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Probabilidad condicional
Este artículo define algunos términos que caractericen distribuciones de la probabilidad de dos o más variables.
Probabilidad condicional es probabilidad de alguno acontecimiento A, dado la ocurrencia de un cierto otro acontecimiento B. Se escribe la probabilidad condicional P(A|B), y se lee “la probabilidad de A, dado B".
Probabilidad común es la probabilidad de dos acontecimientos en la conjunción. Es decir, es la probabilidad de ambos acontecimientos junto. La probabilidad común de A y B se escribe o
Probabilidad marginal es entonces la probabilidad incondicional P(A) del acontecimiento A; es decir, la probabilidad de A, sin importar si acontecimiento B hizo o no ocurrió. Si B puede ser pensado en como el acontecimiento de a variable al azar X tener un resultado dado, la probabilidad marginal de A puede ser obtenido cerca el sumar (o el integrar, más generalmente) las probabilidades del empalme sobre todos los resultados para X. Por ejemplo, si hay dos resultados posibles para X con acontecimientos correspondientes B y B, esto significa eso . Se llama esto marginalization.
En estas definiciones, observe que no necesitan ser a causal o temporal relación en medio A y B. A puede preceder B o viceversa o pueden suceder al mismo tiempo. A pueda causa B o viceversa o no pueden no tener ninguna relación causal en todos. Aviso, sin embargo, que las relaciones causales y temporales son nociones informales, no perteneciendo al marco probabilistic. Pueden aplicarse en algunos ejemplos, dependiendo de la interpretación dada a los acontecimientos.
Condicionamiento de probabilidades, es decir. poniéndolos al día para tomar cuenta (posiblemente de la nueva) información, puede ser alcanzado a través Teorema de Bayes. En tal condicionamiento, la probabilidad solamente de la información inicial dada A I, P(A|I), se conoce como probabilidad anterior. La probabilidad condicional actualizada de A, dada I y el resultado del acontecimiento B, se conoce como probabilidad posterior, P(A|B,I).
Contenido |
Introducción
Considere el panorama simple de six-sided justo del balanceo dos dados, etiquetado dado 1 y dado 2. Defina los tres siguientes acontecimientos:
- A: Tierras del dado 1 en 3.
- B: Tierras del dado 2 en 1.
- C: La suma de los dados a 8.
probabilidad anterior de cada acontecimiento describe cómo el resultado está probablemente antes de que se rueden los dados, sin ningún conocimiento del resultado del rodillo. Por ejemplo, el dado 1 es igualmente probable caer en cada uno de sus 6 lados, tan P(A) = 1 / 6. Semejantemente P(B) = 1 / 6. Asimismo, maneras posibles que dos dados pueden aterrizar, de 6 del × 6 = 36 resultado apenas 5 en una suma de 8 (a saber 2 y 6, 3 y 5, 4 y 4, 5 y 3, y 6 y 2), tan P(C) = 5/36.
Algunos de estos acontecimientos pueden ambos ocurren al mismo tiempo; por ejemplo los acontecimientos A y C pueden suceder al mismo tiempo, en el caso donde el dado 1 aterriza en 3 y mueren 2 tierras en 5. Éste es el único de los 36 resultados donde ocurren A y C, así que su probabilidad es 1/36. La probabilidad de ocurrir de A y de C se llama probabilidad común de A y de C y se escribe , tan . Por otra parte, si el dado 2 aterriza en 1, los dados no pueden sumar a 8, tan .
Ahora suponga que rodamos los dados y que los cubrimos encima del dado 2, así que podemos ver solamente el dado 1, y observamos que el dado 1 aterrizó en 3. Dado esta información parcial, la probabilidad que la suma de los dados a 8 es no más 5/36; en lugar es 1/6, puesto que el dado 2 debe aterrizar en 5 para alcanzar este resultado. Esto se llama condicional se escribe la probabilidad, porque es la probabilidad de C bajo condición se observa que es A, y , que se lee “la probabilidad del A. dado C” semejantemente, , desde entonces si observamos el dado 2 aterrizado en 1, sabemos ya que los dados no pueden sumar a 8, sin importar lo que el otro dado aterrizado encendido.
Por otra parte, si rodamos los dados y los cubrimos encima del dado 2, y observe el dado 1, éste no tiene ningún impacto en la probabilidad del acontecimiento B, que depende solamente del dado 2. Decimos que son los acontecimientos A y B estadístico independiente o apenas independiente y en este caso
Es decir la probabilidad de B que ocurre después de observar que el dado 1 aterrizado en 3 es igual que antes de que observáramos el dado 1.
Los acontecimientos de la intersección y los acontecimientos condicionales son relacionados por el fórmula:
En este ejemplo, tenemos:
Según lo observado arriba, , tan por este fórmula:
Al multiplicarse a través por P (A),
Es decir si dos acontecimientos son independientes, su probabilidad común es el producto de las probabilidades anteriores de cada acontecimiento que ocurre por sí mismo.
Definición
A dada espacio de la probabilidad y dos acontecimientos con P(B)> 0, la probabilidad condicional de A dado B se define cerca
Si P(B) = 0 entonces es indefinido, o de todos modos inaplicable.
Independencia estadística
Dos al azar acontecimientos A y B sea estadístico independiente si y solamente si
Así, si A y B sea independiente, después su probabilidad común se puede expresar como producto simple de sus probabilidades individuales.
