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Ángulo

Este artículo está sobre ángulos en geometría. Para otras aplicaciones, vea Ángulo (desambiguación).

En geometría y trigonometría, ángulo (por completo, ángulo plano) es la figura formada por dos rayos compartir un campo común punto final, llamado cima del ángulo (Sidorov 2001). La magnitud del ángulo es la “cantidad de rotación” que separe los dos rayos, y puede ser medida considerando la longitud del arco circular barrida hacia fuera cuando un rayo se rota sobre la cima para coincidir con el otro (véase que el “medir pesca con caña”, abajo). Donde no hay posibilidad de confusión, el término “ángulo” se utiliza alternativamente para la configuración geométrica sí mismo y para su magnitud angular (que sea simplemente una cantidad numérica).

La palabra ángulo viene de Latino palabra angulus, significando “una esquina”. La palabra angulus es un diminutivo, de el cual la forma primitiva, angus, no ocurre en latín. Cognado las palabras son el latín angere, significando “comprimir en una curva” o “estrangular”, Griego ἀγκύλος (ankylοs), el significar “torcido, curvado,” y Inglés palabra “tobillo. “Los tres están conectados con Proto-Indo-Europeo raíz *ank-, significando “doblarse” o “arquearon” (Slocum 2007).

Contenido

Historia

Euclid define un ángulo plano como la inclinación el uno al otro, en un plano, de dos líneas que se satisfagan, y no miente derecho con respecto a uno a. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado cerca Eudemus, que miró un ángulo como desviación de a línea recta; el segundo cerca Carpo de Antioch, que lo miró como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclid adoptó el tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos derechos, agudos, y obtusos son ciertamente cuantitativas.

Ángulos que miden

Para medir un ángulo θ, a arco circular centrado en la cima del ángulo se dibuja, e.g. con un par de compases. La longitud del arco s entonces es dividido por el radio del círculo r, y multiplicado posiblemente por una constante del escalamiento k (que depende de las unidades de medida se eligen que):

El valor de θ así se define la independiente del tamaño del círculo: si la longitud del radio entonces se cambia la longitud del arco cambia en la misma proporción, tan el cociente s/r es inalterado.

En muchas situaciones geométricas, los ángulos que diferencian por un múltiplo exacto de un círculo completo son con eficacia equivalente (no diferencia ningún cuántas veces una línea se rota a través de un círculo completo porque termina siempre para arriba en el mismo lugar). Sin embargo, éste no es siempre el caso. Por ejemplo, al remontar una curva tal como a espiral el usar coordenadas polares, una vuelta completa adicional da lugar a un punto absolutamente diverso en la curva.

Unidades

Los ángulos se consideran sin dimensiones, puesto que se definen como el cociente de longitudes. Hay, sin embargo, varias unidades usadas para medir ángulos, dependiendo de la opción de la constante k en el fórmula arriba. De estas unidades, tratado más detalladamente abajo, grado y radián están en gran medida el mas comunes.

Con la excepción notable del radián, la mayoría de las unidades de la medida angular se definen tales que un círculo completo (es decir. una revolución) es igual a n unidades, para un cierto número entero n. Por ejemplo, en el caso de grados, n = 360. Un círculo completo de n las unidades son obtenidas fijando k = n/(2π) en el fórmula arriba. (Prueba. El fórmula arriba se puede reescribir como k = θr/s. Un círculo completo, para el cual θ = n las unidades, corresponden a un arco igual en longitud al círculo circunferencia, que es 2πr, tan s = 2πr. El substituir n para el θ y 2πr para s al fórmula, da lugar adentro k = nr/(2πr) = n/(2π).)

