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Método de la colocación

En matemáticas, a método de la colocación es un método para numérico solución de ecuación diferencial ordinaria y ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones integrales. La idea es elegir un espacio finito-dimensional de las soluciones del candidato (generalmente, polinomios hasta cierto grado) y un número de puntos en el dominio (llamado puntos de la colocación), y seleccionar esa solución que satisface la ecuación dada en los puntos de la colocación.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Suponga que ecuación diferencial ordinaria

es ser solucionado sobre el intervalo [t₀, t₀+h]. Denote los puntos de la colocación por 0 ≤ c₁< c₂< … < c_n ≤ 1.

El método correspondiente de la colocación (del polinomio) aproxima la solución y por el polinomio p del grado n cuál satisface la condición inicial p(t₀) = y₀, y la ecuación diferencial p'(t) = f(t,p(t)) en todos los puntos t = t₀ + c_kh donde k = 1, …, n. Esto da n + condiciones 1, que empareja n + los parámetros 1 necesitaron especificar un polinomio del grado n.

Todos estos métodos de la colocación son de hecho implícitos Métodos de Runge-Kutta. Sin embargo, no todos los métodos de Runge-Kutta son métodos de la colocación.

Ejemplo

Escoja, como ejemplo, los dos puntos de la colocación c₁ = 0 y c₂ = 1 (tan n = 2). Las condiciones de la colocación son

Hay tres condiciones, tan p debe ser un polinomio del grado 2. Escriba p en la forma

para simplificar los cómputos. Entonces las condiciones de la colocación se pueden solucionar para dar los coeficientes

El método de la colocación ahora se da (implícito) cerca

donde y₁ = p(t₀ + h) está la solución aproximada en t = t₀ + h.

Este método se conoce como la “regla trapezoidal.” De hecho, este método puede también ser derivado reescribiendo la ecuación diferencial como

y aproximando el integral en el lado derecho por regla trapezoidal para los integrales.

Referencias

• Ernst Hairer, Syvert Nørsett y Gerhard Wanner, Solucionando ecuaciones diferenciales ordinarias I: Problemas de Nonstiff, segunda edición, Springer Verlag, Berlín, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
• Arieh Iserles, Un primer curso en el análisis numérico de ecuaciones diferenciales, Prensa de la universidad de Cambridge, 1996. ISBN 0-521-55376-8 (hardback), ISBN 0-521-55655-4 (libro en rústica).