Αρχική › Αρχείο Πολλαπλών Γλωσσών Δείκτης › Φασματική μέθοδος

Φασματική μέθοδος

Φασματικές μέθοδοι είναι μια κατηγορία τεχνικών χρησιμοποιούμενων μέσα εφαρμοσμένα μαθηματικά και επιστημονικός υπολογισμός για να λύσει αριθμητικά ορισμένο μερικές διαφορικές εξισώσεις, περιλαμβάνοντας συχνά τη χρήση Γρήγορος μετασχηματισμός κατά Φουριέ. Ενδεχομένως, οι φασματικές μέθοδοι έχουν τις άριστες ιδιότητες λάθους, με την αποκαλούμενη «εκθετική σύγκλιση» όντας γρηγορότερες οι δυνατές.

Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις (PDEs) περιγράφουν μια ευρεία σειρά φυσικών διαδικασιών όπως η διεξαγωγή θερμότητας, η ρευστή ροή, και η υγιής διάδοση. Σε πολλές τέτοιες εξισώσεις, υπάρχουν ελλοχεύοντα «βασικά κύματα» που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δώσουν τους αποδοτικούς αλγορίθμους για τις λύσεις σε αυτό το PDEs. Σε μια χαρακτηριστική περίπτωση, οι φασματικές μέθοδοι εκμεταλλεύονται αυτό το γεγονός με το γράψιμο της λύσης ως της Σειρά Fourier, αντικαθιστώντας αυτήν την σειρά στο PDE για να πάρει ένα σύστημα Ωδές στους χρονικά εξαρτημένους συντελεστές των trigonometric όρων στη σειρά (που γράφονται με σύνθετη εκθετική μορφή), και χρησιμοποίηση μιας χρόνος-περπατώντας μεθόδου για να λύσει εκείνες τις ωδές.

Η φασματική μέθοδος και πεπερασμένη μέθοδος στοιχείων είναι στενά συνδεδεμένος και στηριγμένος στις ίδιες ιδέες η κύρια διαφορά μεταξύ τους είναι ότι η φασματική μέθοδος προσεγγίζει τη λύση όπως γραμμικός συνδυασμός από τις συνεχείς λειτουργίες που είναι γενικά διαφορετικές από το μηδέν πέρα από την περιοχή της λύσης (συνήθως sinusoids ή Chebyshev πολυώνυμα), ενώ η πεπερασμένη μέθοδος στοιχείων προσεγγίζει τη λύση ως γραμμικό συνδυασμό τμηματικά λειτουργιών που είναι διαφορετικές από το μηδέν στα μικρά subdomains. Λόγω αυτού, η φασματική μέθοδος παίρνει το α σφαιρική προσέγγιση ενώ η πεπερασμένη μέθοδος στοιχείων είναι α τοπική προσέγγιση. Αυτό είναι μέρος γιατί η φασματική εργασία μεθόδου καλύτερη όταν είναι η λύση ομαλός.

Στην πεπερασμένη κοινότητα στοιχείων, μια μέθοδος όπου ο βαθμός των στοιχείων είναι πολύ υψηλός ή αυξάνεται όπως η παράμετρος χ πλέγματος μειώνεται σε μηδέν καλείται μερικές φορές α φασματική μέθοδος στοιχείων.

Η εφαρμογή της φασματικής μεθόδου ολοκληρώνεται κανονικά καθεμίας με παράθεση ή α Galerkin προσέγγιση.

Ένα συγκεκριμένο παράδειγμα

Εδώ θεωρούμε μια βασική κατανόηση βασικού πολλών μεταβλητών υπολογισμός και Σειρά Fourier. Εάν το γ (Χ, Υ) είναι μια γνωστή, σύνθετος-εκτιμημένη λειτουργία δύο πραγματικών μεταβλητών, και το γ είναι περιοδικό στο Χ και το Υ (δηλαδή γ (Χ, Υ) =g (x+2π, Υ) =g (Χ, y+2π)) κατόπιν ενδιαφερόμαστε για την εύρεση μιας λειτουργίας φ (Χ, Υ) έτσι ώστε

όπου η έκφραση στο αριστερό δείχνει τα δεύτερα μερικά παράγωγα του φ στο Χ και το Υ, αντίστοιχα. Αυτό είναι Εξίσωση Poisson, και μπορεί να ερμηνευθεί φυσικά ως κάποιο είδος του προβλήματος διεξαγωγής θερμότητας.