  • grado, denotado por un círculo pequeño del exponente (°) es 1/360 de un círculo completo, así que un círculo completo es 360°. Una ventaja de esto viejo sexagesimal la subunidad es que muchos ángulos comunes en geometría simple son en su totalidad número medido de grados. (La meta del tener todos “interesar” los ángulos medidos como números enteros es por supuesto.) fracciones inalcanzables de un grado se puede escribir en la notación decimal normal (e.g. 3.5° para tres y los grados de una mitad), pero las subunidades sexagesimal siguientes del “grado-minuto-segundo” sistema son también funcionando, especialmente para coordenadas geográficos y adentro astronomía y balística:
    • minuto del arco (o MOA, arcminute, o apenas minuto) es 1/60 de un grado. Es denotado por una sola prima (′). Por ejemplo, el ′ 3° 30 es igual 3 + 30/60 grado, o 3.5 grados. Un formato mezclado con las fracciones decimales también se utiliza a veces, e.g. ′ 3° 5.72 = 3 + 5.72/60 grados. A milla náutica fue definido históricamente como minuto del arco a lo largo de a gran círculo de la tierra.
    • en segundo lugar del arco (o arcsecond, o apenas en segundo lugar) es 1/60 de un minuto del arco y 1/3600 de un grado. Es denotado por una prima doble (″). Por ejemplo, 3° 7 el ″ del ′ 30 es igual 3 + 7/60 + 30/3600 grado, o 3.125 grados.
  • radián es el ángulo subtended por un arco de un círculo que tenga la misma longitud que el radio del círculo (k = 1 en el fórmula dado anterior). Un círculo completo es 2π los radianes, y un radián es 180/π grados, o cerca de 57.2958 grados. Se abrevia el radián rad, aunque este símbolo se omite a menudo en los textos matemáticos, donde los radianes se asumen salvo especificación de lo contrario. El radián se utiliza en virtualmente todo el trabajo matemático más allá de la geometría práctica simple, debida, por ejemplo, a satisfacer y a las características “naturales” que funciones trigonométricas exhibición cuando sus discusiones están en radianes. El radián es la unidad (derivada) de la medida angular en SI sistema.
  • círculo completo (o revolución, rotación, por completo vuelta o ciclo) es una revolución completa. Se abrevian la revolución y la rotación revolución y putrefacción, respectivamente, pero apenas r en RPM (revoluciones por minuto). 1 círculo = 360° llenos = 2π rad = gon 400 = 4 angulos rectos.
  • ángulo del triángulo equilátero es 1/6 de un círculo completo. Era la unidad usada por Babilónico, y es especialmente fácil de construir con la regla y los compases. El grado, minuto del arco y del arco está en segundo lugar sexagesimal subunidades de la unidad babilónica. 1 unidad = 60° babilónicos = π≈ de /3 rad 1.047197551 rad.
  • grad, también llamado grado, gradian, o gon es 1/400 de un círculo completo, así que un círculo completo es 400 grads y a angulo recto son 100 grads. Es una subunidad decimal del angulo recto. A kilómetro fue definido históricamente como a centi- el gon del arco a lo largo de un gran círculo de la tierra, así que el kilómetro es el análogo decimal a la milla náutica sexagesimal. El gon se utiliza sobre todo adentro triangulación.
  • El astronómico ángulo de la hora es 1/24 de un círculo completo. Las subunidades sexagesimal fueron llamadas minuto de tiempo y en segundo lugar del tiempo (aun cuando son unidades del ángulo). 1 hora = 15° = π/12 rad = 1/6 gon del ≈ 16.667 del angulo recto.
  • grado binario, también conocido como radián binario (o alfilerillo), es 1/256 de un círculo completo. El grado binario se utiliza en computar para poder representar eficientemente un ángulo en un solo octeto.
  • grado de una cuesta, o gradiente, no está verdad una medida del ángulo (a menos que se da explícitamente grados, al igual que de vez en cuando el caso). En lugar es igual a tangente del ángulo, o a veces seno. Los gradientes se expresan a menudo como porcentaje. Para los valores pequeños generalmente encontrados (menos el de 5%), el grado de una cuesta es aproximadamente la medida de un ángulo en radianes.

Ángulos positivos y negativos

Una convención adoptada universal en la escritura matemática es que son los ángulos dados una muestra ángulos positivos si está medido a la izquierda, y ángulos negativos si está medido a la derecha, de una línea dada. Si no se especifica ninguna línea, puede ser asumido para ser x-axis en Plano cartesiano. En muchas situaciones geométricas un ángulo negativo del −θ está con eficacia el equivalente a un ángulo positivo de “una rotación completa menos θ". Por ejemplo, una rotación a la derecha de 45° (es decir, un ángulo de −45°) es a menudo con eficacia equivalente a una rotación a la izquierda 360° del − 45° (es decir, un ángulo de 315°).

En geometría tridimensional, “a la derecha” y “a la izquierda” no tenga ningún significado absoluto, así que la dirección de ángulos positivos y negativos se debe definir concerniente a una cierta referencia, que es típicamente a vector el pasar con la cima del ángulo y perpendicular al plano en el cual los rayos de la mentira del ángulo.

En navegación, cojinetes se miden de del norte, aumentando a la derecha, así que un cojinete de 45 grados es de nordeste. Los cojinetes negativos no se utilizan en la navegación, así que el noroeste es 315 grados.

