Cuadratura de Clenshaw-Curtis

Cuadratura de Clenshaw-Curtis y Cuadratura de Fejér son los métodos para integración numérica, o “cuadratura”, en términos de la cual se basan en una extensión del integrando Polinomios de Chebyshev. Equivalente, emplean a cambio de variables $x = cosθ$ y utilice a el coseno discreto transforma Aproximación (DCT) para serie del coseno. Además de tener exactitud rápido-convergente comparable a Cuadratura Gaussian las reglas, la cuadratura de Clenshaw-Curtis y de Fejér conducen naturalmente a las reglas jerarquizadas de la cuadratura (donde diversa exactitud pide puntos de la parte), que es importante para ambos cuadratura adaptante y cuadratura multidimensional (cubature).

Brevemente, función $f (x)$ ser integrado se evalúa en $N$ los extrema o las raíces de un Chebyshev polinómico y de estos valores se utilizan para construir una aproximación polinómica para la función. Este polinomio entonces se integra exactamente. En la práctica, los pesos de la integración para el valor de la función en cada nodo son precomputed, y este cómputo se puede realizar adentro $O (N registro N)$ tiempo por medio de Fourier rápido transforma- algoritmos relacionados para el DCT.

Cuadratura de Clenshaw-Curtis

Una manera simple de entender el algoritmo es realizar que la cuadratura de Clenshaw-Curtis (propuesta por esos autores en 1960) asciende a integrar vía a cambio de la variable $x = cosθ$ . El algoritmo se expresa normalmente para la integración de una función $f (x)$ sobre el intervalo $[ - 1,1]$ (cualquier otro intervalo se puede obtener por rescaling apropiado). Para este integral, podemos escribir:

Es decir, hemos transformado el problema de integrar $f (x)$ a uno de integrar $f sinθ (del cosθ)$ . Esto puede ser realizada si sabemos serie del coseno para $f (cosθ)$ :

en este caso se convierte el integral:

Por supuesto, para calcular los coeficientes de la serie del coseno

uno debe realizar otra vez una integración numérica, ésta puede no parecerse tan al principio haber simplificado el problema. Desemejante del cómputo de integrales arbitrarios, sin embargo, integraciones de las Fourier-series para funciones periódicas (como $f (cosθ)$ , por la construcción), hasta Frecuencia de Nyquist $k = N$ , son computados exactamente por $N$ puntos espaciados equitativamente e igual-cargados $θ n = n π/ N$ para (excepto las puntos finales son cargados por el 1/2, para evitar de doble-contar). Es decir, aproximamos el integral de las coseno-series por el tipo-Yo el coseno discreto transforma (DCT):

para y entonces utilice el fórmula arriba para el integral en términos de éstos $a k$ .

Conexión a los polinomios de Chebyshev

La razón que esto está conectada con los polinomios de Chebyshev $T k (x)$ está eso, por la definición, $T k (cosθ) = lechuga romana (k θ)$ , y la serie del coseno arriba es tan realmente una aproximación de $f (x)$ por los polinomios de Chebyshev:

y “realmente” estamos integrando así $f (x)$ integrando su extensión aproximada en términos de polinomios de Chebyshev. Los puntos de la evaluación $x n = lechuga romana (n π/ N)$ corresponda a extrema del polinomio de Chebyshev $T N (x)$ .

El hecho que tales Aproximación de Chebyshev es justa una serie del coseno bajo cambio de variables es responsable de la convergencia rápida de la aproximación como más términos $T k (x)$ sea incluido. Una serie del coseno converge muy rápidamente para las funciones que son uniforme, periódico, y alise suficientemente. Esto es verdad aquí, desde entonces $f (cosθ)$ está incluso y periódico adentro $θ$ al lado de construcción, y está k- épocas diferenciables por todas partes si $f (x)$ es k- épocas diferenciables encendido $[ - 1,1]$ . (En cambio, directamente aplicando una extensión de las coseno-series a $f (x)$ en vez de $f (cosθ)$ voluntad generalmente no converja rápidamente porque la cuesta de la extensión uniforme-periódica sería generalmente discontinua.)

Cuadratura de Fejér

Fejér propuso dos reglas de la cuadratura muy similares a la cuadratura de Clenshaw-Curtis, pero mucho anterior (en 1933).

