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Teoría de la aproximación

En matemáticas, teoría de la aproximación se trata a cómo funciones la poder esté lo más mejor posible aproximado con más simple funciones, y con cuantitativo el caracterizar errores introducido de tal modo. Observe que qué se significa cerca lo más mejor posible y más simple dependerá del uso.

Un asunto de cerca relacionado es la aproximación de funciones cerca serie de Fourier Generalizada, es decir, aproximaciones basadas sobre la adición de una serie de términos basados sobre polinomios orthogonal.

Un problema del interés particular es el de aproximar una función en a computadora biblioteca matemática, usando las operaciones que se pueden realizar en la computadora o la calculadora (e.g. adición y multiplicación), tales que el resultado está como cerca de la función real como sea posible. Esto se hace típicamente con polinómico o racional (cociente de polinomios) aproximaciones.

El objetivo es hacer la aproximación tan cerca como sea posible a la función real, típicamente con una exactitud cerca de el de la computadora subyacente coma flotante aritmética. Esto es lograda usando un polinomio del alto grado, y/o enangostando el excedente del dominio que el polinomio tiene que aproximar la función. Enangostar el dominio se puede hacer a menudo aunque el uso de la varios adición o fórmulas del escalamiento para la función que es aproximada. Las bibliotecas matemáticas modernas reducen el dominio en muchos segmentos minúsculos y utilizan a menudo un polinomio del bajo-grado para cada segmento.

Una vez el dominio y el grado del polinomio se eligen, el polinomio sí mismo se elige a fin de reducir al mínimo el error a lo peor. Es decir, la meta es reducir al mínimo el valor máximo de , donde está P (x) el polinomio que aproxima y f (x) es la función real. Para las funciones bien-comportadas, el grado óptimo N^th el polinomio del grado conducirá a una curva del error que oscile hacia adelante y hacia atrás en medio + ε y ε del − un total de las épocas N+2, dando un error a lo peor de ε. (Es posible hacer funciones ideadas que f (x) para el cual esta característica no sostiene, pero en la práctica él es generalmente verdad.) los gráficos del ejemplo, para N=4, demostrando el error en el registro que aproxima (x) y el exp (x), se demuestran abajo.

Observe que, en cada caso, el número de máximos es N+2, es decir, 6. Dos de los máximos están en los límites. Las curvas del rojo, para el polinomio óptimo, son nivel, es decir, oscilan en medio + ε y ε del − exactamente.

Si una N^th el polinomio del grado conduce a una función de error en la cual oscile entre los máximos + ε y ε del − Las épocas N+2, ese polinomio es óptimo. (prueba)

Aproximación de Chebyshev

Uno puede obtener polinomios muy cerca el óptimo ampliando la función dada en términos de Polinomios de Chebyshev y entonces cortando la extensión en el grado deseado. Esto es similar a Análisis de Fourier de la función, usando los polinomios de Chebyshev en vez de las funciones trigonométricas generalmente.

Si uno calcula los coeficientes en la extensión de Chebyshev para una función:

y entonces cortan la serie después de T_n el término, uno consigue una N^th grado f que aproxima polinómica (x).

La razón que este polinomio es casi óptimo es que, para las funciones con series de energía rápidamente de convergencia, si la serie se corta después de un cierto término, el error total que se presenta del atajo está cerca del primer término después del atajo. Es decir, el primer término después del atajo domina todos los términos más últimos. Igual es verdad si la extensión está en términos de polinomios de Chebyshev. Si una extensión de Chebyshev se corta después T_n, el error tomará una forma cerca de un múltiplo de T_{n + 1}. Los polinomios de Chebyshev tienen la característica que son - oscilan entre +1 y -1 en el intervalo [- 1 llano, 1]. T_{n + 1} tiene máximos del nivel N+2. Esto significa que el error entre f (x) y su extensión de Chebyshev hacia fuera a T_n está cerca de una función del nivel con los máximos N+2, así que está cerca de la N óptima^th polinomio del grado.

En los gráficos arriba, observe que la función de error azul es a veces mejor que (adentro de) la función roja, pero a veces peor, significando que no es absolutamente el polinomio óptimo. Observe también que la discrepancia es relativamente menos seria para la función del exp, que tiene una serie de energía extremadamente rápidamente de convergencia, que para la función del registro.

La aproximación de Chebyshev es la base para Cuadratura de Clenshaw-Curtis, a integración numérica técnica.

Algoritmo de Remez

Algoritmo de Remez (Remes a veces deletreado) se utiliza producir un polinomio óptimo P (x) que aproxima un excedente dado de la función f (x) un intervalo dado. Es un algoritmo iterativo que converge a un polinomio que tenga una función de error con extrema del nivel N+2. Por el teorema arriba, ese polinomio es óptimo.

El algoritmo de Remez utiliza el hecho de que uno puede construir una N^th polinomio del grado que eso conduce al nivel y a los valores del error que se alternan, dados puntos de prueba N+2.

