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Polinomios de Chebyshev

En matemáticas Polinomios de Chebyshev, nombrado después Pafnuty Chebyshev^[1], es a secuencia de polinomios orthogonal con cuál se relacionan fórmula de de Moivre y que se definen fácilmente recurrentemente, como Fibonacci o Números de Lucas. Uno distingue generalmente en medio Polinomios de Chebyshev de la primera clase se denotan cuáles T_n y Polinomios de Chebyshev de la segunda clase se denotan cuáles U_n. La letra T se utiliza debido a el alternativa transcripciones del nombre Chebyshev como Tchebyshef o Tschebyscheff.

Los polinomios de Chebyshev T_n o U_n son los polinomios del grado n y secuencia de los polinomios de Chebyshev de cualquiera bueno compone a secuencia polinómica.

Los polinomios de Chebyshev son importantes adentro teoría de la aproximación porque las raíces de los polinomios de Chebyshev de la primera clase, que también se llaman Nodos de Chebyshev, se utilizan como nodos adentro interpolación polinómica. El polinomio de la interpolación que resulta reduce al mínimo el problema de Fenómeno de Runge y proporciona una aproximación que esté cerca del polinomio de la mejor aproximación a a función continua debajo de norma máxima. Esta aproximación conduce directamente al método de Cuadratura de Clenshaw-Curtis.

En el estudio de ecuaciones diferenciales se presentan como la solución a Ecuaciones diferenciales de Chebyshev

y

para los polinomios de la primera y segunda clase, respectivamente. Estas ecuaciones son casos especiales del Ecuación diferencial de Sturm-Liouville.

Contenido 1 Definición 1.1 Definición Trigonometric 1.2 Definición de la ecuación de Pell 1.3 Relación entre los polinomios de Chebyshev de la primera y segunda clase 2 Fórmulas explícitos 3 Características 3.1 Orthogonality 3.2 ∞-norma mínima 3.3 Diferenciación e integración 3.4 Raíces y extrema 3.5 Otras características 4 Ejemplos 5 Como un sistema de la base 5.1 Sumas parciales 5.2 Polinomio en la forma de Chebyshev 6 Separe los polinomios 7 Vea también 8 Referencias 9 Acoplamientos externos

Definición

Polinomios de Chebyshev de la primera clase son definidos por relación de repetición

Un ejemplo de a generación de la función para T_n es

Polinomios de Chebyshev de la segunda clase son definidos por relación de repetición

Un ejemplo de a generación de la función para U_n es

Definición Trigonometric

Los polinomios de Chebyshev de la primera clase se pueden definir por identidad trigonometric:

de dónde:

para n = 0, 1, 2, 3,…, mientras que los polinomios de la segunda clase satisfacen:

cuál es estructural absolutamente similar a Núcleo de Dirichlet.

Esa lechuga romana (nx) es npolinomio del th-grado en lechuga romana (x) puede ser visto observando esa lechuga romana (nx) es la parte real de un lado de fórmula de de Moivre, y la parte real del otro lado es un polinomio en lechuga romana (x) y pecado (x), en que todas las energías del pecado (x) sea incluso y así reemplazable vía la identidad lechuga romana²(x) + pecado²(x) = 1.

Esta identidad es extremadamente útil conjuntamente con el fórmula de generación recurrente ya que permite a uno calcular el coseno de cualquier múltiplo integral de un ángulo solamente en términos de coseno del ángulo bajo. Evaluación de los primeros dos polinomios de Chebyshev:

y:

uno puede directo determinar eso:

y así sucesivamente. Para comprobar trivial si los resultados se parezcan razonables, sume los coeficientes en ambos lados del igual (es decir, fijando theta igual a cero, para el cual el coseno es unidad), y una ve ese − 1 en la expresión anterior y 1 = 4 3 de 1 de = el − 2 en el último.

Un corolario inmediato es la identidad de la composición (o la “característica del nesting”)

Definición de la ecuación de Pell

Los polinomios de Chebyshev se pueden también definir como las soluciones a Ecuación de Pell

en un anillo R [x].^[2] Así, pueden ser generados por la técnica estándar para las ecuaciones de Pell de tomar energías de una solución fundamental:

Relación entre los polinomios de Chebyshev de la primera y segunda clase

Los polinomios de Chebyshev de la primera y segunda clase son relacionados de cerca por las ecuaciones siguientes

La relación de la repetición del derivado de los polinomios de Chebyshev se puede derivar de estas relaciones

Esta relación se utiliza en Método espectral de Chebyshev de solucionar ecuaciones diferenciales.

