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Clasificación de discontinuidades

Salte el punto vuelve a dirigir aquí. Para el libro de Tom Hayes, vea Salte el punto.

Funciones continuas sea de importancia extrema adentro matemáticas y usos. Sin embargo, no todos funciones sea continuo. Si una función no es continua en un punto en su dominio, uno dice que tiene a discontinuidad allí. El sistema de todos los puntos de la discontinuidad de una función puede ser a sistema discreto, a sistema denso, o aún el dominio entero de la función.

Este artículo describe clasificación de discontinuidades en el caso más simple de funciones de un solo verdadero variable que toma valores verdaderos.

Clasificación de discontinuidades

Considere una función f de la variable verdadera x con los valores verdaderos definidos en una vecindad de un punto x₀. Entonces tres situaciones son posibles:

1. límite unilateral de la dirección negativa

y límite unilateral de la dirección positiva

en x₀ exista, sea finito, y sea igual. Entonces, si f(x₀) no es igual a L, x₀ se llama a discontinuidad desprendible. Esta discontinuidad puede ser quitada (tan f puede ser hecho continuo en x₀) fijando f(x₀) = L.

2. Los límites L ⁻ y L ⁺ exista y sea finito, pero no iguale. Entonces, x₀ se llama a salte la discontinuidad o discontinuidad del paso.

3. Uno o ambos límites L ⁻ y L ⁺ no existe ni es infinito. Entonces, x₀ se llama discontinuidad esencial.

El término discontinuidad desprendible (incorrectamente) se utiliza a veces para los casos en los cuales los límites en ambas direcciones existen y son iguales, mientras que es la función indefinido en el punto x₀.^[1] Este uso es incorrecto porque continuidad y la discontinuidad de una función es conceptos definidos solamente para los puntos en el dominio de la función.

Ejemplos

1. Considere la función

Entonces, el punto x₀ = 1 es una discontinuidad desprendible.

2. Considere la función

Entonces, el punto x₀ = 1 es una discontinuidad del salto.

3. Considere la función

Entonces, el punto x₀ = 1 es una discontinuidad esencial. Para que sea una discontinuidad esencial, habría sido suficiente que solamente una de los dos límites unilaterales no existió ni era infinita.

El sistema de discontinuidades de una función

El sistema de los puntos en los cuales una función es continua es siempre a G_δ sistema. El sistema de discontinuidades es F_σ sistema.

Función de Thomae es discontinuo en cada punto racional, pero continuo en cada punto irracional.

función del indicador de los números racionales, también conocido como Función de Dirichlet, es discontinuo por todas partes.

Vea también

• Singularidad desprendible
• Extensión por continuidadhttp://en.wikipedia.org../../../../articles/r/e/g/Regular_space.html#Extension_by_continuity

Notas

1. ^ Vea, por ejemplo, la oración pasada en la definición dada en Mathwords.[1]

Referencias

• Malik, S. C.; Arora, Savita (1992). Análisis matemático, 2do ed. Nueva York: Wiley. ISBN 0470218584. 

Acoplamientos externos

• Discontinuo en PlanetMath
• “Discontinuidad” por Ed Pegg, Jr., El proyecto de demostraciones del volframio, 2007.
• Eric W. Weisstein, Discontinuidad en MathWorld.