Puntos de prueba dados N+2 x₁, x₂ ... x_{n + 2} (donde x₁ y x_{n + 2} están probablemente los límites del intervalo de la aproximación), estas ecuaciones necesitan ser solucionados:

El suplente de los derecho-mano-lados en muestra.

Es decir,

Desde entonces x₁ ... x_{n + 2} fueron dados, todas sus energías se saben, y f(x₁) ... f(x_{n + 2}) también se saben. Eso significa que las ecuaciones antedichas son las ecuaciones lineares justas n+2 en las variables n+2 P₀, P₁ ... P_n, y ε. Dado los puntos de prueba x₁ ... x_{n + 2}, uno puede solucionar este sistema para conseguir el P polinómico y el número ε.

El gráfico abajo demuestra un ejemplo de esto, produciendo 4^th el aproximar del polinomio del grado e^x encima [- 1, 1]. Los puntos de prueba fueron fijados en -1, -0.7, -0.1, +0.4, +0.9, y 1. Esos valores se demuestran en verde. El valor resultante de ε es 4.43 x 10^-4

Observe que el gráfico del error adquiere de hecho los valores en los 6 puntos de prueba, incluyendo los límites, sino ése esos puntos no son extrema. Si los 4 puntos de prueba interiores hubieran sido extrema (es decir, la función P (x) - f (x) tenía máximos o mínimos allí), el polinomio serían óptimos.

El segundo paso del algoritmo de Remez consiste en el mover de los puntos de prueba a las localizaciones aproximadas en donde la función de error tenía sus mínimos o máximos locales reales. Por ejemplo, uno puede decir de mirar el gráfico que el punto en -0.1 debe haber sido aproximadamente -0.28. La manera de hacer esto en el algoritmo es utilizar un solo redondo de Método del neutonio. Puesto que uno sabe los primeros y segundos derivados de P (x) - f (x), uno puede calcular aproximadamente hasta dónde un punto de prueba tiene que ser movido de modo que el derivado sea cero.

Calcular los derivados de un polinomio es directo. Uno debe también poder calcular los primeros y segundos derivados de f (x). El algoritmo de Remez requiere una capacidad de calcular , , y a la precisión extremadamente alta. El algoritmo entero se debe realizar a una precisión más alta que la precisión deseada del resultado.

Después de mover los puntos de prueba, la pieza linear de la ecuación se repite, consiguiendo un nuevo polinomio, y el método del neutonio se utiliza otra vez para mover los puntos de prueba otra vez. Se continúa esta secuencia hasta que el resultado converge a la exactitud deseada. El algoritmo converge muy rápidamente. La convergencia es cuadrática para bien-comportado función-si los puntos de prueba están dentro 10 ^{− 15} del resultado correcto, estarán aproximadamente dentro 10 ^{− 30} del resultado correcto después del redondo siguiente.

El algoritmo de Remez es comenzado típicamente eligiendo los máximos del polinomio de Chebyshev T_n como los puntos iniciales, puesto que la función de error final será similar a ésa polinómica.

Diarios principales

• Diario de la teoría de la aproximación
• Aproximación constructiva
• Diario del este en aproximaciones

Vea también

• Polinomios de Chebyshev
• Serie de Fourier Generalizada
• Polinomios Orthogonal
• Base Orthonormal
• Serie de Fourier
• Base de Schauder

Acoplamientos

• Historia de la teoría de la aproximación (SOMBRERO)

Referencias

• N.I.Achiezer (Akhiezer), teoría de la aproximación, tradujo por Charles J. Hyman Frederick Ungar que publica Co., Nueva York 1956 x+307 pp.

• A.F.Timan, Teoría de la aproximación de funciones de una variable verdadera, 1963 ISBN 048667830X

• C. Hastings, Jr. Aproximaciones para las calculadoras numéricas, Prensa de la universidad de Princeton, 1955.

• J. F. Ciervo, E. W. Cheney, C. L. Lawson, H. J. Maehly, C. K. Mesztenyi, J. R. Arroz, H. C. Jr. de Thacher, C. Witzgall Aproximaciones de la computadora, Wiley, 1968, Lib. Cong. 67-23326.

• L. Zorro e I.B. Parker. “Polinomios de Chebyshev en análisis numérico.” Prensa Londres, 1968 de la universidad de Oxford.

• W. J. Jr. de Cody, W. Waite Manual del software para las funciones elementales, Prentice-Pasillo, el an o 80, ISBN 0-13-822064-6.

• E. Remes [Remez] D'approximation de Tschebyscheff de los polynomes del DES del effectif de Sur le calcul C. 1934. R. Acad. Sci., París, 199, 337-340,

• K. - G. Steffens La historia de la teoría de la aproximación: De Euler a Bernstein Birkhauser, Boston 2006 ISBN 0817643532