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El seno discreto transforma

En matemáticas, el seno discreto transforma (DST) es a Fourier-relacionado transforme similar a Fourier discreto transforma (DFT), pero con a puramente verdadero matriz. Es equivalente a las partes imaginarias de un DFT áspero dos veces de la longitud, funcionando en datos verdaderos con impar simetría (puesto que el Fourier transforma de un verdadero y la función impar es imaginaria e impar), donde en algunas variantes los datos de la entrada y/o de la salida son cambiados de puesto por mitad de una muestra.

Un relacionado transforma es el coseno discreto transforma (DCT), que es equivalente a un DFT de verdadero y uniforme funciones. Vea el artículo de DCT para una discusión general de cómo las condiciones de límite relacionan los varios tipos de DCT y de DST.

Usos

DSTs se emplea extensamente en solucionar ecuaciones diferenciales parciales por los métodos espectrales, donde las diversas variantes del DST corresponden a impar levemente diverso/incluso a las condiciones de límite en los dos finales del arsenal.

Definición

Formalmente, el seno discreto transforma es a linear, inversible función F : R^N -> R^N (donde R denota el sistema de números verdaderos), o equivalente N × N matriz cuadrada. Hay varias variantes del DST con definiciones levemente modificadas. N números verdaderos x₀, ...., x_N-1 se transforman en N números verdaderos X₀, ..., X_N-1 según uno de los fórmulas:

DST-I

La matriz de DST-I es orthogonal (hasta un factor de posicionamiento).

Un DST-I de Nnúmeros verdaderos =3 ABC está exactamente el equivalente a un DFT de ocho números verdaderos 0ABC0(-c)(-b)(-a) (simetría impar), aquí dividido por dos. (En cambio, los tipos II-IV de DST implican una cambio de la mitad-muestra en el DFT equivalente.)

Así, el DST-I corresponde a las condiciones de límite: x_n es impar alrededor n=-1 e impar alrededor n=N; semejantemente para X_k.

DST-II

Algunos autores más futuros multiplican X_N-1 término por 1/√2 (véase abajo para el cambio correspondiente en DST-III). Esto hace la matriz de DST-II orthogonal (hasta un factor de posicionamiento), pero rompe la correspondencia directa con un DFT verdadero-impar de la entrada mitad-cambiada de puesto.

El DST-II implica las condiciones de límite: x_n es impar alrededor n=-1/2 e impar alrededor n=N-1/2; X_k es impar alrededor k=-1 e igualan alrededor k=N-1.

DST-III

Algunos autores más futuros multiplican x_N-1 término por √2 (véase arriba para el cambio correspondiente en DST-II). Esto hace la matriz de DST-III orthogonal (hasta un factor de posicionamiento), pero rompe la correspondencia directa con un DFT verdadero-impar de la salida mitad-cambiada de puesto.

El DST-III implica las condiciones de límite: x_n es impar alrededor n=-1 e igualan alrededor n=N-1; X_k es impar alrededor k=-1/2 e impar alrededor k=N-1/2.

DST-IV

La matriz de DST-IV es orthogonal (hasta un factor de posicionamiento).

El DST-IV implica las condiciones de límite: x_n es impar alrededor n=-1/2 e igualan alrededor n=N-1/2; semejantemente para X_k.

DST V-VIII

Los tipos I-IV de DST son equivalentes a DFTs verdadero-impar de la orden uniforme. En principio, hay realmente cuatro tipos adicionales de seno discreto transforma (Martucci, 1994), correspondiendo a DFTs verdadero-impar de la orden lógicamente impar, de los cuales tenga factores N+1/2 en los denominadores de las discusiones del seno. Sin embargo, estas variantes se parecen ser utilizadas raramente en la práctica.

Lo contrario transforma

Lo contrario de DST-I es DST-I multiplicado por 2 (N+1). Lo contrario de DST-IV es DST-IV multiplicado por 2N. Lo contrario de DST-II es DST-III multiplicado por 2N (y viceversa).

Como para DFT, el factor de la normalización delante de éstos transforma definiciones es simplemente una convención y diferencia entre los tratamientos. Por ejemplo, algunos autores multiplican transforman cerca de modo que lo contrario no requiera ningún factor multiplicative adicional.

Cómputo

Aunque el uso directo de estos fórmulas requeriría O (N²) las operaciones, es posible computar la misma cosa con solamente O (N registro N) complejidad descomponiendo en factores el cómputo similar a Fourier rápido transforma (FFT). (Uno puede también computar DSTs vía FFTs combinado con O (N) pasos pre y del post-processing.)

Un DST-II o un DST-IV se puede computar de un DCT-II o de un DCT-IV (véase el coseno discreto transforma), respectivamente, invirtiendo la pedido de las entradas y moviendo de un tirón la muestra de cada otra salida, y viceversa para DST-III de DCT-III. De esta manera sigue que los tipos II-IV del DST requieren exactamente el mismo número de operaciones aritméticas (las adiciones y las multiplicaciones) como los tipos correspondientes de DCT.

Referencias

• S. A. Martucci, “circunvolución simétrica y el seno y el coseno discretos transforma,” Transporte de IEEE. Sig. Proceso SP-42, 1038-1051 (1994).
• Matteo Frigo y Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/. Un libre (GLP) Biblioteca de C que puede computar DSTs rápido (tipos I-IV) en unas o más dimensiones, del tamaño arbitrario. También M. Frigo y S. G. Johnson, “El diseño y la puesta en práctica de FFTW3," Procedimientos del IEEE 93 (2), 216-231 (2005).