Equivalente, las dos secuencias se pueden también definir de un par de repetición mutua ecuaciones:

Éstos se pueden derivar de los fórmulas trigonometric; por ejemplo, si , entonces

Observe que estas ecuaciones y las ecuaciones trigonometric toman una forma más simple si, como algunos trabajos, seguimos la convención alterna de denotar nuestra U_n (el polinomio del grado n) con U_n+1 en lugar.

Fórmulas explícitos

Diversos acercamientos a definir los polinomios de Chebyshev conducen a diversos fórmulas explícitos por ejemplo:

(debido al M. Hovdan)

Características

Orthogonality

Ambos T_n y U_n forme una secuencia de polinomios orthogonal. Los polinomios de la primera clase son orthogonal con respecto al peso

en el intervalo [−1,1], es decir. tenemos:

Esto puede ser probada dejando x= lechuga romana (θ) y usar la identidad T_n (lechuga romana (θ))=cos (nθ). Semejantemente, los polinomios de la segunda clase son orthogonal con respecto al peso

en el intervalo [−1,1], es decir. tenemos:

(Nota que el peso es, dentro a una constante la normalización, la densidad del Distribución del semicírculo de Wigner).

∞-norma mínima

Para dado , entre los polinomios del grado n con el coeficiente principal 1,

es el de el cual el valor absoluto máximo en el intervalo [ − 1,1] es mínimo.

Este valor absoluto máximo es

y | f(x) | alcanza este máximo exactamente n + 1 épocas: en − 1 y 1 y el otro n − 1 puntos extremal de f.

Diferenciación e integración

Los derivados de los polinomios pueden ser menos que directos. Distinguiendo los polinomios en sus formas trigonometric, es fácil demostrar eso:

Los dos fórmulas pasados pueden ser numéricamente molesto debido a la división por cero (0/0 forma indeterminada, específicamente) en x = 1 y x = −1. Puede ser demostrado (véase prueba) eso:

de hecho, el fórmula siguiente, más general sostiene:

Este último resultado está de gran uso en la solución numérica de los problemas del valor propio.

Respecto a la integración, el primer derivado del T_n implica eso

y la relación de repetición para los primeros polinomios buenos que implican derivados establece eso

Raíces y extrema

Un polinomio de Chebyshev de cualquiera bueno con grado n tiene n diversas raíces simples, llamadas Raíces de Chebyshev, en el intervalo [−1,1]. Las raíces se llaman a veces Nodos de Chebyshev porque se utilizan como nodos en la interpolación polinómica. Usando la definición trigonometric y el hecho eso

uno puede probar fácilmente que las raíces de T_n sea

Semejantemente, las raíces de U_n sea

Una característica única de los polinomios de Chebyshev de la primera clase está ésa en el ≤ del intervalo −1 x ≤ 1 todo el extrema tenga valores que sean −1 o 1. Así estos polinomios tienen solamente dos finitos valores críticos, la característica que define de Polinomios de Shabat. Las primeras y segundas clases de polinomio de Chebyshev tienen extrema en las puntos finales, dadas cerca:

Otras características

Los polinomios de Chebyshev son un caso especial del ultraspherical o Polinomios de Gegenbauer, que ellos mismos es un caso especial del Polinomios de Jacobi.

Para cada número entero no negativo n, T_n(x) y U_n(x) son ambos polinomios del grado n. Son funciones uniformes o impares de x como n es uniforme o impar, tan cuando está escrito como polinomios de x, tiene solamente términos uniformes o impares del grado respectivamente.

El coeficiente principal de T_n es 2^n − 1 si 1 ≤ n, solamente 1 si 0 = n.

T_n es un caso especial de Curvas de Lissajous con cociente de la frecuencia al igual a n.

