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Sistema coordinado cartesiano

En matemáticas, Sistema coordinado cartesiano (también llamado sistema coordinado rectangular) se utiliza determinar cada uno punto únicamente en a plano con dos números, generalmente llamado x-coordine o abscisa y y-coordine o ordenada del punto. Para definir los coordenadas, dos perpendicular dirigido líneas ( x-axis, y y-axis), se especifican, así como longitud de unidad, que está marcada apagado en las dos hachas (véase el cuadro 1). Los sistemas coordinados cartesianos también se utilizan adentro espacio (donde se utilizan tres coordenadas) y adentro dimensiones más altas.

Usando el sistema coordinado cartesiano, geométrico formas (por ejemplo curvas) puede ser descrito cerca algebraico ecuaciones, a saber ecuaciones satisfechas por los coordenadas de los puntos que mienten en la forma. Por ejemplo, el círculo del radio 2 se puede describir por la ecuación x2 + y2 = 4 (véase el cuadro 2).

Contenido

Historia

Cartesiano medios referentes Francés matemático y filósofo René Descartes (Latín: Cartesius), que, entre otras cosas, trabajó para combinarse álgebra y Geometría euclidiana. Este trabajo era influyente en el desarrollo de geometría analítica, cálculo, y cartografía.

La idea de este sistema fue desarrollada adentro 1637 en dos escrituras de Descartes e independientemente cerca Pierre de Fermat, aunque Fermat no publicó el descubrimiento.[1] En la parte dos el suyo Discurso en método, Descartes introduce la nueva idea de especificar la posición de a punto u objeto en una superficie, usando dos hachas que se intersecan como guías que miden.[citación necesitada] En La Géométrie, él explora más lejos los conceptos antedichos.[2]

Sistema coordinado de dos dimensiones

Un cartesiano sistema coordinado en dos dimensiones es definido comúnmente por dos hachas, en angulos rectos el uno al otro, formando un plano ( xy- plano). horizontal el eje se etiqueta normalmente x, y vertical el eje se etiqueta normalmente y. En un sistema coordinado tridimensional, otro eje, etiquetado normalmente z, se agrega, proporcionando una tercera dimensión de la medida del espacio. Las hachas se definen comúnmente como mutuamente orthogonal el uno al otro (cada uno a un angulo recto del otro). (Los sistemas tempranos permitieron las hachas “oblicuas”, es decir, las hachas que no satisficieron perpendicularmente, y tales sistemas se utilizan de vez en cuando hoy, aunque sobre todo como ejercicios teóricos.) todos los puntos en un sistema coordinado cartesiano tomado juntos forman un supuesto Plano cartesiano. Se llaman las ecuaciones que utilizan el sistema coordinado cartesiano Ecuaciones cartesianos.

El punto de la intersección, en donde las hachas satisfacen, se llama origen etiquetado normalmente O. x y y las hachas definen un plano que se refiera como xy plano. Dado cada eje, elija una longitud de unidad, y marque apagado cada unidad a lo largo del eje, formando una rejilla. Para especificar un punto particular en un sistema coordinado de dos dimensiones, indique x unidad primero (abscisa), seguido por y unidad (ordenada) en la forma (x,y), un par pedido.

La opción de letras viene de una convención, utilizar la última parte del alfabeto para indicar valores desconocidos. En cambio, la primera parte del alfabeto fue utilizada para señalar valores conocidos.

Un ejemplo de a punto P en el sistema se indica en el cuadro 3, usando el coordenada (3.5).

La intersección de las dos hachas crea cuatro regiones, llamadas cuadrantes, indicado por los números romanos I (+, +), II (−, +), III (−, −), y el intravenoso (+, −). Convencionalmente, los cuadrantes se etiquetan a la izquierda a partir de (“noreste”) el cuadrante derecho superior. En el primer cuadrante, ambos coordenadas son positivos, en el segundo cuadrante x- los coordenadas son negativos y y- el positivo de los coordenadas, en el tercer cuadrante ambos coordenadas es negativo y en el cuarto cuadrante, x- los coordenadas son positivos y y- negativa de los coordenadas (véase la tabla abajo.)

Sistema coordinado tridimensional

El sistema coordinado cartesiano tridimensional proporciona las tres dimensiones físicas del espacio - longitud, anchura, y altura. Los cuadros 4 y 5 demuestran dos maneras comunes de representarlo.