Equivalente, para dos acontecimientos independientes A y B con probabilidades diferentes a cero,
y
Es decir si A y B es independiente, entonces la probabilidad condicional de A, dado B está simplemente la probabilidad individual de A solamente; asimismo, la probabilidad de B dado A está simplemente la probabilidad de B solamente.
Exclusividad mutua
Dos acontecimientos A y B sea mutuamente exclusiva si y solamente si . Entonces .
Por lo tanto, si P(B) > 0 entonces es definido e igual a 0.
Otras consideraciones
- Si B es un acontecimiento y P(B) > 0, entonces la función Q definido cerca Q(A) = P(A|B) para todos los acontecimientos A es a medida de la probabilidad.
- Muchos modelos adentro explotación minera de los datos puede calcular probabilidades condicionales, el incluir árboles de la decisión y Redes Bayesian.
El error condicional de la probabilidad
La probabilidad condicional error está la asunción eso P(A|B) es aproximadamente igual a P(B|A). El matemático Juan Allen Paulos discute esto en su libro Incapacidad de calcular (P. 63 et. seq.), donde él precisa que es una equivocación incurrida en a menudo incluso por los doctores, los abogados, y el otro de alto nivel noestadísticos. Puede ser superado describiendo los datos en números reales más bien que probabilidades.
La relación en medio P(A|B) y P(B|A) se da cerca Teorema de Bayes:
Es decir uno puede asumir solamente eso P(A|B) es aproximadamente igual a P(B|A) si las probabilidades anteriores P(A) y P(B) sea también aproximadamente igual.
Un ejemplo
En en medio construida pero realista la situación siguiente, la diferencia P(A|B) y P(B|A) puede sorprender, pero es al mismo tiempo obvio.
Para identificar a individuos que tienen una enfermedad seria en una forma curable temprana, uno puede considerar el defender de un grupo de gente grande. Mientras que las ventajas son obvias, una discusión contra tales investigaciones es el disturbio causado por resultados positivos falsos de la investigación: Si la prueba inicial encuentra a una persona que no tiene la enfermedad incorrectamente para tenerla, serán apenados muy probablemente absolutamente hasta que una prueba más cuidadosa demuestra que no tienen la enfermedad. Incluso después siendo dichos sean bien, sus vidas se pueden afectar negativamente.
La magnitud de este problema se entiende lo más mejor posible en términos de probabilidades condicionales.
Suponga que los 1% del grupo sufren de la enfermedad, y el resto está bien. Eligiendo a un individuo al azar,
- P(enfermedad) el = 1% = 0.01 y P(bien) el = 99% = 0.99.
Suponga que cuando la prueba de investigación se aplica a una persona que no tiene la enfermedad, hay una ocasión del 1% de conseguir un resultado positivo falso, es decir.
- P(positivo | pozo) el = 1%, y P(negativa | pozo) el = 99%.
Finalmente, suponga que cuando la prueba se aplica a una persona que tiene la enfermedad, hay una ocasión del 1% de un resultado negativo falso, es decir.
- P(negativa | enfermedad) el = 1% y P(positivo | enfermedad) el = 99%.
Ahora, uno puede calcular el siguiente:
La fracción de los individuos en el grupo entero que son negativa bien y de la prueba:
- .
La fracción de los individuos en el grupo entero que son positivo enfermo y de la prueba:
- .
La fracción de los individuos en el grupo entero que tienen resultados positivos falsos:
- .
La fracción de los individuos en el grupo entero que tienen resultados negativos falsos:
- .
Además, la fracción de los individuos en el grupo entero que prueban el positivo:
- .
Finalmente, la probabilidad que un individuo realmente tiene la enfermedad, dado que el resultado de la prueba es positivo:
- .
En este ejemplo, debe ser fácil relacionarse con la diferencia entre P (positivo|enfermedad) (que es el 99%) y P (enfermedad|positivo) (que es el 50%): el primer es la probabilidad condicional que un individuo que tiene la enfermedad prueba el positivo; el segundo es la probabilidad condicional esa un individuo que pruebe el positivo tenga realmente la enfermedad. Con los números elegidos aquí, el resultado pasado es probable ser juzgado inaceptable: la mitad del positivo de prueba de la gente es realmente positivos falsos.
Condicionamiento en una variable al azar
Hay también un concepto de la probabilidad condicional de una a dada acontecimiento variable al azar. Una probabilidad tan condicional es una variable al azar por derecho propio.
Suponga X es una variable al azar que puede ser igual a 0 o a 1. Como arriba, uno puede hablar de la probabilidad condicional de cualquier acontecimiento A dado el acontecimiento X = 0, y también de la probabilidad condicional de A dado el acontecimiento X = 1. Se denota el anterior P(A|X = 0) y el último P(A|X = 1). Ahora defina una nueva variable al azar Y, que es valor P(A|X = 0) si X = 0 y P(A|X = 1) si X = 1. Eso es
Esta nueva variable al azar es la probabilidad condicional del acontecimiento A dado la variable al azar X:
Según “ley de la probabilidad total“, valor previsto de Y es justa) la probabilidad marginal (o “incondicional” de A.
Más generalmente aún, es posible hablar de la probabilidad condicional de un acontecimiento dado una sigma-álgebra. Vea expectativa condicional.
Vea también
- Función de la probabilidad
- Probabilidad posterior
- Teoría de las probabilidades
- Problema de Monty Pasillo
- Error del querellante
- Expectativa condicional
- Distribución condicional de la probabilidad
- Teorema de Bayes
Referencias
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