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Circunvolución

Para el uso en teoría del lenguaje formal, vea circunvolución (informática).

En matemáticas y, particularmente, análisis funcional, circunvolución es un matemático operador ese tomas dos funciones f y g y produce una tercera función que se vea típicamente como versión modificada de una de las funciones originales. La circunvolución es una herramienta matemática con usos incluyendo estadística, visión de computadora, imagen y proceso de señal, y ecuaciones diferenciales.

En ingeniería eléctrica, la tercera función es la salida de a sistema tiempo-invariante linear. La función que es modificada es entrada, y la otra es la tiempo-respuesta del sistema a un impulso breve pero fuerte (véase respuesta del impulso). En cualquier momento dado, la salida es un efecto acumulado de todos los valores anteriores de la función de entrada, con los valores más recientes típicamente teniendo la mayoría de la influencia (expresada como factor multiplicative). La función de la respuesta del impulso proporciona ese factor en función del tiempo transcurrido puesto que ocurrió cada valor de la entrada.

Contenido

Definición

La circunvolución de y se escribe . Se define como el integral del producto de las dos funciones después de una se invierte y se cambia de puesto. Como tal, es una clase particular de el integral transforma:

Mientras que el símbolo se utiliza arriba, él no necesitan representar el dominio de tiempo. Pero en ese contexto, el fórmula de la circunvolución se puede describir como promedio cargado de la función en el momento que  Para   es el peso/multiplicador que se aplicará al valor que funciona tenía segundos anteriormente a ese momento. (Y para   es el peso/multiplicador que se aplicará al valor que funciona tiene segundos después el momento )  La tiempo-revocación de una función concerniente a la otra en el integral de la circunvolución conduce a esa interpretación. Inversamente, definiendo una función que carga que la manera conduce a la tiempo-revocación. (Teoría del sistema de LTI)

Circunvolución circular

Cuando es periódico, con período puede ser demostrado eso:

donde to es un parámetro arbitrario. La adición se llama a extensión periódica de la función   Si es una extensión periódica de otra función, entonces se conoce como a circular, cíclico, o periódico circunvolución. Como se muestra aquí, puede ser computado por la integración en un dominio infinito o un dominio finito.

Circunvolución discreta

Para las funciones discretas, la operación de la circunvolución se da cerca:

Al multiplicar dos polinomios, los coeficientes del producto son dados por la circunvolución del coeficiente original secuencias, extendido con ceros cuando sea necesario para evitar términos indefinidos.

Generalizando los casos antedichos, la circunvolución se puede definir para cualesquiera dos integrable funciones definidas en a localmente acuerdo grupo topológico (véase circunvoluciones en grupos debajo).

Una diversa generalización es la circunvolución de distribuciones.

Algoritmos rápidos de la circunvolución

Cuando es una función finita de la duración de la longitud N, el fórmula arriba requiere N operaciones aritméticas por valor de la salida y N2 operaciones para N salidas. Eso se puede reducir perceptiblemente con cualesquiera de varios algoritmos rápidos. Proceso de la señal numérica y otros usos utilizan típicamente algoritmos rápidos de la circunvolución para aumentar la velocidad de la circunvolución a O (N registro N) complejidad.

El uso rápido más común de los algoritmos de la circunvolución Fourier rápido transforma Algoritmos (FFT) vía teorema circular de la circunvolución. Específicamente, circunvolución circular de dos finito-longitudes las secuencias son encontradas tomando un FFT de cada secuencia, multiplicando el pointwise, y después realizando un FFT inverso. Las circunvoluciones del tipo definido arriba entonces se ponen en ejecución eficientemente usando esa técnica conjuntamente con la cero-extensión y/o desechando las porciones de la salida.

Hay también muchos otros algoritmos rápidos de la circunvolución que no emplean FFTs por sí mismo, por ejemplo número-teórico transforme algoritmos.

Características

Commutativity

Associativity

Distributivity

Elemento de la identidad

donde el δ denota Delta de Dirac

Associativity con la multiplicación escalar

para cualquier número verdadero (o complejo) .

Regla de la diferenciación

donde denota derivado de f o, en el caso discreto, operador de la diferencia . Por lo tanto, la circunvolución se puede ver como “alisar” la operación: la circunvolución de f y g son diferenciables tantas veces tan cualquiera f o g es, cualquiera es mayor.

Teorema de la circunvolución

teorema de la circunvolución estados eso

donde denota Fourier transforma de f, y k es una constante que depende del específico normalización del Fourier transforme (e.g., k = 1 si ). Las versiones de este teorema también sostienen para Laplace transforma, Laplace con dos aspectos transforma, Z-transforme y Mellin transforma.

Vea también menos trivial Teorema de la circunvolución de Titchmarsh.

Lo contrario de la circunvolución

Artículo principal: Deconvolution

Muchas funciones tienen elemento inverso, f(-1), que satisface la relación:

Estas funciones forman grupo abelian, con operación del grupo siendo circunvolución.

Circunvoluciones en grupos

Si G es un conveniente grupo dotado con a medida m (por ejemplo, a localmente acuerdo Hausdorff grupo topológico con Medida de Haar) y si f y g es verdadero o el complejo valorado m-integrable funciones encendido G, entonces podemos definir su circunvolución cerca

grupo del círculo T con Lebesgue la medida es un ejemplo inmediato. Para un fijo g en L1(T), tenemos el operador familiar siguiente el actuar en Espacio de Hilbert L2(T):

El operador T es acuerdo. Un cálculo directo demuestra a eso su adjoint T* es la circunvolución con

Por la característica del commutativity citada arriba, T es normal, es decir. T*T = TT*. También, T conmuta con los operadores de la traducción. Considere a familia S de los operadores que consisten en todas tales circunvoluciones y los operadores de la traducción. S es una familia el conmutar de operadores normales. Según teoría espectral, existe una base orthonormal {hk} que diagonalizes simultáneamente S. Esto caracteriza circunvoluciones en el círculo. Específicamente, tenemos

cuáles son exacto caracteres de T. Cada circunvolución es un acuerdo operador de la multiplicación en esta base. Esto se puede ver como versión del teorema de la circunvolución discutido arriba.

El ejemplo antedicho puede convencer uno de que las circunvoluciones se presenten naturalmente en el contexto de análisis armónico en grupos. Que grupos más generales, es también posible den, por ejemplo, un teorema de la circunvolución, no obstante es mucho más difícil expresar y requiere teoría de la representación para estos tipos de grupos y Teorema de Peter-Weyl. Es muy difícil hacer estos cálculos sin más estructura, y Grupos de mentira resulte ser el ajuste en el cual se hacen estas cosas.[clarifique]

Circunvolución de medidas

Si el μ y el ν son medidas en la familia de Subconjuntos de Borel de la línea verdadera, entonces el μ de la circunvolución * el ν se define cerca

En caso de que sean el μ y el ν absolutamente continuo con respecto a Medida de Lebesgue, de modo que cada uno tenga una función de la densidad, entonces el μ de la circunvolución * el ν es también absolutamente continuo, y su función de la densidad es justa la circunvolución de las dos funciones separadas de la densidad.

Si son el μ y el ν medidas de la probabilidad, entonces el μ de la circunvolución * el ν es distribución de la probabilidad de la suma X + Y de dos independiente variables al azar X y Y de quién distribuciones respectivas son μ y ν.

Usos

La circunvolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchos usos de la ingeniería y de las matemáticas.

Vea también

Acoplamientos externos

Mire para arriba circunvolución en Wiktionary, el diccionario libre.
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