Las tres hachas cartesianos que definen el sistema son perpendiculares el uno al otro. Los coordenadas relevantes están de la forma (x, y, z). Como ejemplo, el cuadro 4 demuestra dos puntos trazado en un sistema coordinado cartesiano tridimensional: P(3.0.5) y Q(−5, −5,7). Las hachas se representan en “mundo-coordinan” la orientación con z- eje que señala para arriba.

x-, y-, y z- los coordenadas de un punto se pueden también tomar como las distancias del yz- plano, xz- plano, y xy- plano respectivamente. El cuadro 5 demuestra las distancias del punto P de los planos.

xy-, yz-, y xz- los planos dividen el espacio tridimensional en ocho subdivisiones conocidas como octantes, similar a los cuadrantes de 2.o espacio. Mientras que han establecido a las convenciones para el etiquetado de los cuatro cuadrantes de x-y acepille, sólo el primer octante del espacio tridimensional se etiqueta. Contiene todos los puntos que x, y, y z los coordenadas son positivos.

z- el coordenada también se llama applicate.

Orientación y uso de las manos

Artículo principal: Orientación (matemáticas)
vea también: regla derecha

En dos dimensiones

El fijar o el elegir x- el eje determina y- eje hasta la dirección. A saber, y- el eje es necesariamente perpendicular a x- el eje a través del punto marcó 0 en x- eje. Pero hay una opción de la cual de las dos medias líneas en el perpendicular a señalar como positivo y de la cual como negativa. Estos dos opciones determinan una diversa orientación (también llamada uso de las manos) del plano cartesiano.

La manera generalmente de orientar las hachas, con el positivo x- eje que señala a la derecha y el positivo y- eje que señala para arriba (y x- eje que es el “primer” y y- el eje “en segundo lugar” el eje) se considera positivo o estándar orientación, también llamada derecho orientación.

Una mnemónica de uso general para definir la orientación positiva es regla derecha. Colocando una mano derecha algo cerrada en el plano con el pulgar que señala para arriba, los dedos señalan de x- eje a y- eje, en un sistema coordinado positivamente orientado.

La otra manera de orientar las hachas es siguiente regla de la mano izquierda, colocando la mano izquierda en el plano con el pulgar que señala para arriba.

Sin importar la regla usada para orientar las hachas, rotando el sistema coordinado preservará la orientación. Cambiar el papel de x y y invertirá la orientación.

En tres dimensiones

Una vez que x- y y- se especifican las hachas, ellas determinan línea a lo largo de cuál z- el eje debe mentir, pero hay dos direcciones posibles en esta línea. Los dos sistemas coordinados posibles que resultan se llaman “derechos” y “zurdos”. La orientación estándar, donde xy- el plano es horizontal y z- el eje señala para arriba (y x- y y- forma del eje un sistema coordinado de dos dimensiones positivamente orientado en xy- acepille si está observado de sobre xy- se llama el plano) derecho o positivo.

El nombre deriva de regla derecha. Si dedo del índice de la mano derecha está delantero acentuado, dedo medio doblado hacia adentro a un angulo recto de él, y pulgar colocado en un angulo recto de ambos, los tres dedos indican las direcciones relativas del x-, y-, y z- hachas en a derecho sistema. El pulgar indica x- eje, el dedo del índice y- eje y el dedo medio z- eje. Inversamente, si igual se hace con la mano izquierda, un sistema zurdo resulta.

El cuadro 7 es una tentativa en representar coordinado un sistema derecho de la izquierda y. Porque un objeto tridimensional se representa en el resultado de dos dimensiones de la pantalla, de la distorsión y de la ambigüedad. El eje que señala hacia abajo (y a la derecha) también se significa para señalar hacia el observador, mientras que el eje “medio” se significa para señalar lejos del observador. El círculo rojo es paralelo al horizontal xy- acepille e indica la rotación del x- eje a y- eje (en ambos casos). Por lo tanto los pasos rojos de la flecha delante de z- eje.

El cuadro 8 es otra tentativa en representar un sistema coordinado derecho. Una vez más hay una ambigüedad causada proyectando el sistema coordinado tridimensional en el plano. Muchos observadores véase el cuadro 8 como “moviendo de un tirón en y hacia fuera” entre a convexo cubo y a cóncavo “esquina”. Esto corresponde a las dos orientaciones posibles del sistema coordinado. Ver la figura como cuerpo da un sistema coordinado zurdo. Así la manera “correcta” de ver el cuadro 8 es imaginar x- eje como señalando hacia el observador y así ver una esquina cóncava.

