la función E es el completo integral elíptico de en segundo lugar clase.

El exacto serie infinita es:

O:

Un bueno aproximación es Ramanujan:

o mejor aproximación:

Para el caso especial donde está mitad el eje de menor importancia del eje principal, podemos utilizar:

O:

(una aproximación mejor).

Más generalmente, longitud del arco de una porción de la circunferencia, en función del ángulo subtended, es dado por un incompleto integral elíptico. función inversa, el ángulo subtended en función de la longitud del arco, es dado por funciones elípticas.

El estirar y proyección

Una elipse se puede estirar uniformemente a lo largo de cualquier eje, en o del plano de la elipse, y todavía será una elipse. La elipse estirada tendrá diversas características (excentricidad quizás cambiante y longitud semi-principal del eje, por ejemplo), pero todavía será una elipse (o una elipse degenerada: un círculo o una línea). Semejantemente, cualesquiera proyección oblicua sobre un plano da lugar a una sección cónica. Si la proyección es una curva cerrada en el plano, después la curva es una elipse o una elipse degenerada.

Característica de la reflexión

Asuma un elíptico espejo con una fuente de luz a la una de los focos. Entonces todos los rayos están reflejado a un solo punto - el segundo foco. Puesto que ninguna otra curva tiene tal característica, puede ser utilizada como definición alternativa de una elipse. En un círculo, toda la luz sería reflejada de nuevo al centro puesto que son todas las tangentes orthogonal al radio.

Las ondas acústicas se reflejan de una manera similar, así que en un cuarto elíptico grande una persona que está parada en un foco puede oír a una persona el estar parada en otro pozo del foco notable. Tal sitio se llama a compartimiento del susurro. Los ejemplos son Pasillo Statuary nacional en LOS E.E.U.U. Capitol (donde Juan Quincy Adams se dice haber utilizado esta característica para escuchar detras de las puertas en materias políticas), en un objeto expuesto en sonido en Museo de la ciencia y de la industria en Chicago, delante de Universidad de Illinois en el Urbana-Chamán Auditorio de Foellinger, y también en un compartimiento lateral del palacio de Charles V, en Alhambra.

Elipses en la física

En 17mo siglo, Johannes Kepler explicado que órbitas a lo largo de cuál viajan los planetas alrededor del sol están las elipses en la suya primera ley del movimiento planetario. Más adelante, Isaac Newton explicó esto como corolario el suyo ley de la gravitación universal.

Más generalmente, en el gravitacional problema del dos-cuerpo, si los dos cuerpos están limitados el uno al otro (es decir, la energía total es negativa), sus órbitas son similar elipses con el campo común barycenter siendo uno de los focos de cada elipse. El otro foco de cualquier elipse no tiene ninguna significación física sabida. Interesante, la órbita de cualquier cuerpo en el marco de la referencia del otro es también una elipse, con el otro cuerpo en un foco.

La solución general para a oscilador armónico en dos o más dimensiones está también una elipse, pero este vez con el origen de la fuerza situada en el centro de la elipse.

En la óptica, elipsoide del índice describe índice de refracción de un material en función de la dirección a través de ese material. Esto se aplica solamente a los materiales que están ópticamente anisotropic. También vea birrefringencia.

Elipses en gráficos de computadora

Dibujo de una elipse como a primitivo de gráficos es común en bibliotecas estándares de la exhibición, tales como el Macintosh QuickDraw API, Windows Interfaz de dispositivo de gráficos (GDI) y Fundación de la presentación de Windows (WPF). Tales bibliotecas son limitadas y pueden a menudo dibujar solamente una elipse con el eje principal o el eje de menor importancia horizontal. Gato Bresenham en IBM es el más famoso por la invención de los 2.os primitivos el dibujo, incluyendo línea y el dibujo del círculo, usando solamente operaciones rápidas del número entero tales como adición y el rama encendido llevan el pedacito. Una generalización eficiente para dibujar elipses fue inventada en 1984 por Jerry Van Aken (IEEE CG&A, sept. 1984).

Lo que sigue es código del Javascript del ejemplo usando el fórmula paramétrico para una elipse para calcular un sistema de puntos. La elipse puede entonces ser aproximada conectando los puntos con las líneas.

/*
 * Esto funciona las vueltas un arsenal que contiene 36 puntos para dibujar
 * una elipse.
*
 * coordenada del @param x X {doble}
 * coordenada del @param y Y {doble}
 * eje del @param a Semimajor {doble}
 * eje del @param b Semiminor {doble}
 * ángulo {doble} del ángulo del @param de la elipse
 */
función calculateEllipse(x, y, a, b, ángulo, pasos)
{
si (camina el == falta de información)
pasos = 36;
var puntos = [];

var beta = - ángulo/ 180 * Matemáticas.Pi;
var sinbeta = matemáticas.pecado(beta);
var cosbeta = matemáticas.lechuga romana(beta);

para (var i = 0; i  < 360; i += 360 /pasos)
{
var alfa = i/ 180 * Matemáticas.Pi;
var sinalpha = matemáticas.pecado(alfa);
var cosalpha = matemáticas.lechuga romana(alfa);

var X = x + (a * cosalpha * cosbeta - b * sinalpha * sinbeta);
var Y = y + (a * cosalpha * sinbeta + b * sinalpha * cosbeta);

puntos.empuje(nuevo OpenLayers.Geometría.Punto(X, Y));
}

vuelta puntos;
}

Una consecuencia beneficiosa de usar el fórmula paramétrico es que la densidad de puntos es la más grande donde hay la mayoría de la curvatura. Así, el cambio en cuesta entre cada punto sucesivo es pequeño, reduciendo el “jaggedness evidente” de la aproximación.

Vea también

Referencias

• Charles D.Miller, Margaret L.Lial, David I.Schneider: Fundamentales de la álgebra de la universidad. 3ro Edición Scott Foresman/poco 1990. ISBN 0-673-38638-4. Página 381
• Coxeter, H. S. M.: Introducción a la geometría, 2do ed. Nueva York: Wiley, pp. 115-119, 1969.
• Elipse en la enciclopedia de las matemáticas (Springer)
• Elipse en Planetmath
• Eric W. Weisstein, Elipse en MathWorld.

Acoplamientos externos

• Derivación de Apollonius de la elipse en Convergencia
• Construcción de la elipse y de la hipérbola - Una demostración interactiva del bosquejo cómo remontar las curvas de la elipse y de la hipérbola. (Requiere Java.)
• Construcción de la elipse - Otro bosquejo interactivo, este vez que demuestra un diverso método de remontar la elipse. (Requiere Java.)
• La forma y la historia de la elipse en Washington, C.C. por Clark Kimberling
• Colección de demostraciones animadas de la elipse. Elipse, hachas, semi-hachas, área, perímetro, tangente, focos.
• Videos de la carpintería que demuestran cómo trabajar con elipses en madera.
• Elipse como hypotrochoid