Aproximaciones

  • 1° es aproximadamente la anchura de un pequeño dedo en la longitud del brazo
  • 10° es aproximadamente la anchura de un puño cerrado en la longitud del brazo.
  • 20° es aproximadamente la anchura de un handspan en la longitud del brazo.

Identificar ángulos

En expresiones matemáticas, es común al uso Letras griegas (α, β, γ, θ, φ,…) para servir como variables el estar parado para el tamaño de un cierto ángulo. (Para evitar la confusión con su otro significado, el símbolo π no se utiliza para las letras romanas minúsculas de este propósito.) (a, b, c,…) también se utilizan. Vea las figuras en este artículo para los ejemplos.

En figuras geométricas, los ángulos se pueden también identificar por las etiquetas unidas a los tres puntos que los definen. Por ejemplo, el ángulo en la cima A incluida por los rayos AB y CA (es decir. las líneas del punto A al punto B y señalan A al punto C) son ∠BAC denotado o BÂC. A veces, donde no hay riesgo de la confusión, el ángulo se puede referir simplemente por su cima (“pesque A con caña”).

Potencialmente, un ángulo denotó, por ejemplo, el ∠BAC pudo referir a cualesquiera de cuatro ángulos: el ángulo a la derecha de B de C, el ángulo contrario al reloj de B de C, el ángulo a la derecha de C de B, o el ángulo contrario al reloj de C de B, donde la dirección en la cual se mide el ángulo determina su muestra (véase Ángulos positivos y negativos). Sin embargo, en muchas situaciones geométricas es obvio de contexto que el ángulo inferior o igual los grados positivos 180° está significado, y ninguna ambigüedad se presenta. Si no, una convención puede ser adoptada de modo que el ∠BAC refiera siempre al ángulo (positivo) contrario al reloj de B de C, y ∠CAB al ángulo (positivo) contrario al reloj de C del B.

Tipos de ángulos

  • Un ángulo de 90° (πlos radianes de /2, o un cuarto del círculo completo) se llama a angulo recto.
    Dos líneas que forman un angulo recto serían perpendicular o orthogonal.
  • Los ángulos más pequeños que un angulo recto (menos que 90°) se llaman ángulos agudos (significado “agudo” “sostenido”).
  • Los ángulos más grandes que un angulo recto y más pequeño de dos angulos rectos (entre 90° y 180°) se llaman ángulos obtusos (el significado “obtuso” “blunt”).
  • Los ángulos iguales a dos angulos rectos (180°) se llaman ángulos rectos.
  • Se llaman los ángulos más en gran parte de dos angulos rectos pero menos que un círculo completo (entre 180° y 360°) ángulos reflejos.
  • Los ángulos que tienen la misma medida serían congruente.
  • Dos ángulos enfrente de uno a, formado por dos líneas rectas que se intersecan que formen un “X” como forma, se llaman ángulos verticales o ángulos opuestos. Estos ángulos son congruentes.
  • Se llaman los ángulos que comparten una cima y un borde comunes pero no comparten ninguna puntos interior ángulos adyacentes.
  • Se llaman dos ángulos que suman a un angulo recto (90°) ángulos complementarios.
    La diferencia entre un ángulo y un angulo recto se llama complemento del ángulo.
  • Se llaman dos ángulos que suman a un ángulo recto (180°) ángulos suplementarios.
    La diferencia entre un ángulo y un ángulo recto se llama suplemento del ángulo.
  • Se llaman dos ángulos que suman a un círculo completo (360°) ángulos explementary o ángulos conyugal.
  • Un ángulo que es parte de a polígono simple se llama ángulo interior si miente en el interior de eso el polígono simple. Observe que en un polígono simple que sea cóncavo, por lo menos un ángulo interior excede 180°.
    En Geometría euclidiana, las medidas de los ángulos interiores de a triángulo agregue hasta π radianes, o 180°; las medidas de los ángulos interiores de un simple cuadrilátero agregue hasta 2π radianes, o 360°. Generalmente las medidas de los ángulos interiores de a polígono simple con n los lados agregan hasta [(n − 2) × π] radianes, o [(n ° del × 180 del − 2)].
  • El ángulo suplementario del ángulo interior se llama ángulo exterior. Mide la cantidad de la “vuelta” una tiene que hacer en esta cima para remontar hacia fuera el polígono. Si el ángulo interior correspondiente excede 180°, el ángulo exterior debe ser considerado negativo. Incluso en un polígono no-simple puede ser posible definir el ángulo exterior, pero uno tendrá que escoger orientación de plano (o superficie) para decidir la muestra de la medida exterior del ángulo.
    En geometría euclidiana, la suma de los ángulos exteriores de un polígono simple será 360°, una vuelta completa.
  • Algunos autores utilizan el nombre ángulo exterior de un polígono simple para significar simplemente el explementary (no suplementario!) del ángulo interior [1]. Esto está en conflicto con el uso antedicho.
  • El ángulo entre dos planos (por ejemplo dos caras adyacentes de a poliedro) se llama a ángulo dihedral. Puede ser definido como el ángulo agudo entre dos líneas normal a los planos.
  • El ángulo entre un plano y una línea recta que se interseca es igual a noventa grados menos el ángulo entre la línea que se interseca y la línea que pasa a través del punto de la intersección y es normal al plano.
  • Si un recto línea transversal interseca dos paralelo las líneas, los ángulos (alternos) correspondientes en los dos puntos de la intersección son congruentes; ángulos adyacentes sea suplementario (es decir, sus medidas agregan a π radianes, o 180°).