Ejemplos

Los polinomios primeros de Chebyshev de la primera clase son

Los polinomios primeros de Chebyshev de la segunda clase son

Como un sistema de la base

En el apropiado Espacio de Sobolev, el sistema de los polinomios de Chebyshev forma a completo sistema de la base, de modo que una función en la misma poder del espacio, en el ≤ −1 x el ≤ 1 se exprese vía la extensión:^[3]

Además, según lo mencionado previamente, los polinomios de Chebyshev forman orthogonal base que (entre otras cosas) implican que los coeficientes a_n puede ser determinado fácilmente con el uso del producto interno. Esta suma se llama a Serie de Chebyshev o a Extensión de Chebyshev.

Puesto que una serie de Chebyshev se relaciona con a Serie del coseno de Fourier a través de un cambio de variables, todos de los teoremas, de las identidades, del etc a los cuales apliqúese Serie de Fourier tenga contrapartes de un Chebyshev.^[3] Estas cualidades incluyen:

• Los polinomios de Chebyshev forman a completo sistema orthogonal.

• La serie de Chebyshev converge a f(x) si es la función por trozos liso y continuo. El requisito de la suavidad puede ser relajado en la mayoría de los casos - mientras hay un número finito de discontinuidades adentro f(x) y sus derivados.

• En una discontinuidad, la serie convergerá al promedio de los límites derechos e izquierdos.

La abundancia de los teoremas y de las identidades heredados de Serie de Fourier haga los polinomios de Chebyshev las herramientas importantes adentro análisis numérico; por ejemplo son las funciones de fines generales más populares de la base usadas en método espectral^[3], a menudo a favor de la serie trigonometric debido a una convergencia generalmente más rápida para las funciones continuas (Fenómeno de Gibbs todavía está un problema).

Sumas parciales

Las sumas parciales de

sea muy útil en aproximación de varias funciones y en la solución de ecuaciones diferenciales (véase método espectral). Dos métodos comunes para determinar los coeficientes a_n esté con el uso del producto interno como adentro Método de Galerkin y con el uso de colocación con cuál se relaciona interpolación.

Como interpolant, N coeficientes de (N − 1)^th la suma parcial se obtiene generalmente en el Chebyshev-Gauss-Lobatto^[4] puntos (o rejilla de Lobatto), que da lugar a error mínimo y evita Fenómeno de Runge asociado a una rejilla uniforme. Esta colección de puntos corresponde a los extrema del polinomio de la orden más alta de la suma, más las puntos finales y se da cerca:

Polinomio en la forma de Chebyshev

Un polinomio arbitrario del grado N puede ser escrito en términos de polinomios de Chebyshev de la primera clase. Tal polinomio p(x) está de la forma

Los polinomios en la forma de Chebyshev pueden ser el usar evaluado Algoritmo de Clenshaw.

Separe los polinomios

separe los polinomios esté en un sentido equivalente a los polinomios de Chebyshev de la primera clase, pero permita a uno evitar raíces cuadradas y funciones trigonométricas convencionales en ciertos contextos, notablemente adentro trigonometría racional.

Vea también

• Nodos de Chebyshev
• Filtro de Chebyshev
• Raíz cúbica de Chebyshev
• Polinomios de Dickson
• Polinomios de Legendre
• Polinomios de Hermite
• Funciones racionales de Chebyshev
• Cuadratura de Clenshaw-Curtis
• Teoría de la aproximación

Referencias

• Abramowitz, Milton y Stegun, Irene A., eds. (1965), “Capítulo 22”, Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos, y tablas matemáticas, Nueva York: Dover, ISBN 0-486-61272-4 .

1. ^ Los polinomios de Chebyshev primero fueron presentados en: P. L. Parallelogrammes sous de le nom del connus de los mécanismes del DES de Chebyshev (1854) “Théorie,” l'Academie de Santo-Pétersbourg del à de los présentes de los étrangers del DES Savants de Mémoires, vol. 7, páginas 539-586.
2. ^ Jeroen Demeyer Anillos polinómicos del excedente de los sistemas de Diophantine y problema de Hilbert décimo para los campos de la función, Ph.D. tesis (2007), p.70.
3. ^ ^{a b c} Chebyshev y métodos espectrales de Fourier por Juan P. Boyd.
4. ^ Interpolación de Chebyshev: Un viaje interactivo

Acoplamientos externos

• Eric W. Weisstein, Polinomio de Chebyshev de la primera clase en MathWorld.
• Módulo para los polinomios de Chebyshev de Juan H. Mathews
• Interpolación de Chebyshev: Un viaje interactivo, incluye ilustrativo Java applet.