De estos dos, la regla de la cuadratura de Fejér es “en segundo lugar” casi idéntica a Clenshaw-Curtis. La única diferencia es que las puntos finales $f ( - 1)$ y $f (1)$ se fijan a cero. Es decir, Fejér utilizó solamente interior extrema de los polinomios de Chebyshev, es decir. los puntos inmóviles verdaderos.

Primera” regla de la cuadratura de Fejér la “evalúa $a k$ evaluando $f (cosθ)$ en un diverso sistema de puntos espaciados equitativamente, a medio camino entre los extrema: $θ n = (n + 0.5) π/ N$ para . Éstos son raíces de $T N (cosθ)$ , y se conocen como Nodos de Chebyshev. (Estos puntos medianos espaciados equitativamente son los únicos la otra opción de los puntos de la cuadratura que preservan ambos simetría uniforme del coseno transforme y la simetría de translación de la serie de Fourier Periódica.) que esto conduce a un fórmula:

cuál es exacto el tipo-Ii DCT. Sin embargo, la primera regla de la cuadratura de Fejér no se jerarquiza: los puntos de la evaluación para 2N no coincida con los puntos uces de los de la evaluación para N, desemejante de la cuadratura de Clenshaw-Curtis o de la regla de Fejér segundo.

A pesar de que Fejér descubrió estas técnicas antes de Clenshaw y de Curtis, la “cuadratura conocida de Clenshaw-Curtis” ha llegado a ser estándar.

Comparación a la cuadratura Gaussian

El método clásico de cuadratura Gaussian evalúa el integrando en $N + 1$ los puntos y se construyen a exactamente integre los polinomios hasta grado $2 N + 1$ . En cambio, la cuadratura de Clenshaw-Curtis, arriba, evalúa el integrando en $N + 1$ los puntos e integran exactamente polinomios solamente hasta grado $N$ . Puede parecerse, por lo tanto, que Clenshaw-Curtis es intrínseco peor que cuadratura Gaussian, pero en realidad éste no se parece ser el caso.

En la práctica, varios autores han observado que Clenshaw-Curtis puede tener exactitud comparable a la de la cuadratura Gaussian para el mismo número de puntos. Esto es posible porque la mayoría de los integrandos numéricos no son polinomios (especialmente puesto que los polinomios se pueden integrar analíticamente), y la aproximación de muchas funciones en términos de polinomios de Chebyshev converge rápidamente (véase Aproximación de Chebyshev). De hecho, los resultados teóricos recientes (Trefethen, 2008) discuten que la cuadratura Gaussian y de Clenshaw-Curtis tenga error limitado cerca $O ([2 N] - k / k)$ para a k- integrando diferenciable de las épocas.

Una ventaja a menudo citada de la cuadratura de Clenshaw-Curtis es que los pesos de la cuadratura se pueden evaluar adentro $O (N registro N)$ tiempo cerca Fourier rápido transforma algoritmos (o sus análogos para el DCT), mientras que los pesos Gaussian de la cuadratura requieren $O (N 2)$ hora de computar. Como una cuestión práctica, sin embargo, integración numérica de categoría alta es realizada raramente simplemente evaluando un fórmula de la cuadratura para muy grande $N$ . En lugar, uno emplea generalmente cuadratura adaptante proyecte que primero evalúa el integral a de orden inferior, y después sucesivamente refina la exactitud solamente en regiones donde está inexacto el integral. Para evaluar la exactitud de la cuadratura, una compara la respuesta con la de una regla de la cuadratura incluso de una orden más baja. Idealmente, esta regla de la cuadratura de la bajo-orden evalúa el integrando en a subconjunto de la original N puntos, reducir al mínimo las evaluaciones del integrando. Esto se llama una regla jerarquizada de la cuadratura, y aquí Clenshaw-Curtis tiene la ventaja esa la regla para la orden N utiliza un subconjunto de los puntos de la orden 2N. En cambio, las reglas Gaussian de la cuadratura no se jerarquizan naturalmente, y así que uno debe emplear Cuadratura del Gauss-Kronrod o métodos similares. Las reglas jerarquizadas son también importantes para rejillas escasas en cuadratura multidimensional.