Εάν γράφουμε το φ και το γ στη σειρά Fourier:

και υποκατάστατο στη διαφορική εξίσωση, λαμβάνουμε αυτήν την εξίσωση:

Έχουμε ανταλλάξει τη μερική διαφοροποίηση με ένα άπειρο ποσό, το οποίο είναι νόμιμο εάν υποθέτουμε για παράδειγμα αυτό φ έχει ένα συνεχές δεύτερο παράγωγο. Από το θεώρημα μοναδικότητας για τις επεκτάσεις Fourier, πρέπει έπειτα να εξισώσουμε τον όρο συντελεστών Fourier από τον όρο, δόσιμο

(*)

όποιος είναι ένας ρητός τύπος για τους συντελεστές Fourier α_j,Κ.

Για να μετατρέψουν αυτό σε αλγόριθμο, μόνο finitely πολλές συχνότητες είναι λυμένος ξέν. Αυτό εισάγει ένα λάθος που μπορεί να αποδειχθεί για να είναι ανάλογο προς χ^ν, όπου χ = 1 / ν και ν είναι η υψηλότερη συχνότητα που αντιμετωπίζεται.

Αλγόριθμος

1. Υπολογίστε το μετασχηματισμό κατά Φουριέ (β_{j, Κ}) γ.
2. Υπολογίστε το μετασχηματισμό κατά Φουριέ (α_{j, Κ}) φ μέσω του τύπου (*) και του μετασχηματισμού κατά Φουριέ γ.
3. Υπολογίστε φ με τη λήψη ενός αντίστροφου μετασχηματισμού κατά Φουριέ (α_{j, Κ}).

Δεδομένου ότι ενδιαφερόμαστε μόνο για ένα πεπερασμένο παράθυρο των συχνοτήτων (του μεγέθους ν, για παράδειγμα ότι) αυτό μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας το α Γρήγορος μετασχηματισμός κατά Φουριέ αλγόριθμος. Επομένως, συνολικά ο αλγόριθμος τρέχει εγκαίρως Ο(ν κούτσουρο ν).

Μια σχέση με τη φασματική μέθοδο στοιχείων

Κάποιος μπορεί να δείξει ότι εάν γ είναι απείρως differentiable, κατόπιν ο αριθμητικός αλγόριθμος που χρησιμοποιεί τις γρήγορες μετατροπές Fourier θα συγκλίνει γρηγορότερα από καθόλου πολυωνυμικός στο μέγεθος χ. πλέγματος. Δηλαδή για οποιοδήποτε ν> 0, υπάρχει α έτσι ώστε το λάθος είναι λιγότερο από Γχ^ν για όλες τις αρκετά μικρές τιμές χ. Λέμε ότι η φασματική μέθοδος είναι διαταγής ν, για κάθε ν> 0.

Επειδή α φασματική μέθοδος στοιχείων είναι α πεπερασμένη μέθοδος στοιχείων από την πολύ υψηλή διαταγή, υπάρχει μια ομοιότητα στις ιδιότητες σύγκλισης. Εντούτοις, ενώ η φασματική μέθοδος είναι βασισμένη στο eigendecomposition του ιδιαίτερου προβλήματος αξίας ορίου, η φασματική μέθοδος στοιχείων δεν χρησιμοποιεί εκείνες τις πληροφορίες και λειτουργεί για αυθαίρετο ελλειπτικά προβλήματα αξίας ορίου.

Δείτε επίσης

• Ιδιαίτερη μέθοδος στοιχείων
• Πεπερασμένη μέθοδος στοιχείων
• Πεπερασμένη μέθοδος όγκου
• Γκαουσσιανό πλέγμα
• Ψευδο-φασματική μέθοδος
• Φασματική μέθοδος στοιχείων
• Galerkin μέθοδος
• Μέθοδος παράθεσης

Αναφορές

• Chebyshev και Fourier φασματικές μέθοδοι από John P. Boyd.
• Javier de Frutos, Julia Novo: Μια φασματική μέθοδος στοιχείων για το Navier--Ανατροφοδοτεί τις εξισώσεις με τη βελτιωμένη ακρίβεια
• Canuto Γ., Hussaini Μ. Υ., Quarteroni Α., και Zang TA. (2006) Φασματικές μέθοδοι. Βασικές αρχές στις ενιαίες περιοχές. Άλτης-Verlag, Βερολίνο Χαϋδελβέργη