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Vector coordinado

En álgebra linear, a vector coordinado es una representación explícita de un vector en espacio abstracto del vector como una lista pedida de números o, equivalente, como elemento del espacio coordinado Fⁿ. Los vectores coordinados permiten cálculos con objetos abstractos ser transformado en cálculos con los bloques de números (matrices y vectores de la columna), a quienes sabemos explícitamente.

Contenido 1 Definición 2 La representación estándar 3 Ejemplos 3.1 Ejemplo 1 3.2 Ejemplo 2 4 Matriz de la transformación de la base 4.1 Corolario 4.2 Observaciones

Definición

Dejado V sea a espacio del vector de dimensión n sobre a campo F y deje

sea base pedida para V. Entonces para cada hay una combinación linear única de los vectores de la base que iguala v:

Por una de las características que definen de bases, los α-s son determinados únicamente cerca v y B. Ahora, definimos vector coordinado de v en relación con B para ser los siguientes vector de la columna:

Esto también se llama representación de v con el respecto de B, o Representación de B de v.

Los α-s se llaman coordenadas de v.

La representación estándar

Podemos mecanizar la transformación antedicha definiendo una función φ_B, llamado representación estándar de V con respecto a B, ese lleva cada vector su representación coordinada: φ_B(v) = [v]_B. Entonces φ_B es una transformación linear de V a Fⁿ. De hecho, es isomorfismo, y su inverso está simplemente

Alternativomente, habríamos podido definir para ser la función antedicha del principio, observado eso es un isomorfismo, y definido φ_B para ser su lo contrario.

Ejemplos

Ejemplo 1

Deje P3 ser el espacio de todo el algebraico polinomios el grado menos de 4 (es decir. el exponente más alto de x pueden ser 3). Este espacio es linear y atravesado por los polinomios siguientes:

B_P = {1,x,x²,x³}

el emparejar

entonces el vector coordinado correspondiente al polinomio

es .

Según esa representación, diferenciación operador d/dx que marcaremos D será representado por el siguiente matriz:

Usando ese método es fácil explorar las características del operador: por ejemplo invertibility, hermitian o contra-hermitian o ninguno, espectro y valores propios y más.

Ejemplo 2

Matrices de Pauli cuál representa vuelta operador al transformar la vuelta eigenstates en coordenadas del vector.

Matriz de la transformación de la base

Dejado B y C sea dos diversas bases de un espacio del vector V, y marquemos con matriz cuál tiene consistir en las columnas C representación de los vectores de la base b₁, b₂,…, b_n:

Esta matriz se refiere como matriz de la transformación de la base de B a C, y puede ser utilizado para transformar cualquier vector v de a B representación a a C representación, según el siguiente teorema:

Si E es base estándar, la transformación de B a E puede ser representado con la notación simplificada siguiente:

donde

y

Corolario

Esta matriz es Matriz inversible y M^-1 es la matriz de la transformación de la base de C a B. Es decir

Observaciones

1. La matriz de la transformación de la base se puede mirar como automorphism encima V.
2. Para recordar fácilmente el teorema

note eso M 's exponente y v 's subíndice los índices “están cancelando” y M el 'subíndice de s se convierte v 'nuevo subíndice de s. Ésta “que cancela” de índices es no el cancelar verdadero sino algo una manipulación conveniente e intuitivo de abrogación de símbolos, permitidos por una notación apropiadamente elegida.