Integración con funciones del peso

Más generalmente, uno puede plantear el problema de integrar un arbitrario $f (x)$ contra un fijo función del peso $W (x)$ eso se sabe delante de tiempo:

El caso más común es $W (x) = 1$ , como arriba, pero en ciertos usos una diversa función del peso es deseable. La razón básica es ésa, desde entonces $W (x)$ puede considerado a priori, el error de la integración se puede hacer para depender solamente de la exactitud en aproximar $f (x)$ , sin importar cómo gravemente estuvo comportado la función del peso pudo estar.

La cuadratura de Clenshaw-Curtis se puede generalizar a este caso como sigue. Como antes, trabaja encontrando la extensión de las coseno-series de $f (cosθ)$ vía un DCT, y después integrar cada término en la serie del coseno. Ahora, sin embargo, estos integrales están de la forma

Para la mayoría $W (x)$ , este integral no se puede computar analíticamente, desemejante de antes. Puesto que la misma función del peso se utiliza generalmente para muchos integrandos $f (x)$ , sin embargo, uno puede permitirse computar éstos $W k$ numéricamente a la alta exactitud de antemano. Por otra parte, desde entonces $W (x)$ se especifica generalmente analíticamente, uno puede emplear a veces métodos especializados para computar $W k$ .

Por ejemplo, los métodos especiales se han desarrollado para aplicar la cuadratura de Clenshaw-Curtis a los integrandos de la forma $f (x) W (x)$ con una función del peso $W (x)$ eso es altamente oscilatorio, e.g. a sinusoid o Función de Bessel (véase, e.g., a Evans y a Webster, 1999). Esto es útil para high-accuracy Serie de Fourier y Serie de Fourier-Bessel cómputo, cuando sea simple $W (x) = 1$ los métodos de la cuadratura son problemáticos debido a la alta exactitud requerida para resolver la contribución de oscilaciones rápidas. Aquí, la pieza de la rápido-oscilación del integrando considerado vía los métodos especializados para $W k$ , mientras que la función desconocida $f (x)$ está generalmente mejor comportado.

Otro caso donde están especialmente útiles las funciones del peso es si el integrando es desconocido pero tiene una singularidad sabida de una cierta forma, e.g. una discontinuidad sabida o una divergencia integrable (tal como 1/√x) en un cierto punto. En este caso la singularidad se puede tirar en la función del peso $W (x)$ y sus características analíticas se pueden utilizar para computar $W k$ exactamente de antemano.

Observe eso Cuadratura Gaussian la poder también se adapte para las varias funciones del peso, pero la técnica es algo diferente. En la cuadratura de Clenshaw-Curtis, el integrando se evalúa siempre en el mismo sistema de puntos sin importar $W (x)$ , correspondiendo a los extrema o a las raíces de un polinomio de Chebyshev. En cuadratura Gaussian, diversas funciones del peso conducen a diferente polinomios orthogonal, y así diversas raíces donde se evalúa el integrando.

Referencias

C. W. Clenshaw y A. R. Curtis “Un método para la integración numérica en una computadora automática Numerische Mathematik 2, 197 (1960).
W. Caballero de Morven, “poniendo la cuadratura I de Clenshaw-Curtis en ejecución: Metodología y experiencia, “ Comunicaciones del ACM 15(5), P. 337-342 (1972).
Jörg Waldvogel, “La construcción rápida de la cuadratura de Fejér y de Clenshaw-Curtis gobierna," Matemáticas numéricas MORDIDAS 43 (1), P. 001-018 (2004).
Lloyd N. Trefethen, “¿Es la cuadratura del gauss mejor que Clenshaw-Curtis?," Revisión de TAILANDIA 50 (1), 67-87 (2008).
G. A. Evans y J. R. Webster, “una comparación de algunos métodos para la evaluación de integrales altamente oscilatorios,” Diario de las matemáticas de cómputo y aplicadas, vol. 112, P. 55-69 (1999).
Leopold Fejér, “En las secuencias infinitas que se presentan en las teorías del análisis armónico, de la interpolación, y de cuadraturas mecánicas", Boletín de la sociedad matemática americana 39 (1933), pp. 521–534.
Leopold Fejér, “El mit de Mechanische Quadraturen positiven Cotesschen Zahlen, Mathematische Zeitschrift 37 , 287 (1933).

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