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Problema de valor de límite

En matemáticas, en el campo de ecuaciones diferenciales, a problema de valor de límite es a ecuación diferencial junto con un sistema de alojamientos adicionales, llamado condiciones de límite. Una solución a un problema de valor de límite es una solución a la ecuación diferencial que también satisface las condiciones de límite.

Los problemas de valor de límite se presentan en varios ramas de la física pues cualquier ecuación diferencial física los tendrá. Participación de los problemas ecuación de onda, por ejemplo la determinación de modos normales, se indican a menudo como problemas de valor de límite. Una clase grande de los problemas de valor de límite importantes es Problemas de Sturm-Liouville. El análisis de estos problemas implica funciones propias de a operador diferenciado.

Ser útil en usos, un problema de valor de límite debe ser pozo presentado. Esto significa que dado la entrada al problema existe una solución única, que depende continuamente de la entrada. Trabajo mucho teórico en el campo de ecuaciones diferenciales parciales se dedica a probar que los problemas de valor de límite que se presentan de usos científicos y que dirigen de hecho bien-están presentados.

Entre los problemas de valor de límite más tempranos que se estudiarán es Problema de Dirichlet, de encontrar funciones armónicas (soluciones a Ecuación de Laplace); la solución fue dada por Principio de Dirichlet.

Problema del valor inicial

Artículo principal: Problema del valor inicial

Una manera más matemática de representar la diferencia entre un problema del valor inicial y un problema de valor de límite es que un problema del valor inicial tiene todas las condiciones especificadas en el mismo valor de la variable de la independiente en la ecuación (y que el valor está en el límite más bajo del dominio, así el valor de la “inicial” del término). Por otra parte, un problema de valor de límite tiene condiciones especificadas en los extremos de la variable de la independiente. Por ejemplo, si la variable independiente es tiempo sobre el dominio [0.1], un problema del valor inicial especificaría un valor de y(t) y y'(t) en el tiempo t = 0, mientras que un problema de valor de límite especificaría los valores para y(t) en ambos t = 0 y t = 1.

Si el problema es dependiente en espacio y tiempo, después en vez de especificar el valor del problema en un punto dado para todos tiempo los datos se podrían dar en un momento dado para todo el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una barra del hierro con un extremo guardó en cero absoluto y el otro extremo en el punto de congelación del agua sería un problema de valor de límite. Mientras que en el medio de una charca inmóvil si alguien golpea ligeramente el agua con una fuerza sabida que crearía una ondulación y nos daría una condición inicial.

Tipos de problemas de valor de límite

Si el límite da un valor a derivado normal del problema entonces es a Condición de límite de Neumann. Por ejemplo, si hay un calentador en un extremo de una barra del hierro, después energía sería agregado en una tarifa constante pero la temperatura real no sería sabida.

Si el límite da un valor al problema entonces es a Condición de límite de Dirichlet. Por ejemplo, si un extremo de una barra del hierro se lleva a cabo en cero absoluto, después el valor del problema sea sabido en ese punto en espacio.

Si el límite tiene la forma de una curva o de una superficie que dé un valor al derivado normal y al problema sí mismo entonces él es a Condición de límite de Cauchy.

Aparte de la condición de límite, los problemas de valor de límite también se clasifican según el tipo de operador diferenciado implicado. Para operador elíptico, uno discute problemas de valor de límite elípticos. Para operador hiperbólico, uno discute problemas de valor de límite hiperbólicos. Estas categorías se subdividen más a fondo en tipos no lineales lineares y varios.

Ejemplo

Para más detalles en los problemas de Sturm-Liouville, para las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, vea Ejemplos de los problemas de valor de límite.

Considere la ecuación diferencial ordinaria

ser solucionado para la función desconocida y(x). Imponga las condiciones de límite

Sin las condiciones de límite, la solución general a esta ecuación está

De la condición de límite y(0) = 0 uno obtiene

cuál implica eso B = 0. De la condición de límite y(π/2) = 2 uno encuentra

y tan A = 2. Uno ve que las condiciones de límite imponentes permitieron que uno determinara una solución única, que en este caso está

Vea también

Referencias

• A. D. Polyanin y V. F. Zaitsev, Manual de las soluciones exactas para las ecuaciones diferenciales ordinarias (2da edición), Chapman y prensa de Hall/CRC, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
• A. D. Polyanin, Manual de las ecuaciones diferenciales parciales lineares para los ingenieros y los científicos, Chapman y prensa de Hall/CRC, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.

Acoplamientos externos

• Ecuaciones diferenciales parciales lineares: Soluciones y problemas de valor de límite exactos en EqWorld: El mundo de ecuaciones matemáticas.
• Problema de valor de límite en Scholarpedia.