Representación de un vector en la base estándar

Un punto en espacio en un sistema coordinado cartesiano se puede también representar por a vector, que se puede pensar en como flecha que señala del origen del sistema coordinado al punto. Si los coordenadas representan las posiciones espaciales (dislocaciones) es común representar el vector del origen al punto del interés como . En tres dimensiones, el vector del origen al punto con coordenadas cartesianos (x,y,z) se escribe a veces como[3]:

donde , , y sea vectores de la unidad ese punto la misma dirección que x, y, y z hachas, respectivamente. Éste es quaternion la representación del vector, y fue introducida cerca Sir Guillermo Rowan Hamilton. Los vectores de la unidad , , y se llaman versors del sistema coordinado, y están los vectores del base estándar en tres-dimensiones.

Usos

Los coordenadas cartesianos son de uso frecuente representar dos o tres dimensiones del espacio, pero pueden también ser utilizados para representar muchas otras cantidades (tales como masa, tiempo, fuerza, etc.). En tales casos las hachas coordinadas serán etiquetadas típicamente con otras letras (por ejemplo m, t, F, etc.) en lugar de x, y, y z. Cada eje puede también tener diferente unidades de medida asociado a él (tal como kilogramos, segundos, libras, etc.). Es también posible definir sistemas coordinados con más de tres dimensiones para representar relaciones entre más de tres cantidades. Aunque cuatro y alto-dimensionales espacios son difíciles de visualizar, la álgebra de coordenadas cartesianos se puede ampliar relativamente fácilmente a cuatro o más variables, para poder hacer ciertos cálculos que implican muchas variables. (Esta clase de extensión algebraica es qué se utiliza para definir la geometría de los espacios alto-dimensionales, que pueden llegar a ser algo complicados.) inversamente, es a menudo provechoso utilizar la geometría de coordenadas cartesianos en dos o tres dimensiones para visualizar relaciones algebraicas entre dos o tres (quizás dos o tres de muchos) variables no-espaciales.

Otras notas

En geometría de cómputo el sistema coordinado cartesiano es la fundación para la manipulación algebraica de formas geométricas. Muchos otros sistemas coordinados se han desarrollado desde Descartes. Un sistema del campo común de uso de los sistemas coordenadas polares; uso de los astrónomos y de los físicos a menudo coordenadas esféricos, un tipo de sistema coordinado polar tridimensional.

Puede ser interesante observar que algo ha indicado que los artistas principales del Renacimiento utilizó una rejilla, bajo la forma de acoplamiento de alambre, como una herramienta para romperse encima de las piezas de sus temas que pintaron. Que esto pudo haber influenciado a Descartes es simplemente especulativo.[la citación necesitó] (Véase perspectiva, geometría descriptiva.)

Vea también

Otros sistemas coordinados
  • Sistemas coordinados orthogonal tridimensionales


Historia
Asuntos relacionados

Referencias

Descartes, René. Oscamp, Paul J. (transporte). Discurso en método, la óptica, la geometría, y la meteorología. 2001.

  1. ^ “geometría analítica”. Encyclopædia Britannica (Encyclopædia Britannica en línea). (2008). Recuperado en 02-08-2008. 
  2. ^ Descartes, R. La Géométrie, Livre Primeire: Cercles del DES del que del patrón de los sans y del construire del peut del qu'on de los problèmes del DES et droites de los lignes del DES (libro uno: Problemas que construcción requiere solamente círculos y líneas rectas).  (Francés)
  3. ^ David J. Griffith (1999). Introducción a Electromagnetics. Prentice Pasillo. ISBN 0-13-805326-X. 

Bibliografía

  • Margenau H, Murphy GM (1956). Las matemáticas de la física y de la química. Nueva York: D. van Nostrand, P. 177. LCCN 55-10911. 
  • Korn GA, Korn TM (1961). Manual matemático para los científicos y los ingenieros. Nueva York: McGraw-Colina, pp. 55–79. LCCN 59-14456, ASIN B0000CKZX7. 
  • Sauer R, Szabó I (1967). DES Ingenieurs de Mathematische Hilfsmittel. Nueva York: Springer Verlag, P. 94. LCCN 67-25285. 
  • Luna P, Spencer DE (1988). “Coordenadas rectangulares (x, y, z)”, Manual de la teoría del campo, incluyendo sistemas coordinados, ecuaciones diferenciales, y sus soluciones, 2do ed corregido., 3ro impresión ed., Nueva York: Springer-Verlag, pp. 9-11 (tabla 1.01). ISBN 978-0387184302. 

Acoplamientos externos

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