Una definición formal

Usar funciones trigonométricas

Un ángulo euclidiano es determinado totalmente por el triángulo derecho correspondiente. Particularmente, si θ es un ángulo euclidiano, él es verdad que

y

para dos números x y y. Un ángulo en el plano euclidiano se puede dar tan legítimo por dos números x y y.

Al cociente corresponden dos ángulos en la gama geométrica 0 < θ < 2π, desde entonces

Usar rotaciones

Suponga que tenemos vectores de dos unidades y en el plano euclidiano . Entonces existe un positivo isometry (una rotación), y uno solamente, de a eso traz u sobre v. Dejado r sea tal rotación. Entonces la relación definido cerca es una relación de equivalencia y llamamos ángulo de la rotación r clase de equivalencia , donde denota el círculo de la unidad de . El ángulo entre dos vectores será simplemente el ángulo de la rotación esa los mapas uno sobre el otro. No tenemos ninguna manera numérica de determinar un ángulo todavía. Para hacer esto, elegimos el vector (1,0), entonces para cualquier punto M encendido en la distancia θ de (1,0) (en el círculo), deje . Si llamamos rθ la rotación que transforma (1,0) en , entonces es un bijection, que los medios nosotros pueden identificar cualquier ángulo con un número entre 0 y 2π.

Ángulos entre las curvas

El ángulo entre una línea y una a curva (ángulo mezclado) o entre dos curvas que se intersecan (ángulo curvilíneo) se define para ser el ángulo entre tangentes actualmente la intersección. Los varios nombres (ahora raramente, si siempre, utilizado) se han dado a los casos particulares: -amphicyrtic (Gr. ἀμφί, en ambos lados, κυρτόσ, convexo) o cissoidal (Gr. κισσόσ, hiedra), biconvexa; xystroidal o sistroidal (Gr. ξυστρίσ, una herramienta para raspar), concavo-convexa; amphicoelic (Gr. κοίλη, un hueco) o lunularis del angulus, bicóncavo.

El producto de punto y la generalización

En Plano euclidiano, el θ del ángulo entre dos vectores u y v se relaciona con su producto de punto y sus longitudes por el fórmula

Esto permite que uno defina ángulos en verdadero espacio interno del producto, substituyendo el producto de punto euclidiano · por Espacio de Hilbert producto interno <·,·>.

Ángulos en la geometría de Riemannian

En Geometría de Riemannian, tensor métrico se utiliza definir el ángulo entre dos tangentes. Donde U y V son los vectores de la tangente y gij son los componentes del tensor métrico G,

Ángulos en la geografía y la astronomía

En geografía especificamos la localización de cualquier punto en la tierra usando a Sistema coordinado geográfico. Este sistema especifica latitud y longitud de cualquier localización, en términos de ángulos subtended en el centro de la tierra, el usar ecuador y (generalmente) Meridiano de Greenwich como referencias.

En astronomía, especificamos semejantemente un punto dado en esfera celestial usar cualesquiera de varios Sistemas coordinados astronómicos, donde las referencias varían según el sistema particular.

Los astrónomos pueden también medir separación angular de dos estrellas imaginando dos líneas a través del centro del Tierra, cada uno que interseca una de las estrellas. El ángulo entre esas líneas se puede medir, y es la separación angular entre las dos estrellas.

Los astrónomos también miden tamaño evidente de objetos. Por ejemplo, Luna Llena tiene una medida angular de aproximadamente 0.5°, cuando está visto de la tierra. Uno podía decir, “los subtends de la luna un ángulo de la mitad del grado.” fórmula small-angle puede ser utilizado convertir una medida tan angular en un cociente de la distancia/tamaño.

Referencias

Vea también

Acoplamientos externos

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