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Spektrale Methode

Spektrale Methoden sind eine Kategorie Techniken, die innen verwendet werden angewandte Mathematik und wissenschaftliches Rechnen sicheres numerisch lösen teilweise Differentialgleichungen, den Gebrauch häufig mit einbeziehend Schnelle Fourier-Transformation. Wo anwendbar, haben spektrale Methoden ausgezeichnete Störung Eigenschaften, wenn die sogenannte „exponentiale Konvergenz“ das schnellste mögliche ist.

Teilweise Differentialgleichungen (PDEs) beschreiben eine breite Reihe körperliche Prozesse wie Hitzeübertragung, flüssigen Fluß und Tonausbreitung. In vielen solchen Gleichungen gibt es zugrundeliegende „grundlegende Wellen“, die benutzt werden können geben leistungsfähigen Algorithmen für rechnende Lösungen zu diesen PDEs. In einem typischen Fall nutzen spektrale Methoden diese Tatsache, indem sie die Lösung als seine schreiben Fourier-Reihe, diese Reihe in das PDE ersetzend, um ein System von zu erhalten Oden in den zeitabhängigen Koeffizienten der trigonometrischen Bezeichnungen in der Reihe (geschrieben in komplizierte exponentiale Form) und im Verwenden einer Zeit-Treten Methode, jene Oden zu lösen.

Die spektrale Methode und Finite-Element-Methode werden nah auf den gleichen Ideen bezogen und errichtet; der Hauptunterschied zwischen ihnen ist, daß die spektrale Methode die Lösung wie approximiert lineare Kombination von den Dauerfunktionen, die im Allgemeinen über dem Gebiet der Lösung ungleich Null sind (normalerweise sinusoids oder Chebyshev Polynome), während die Finite-Element-Methode die Lösung da eine lineare Kombination stückweise der Funktionen approximiert, die auf kleinen subdomains ungleich Null sind. Wegen dieses nimmt die spektrale Methode auf a globale Annäherung während die Finite-Element-Methode a ist lokale Annäherung. Dieses ist ein Teil von warum die spektrale Methode Arbeit gut, wenn die Lösung ist glatt.

In der begrenzten Elementgemeinschaft, in einer Methode, in der der Grad der Elemente sehr hoch ist oder in den Zunahmen, wie die Abnahmen des Rasterfeldparameters h bis null manchmal a genannt wird spektrale Elementmethode.

Der Implementierung der spektralen Methode wird normalerweise irgendein mit vollendet Zusammenstellung oder a Galerkin Annäherung.

Ein konkretes Beispiel

Hier setzen wir ein grundlegendes Verständnis von grundlegendem multivariatem voraus Kalkül und Fourier-Reihe. Wenn g (x, y) gewußt ist, ist kompliziert-bewertete Funktion von zwei realen Variablen und g in x und in y periodisch (das heißt, g (x, y) =g (x+2π, y) =g (x, y+2π)) dann sind wir interessiert, an, eine Funktion f (x, y) zu finden damit

wo der Ausdruck auf dem links die zweiten teilweisen Ableitungen von f in x und in y bezeichnet, beziehungsweise. Dieses ist Poisson Gleichungund kann als irgendeine Art des Hitzeübertragung Problems physikalisch gedeutet werden.

Wenn wir f und g in Fourier-Reihe schreiben:

und ersetzen Sie in die Differentialgleichung, wir erhalten diese Gleichung:

Wir haben teilweise Unterscheidung mit einer endlosen Summe ausgetauscht, die gesetzmaßig ist, wenn wir zum Beispiel das annehmen f hat eine ununterbrochene zweite Ableitung. Durch das Einzigartigkeittheorem für Fourier Expansionen, müssen wir die Fourier Koeffizientbezeichnung durch die Bezeichnung dann gleichstellen und geben

(*)

welches eine ausdrückliche Formel für die Fourier Koeffizienten ist a_J,k.

Um dieses zu einen Algorithmus zu machen, nur begrenzt werden viele Frequenzen für gelöst. Dieses stellt eine Störung vor, der gezeigt werden kann, um proportional zu sein zu hⁿ, wo h = 1 / n und n ist die höchste behandelte Frequenz.

Algorithmus

1. Berechnen Sie die Fourier-Transformation (b_{J, k}) von g.
2. Berechnen Sie die Fourier-Transformation (a_{J, k}) von f über die Formel (*) und die Fourier-Transformation von g.
3. Rechnen f durch das Nehmen einer umgekehrten Fourier-Transformation von (a_{J, k}).

Da wir an einem begrenzten Fenster von Frequenzen nur interessiert sind (der Größe n, kann Sagen) dieses mit a erfolgt werden Schnelle Fourier-Transformation Algorithmus. Folglich global läuft der Algorithmus in Zeit O(n Maschinenbordbuch n).

Ein Verhältnis zur spektralen Elementmethode

Ein kann das zeigen wenn g , dann ist der numerische Algorithmus unendlich differenzierbar, der schnellen Fourier verwendet, umwandelt zusammenläuft schneller als irgendwie Polynom in der Rasterfeldgröße H. Das heißt, für irgendein n> 0, gibt es a so, daß die Störung kleiner als ist Chⁿ für ganz genug kleine Werte von h. Wir sagen, daß die spektrale Methode vom Auftrag ist n, für jedes n> 0.

Weil a spektrale Elementmethode ist a Finite-Element-Methode vom sehr hohen Auftrag gibt es eine ähnlichkeit in den Konvergenzeigenschaften. Jedoch während die spektrale Methode auf dem eigendecomposition des bestimmten Grenzwertproblems basiert, verwendet die spektrale Elementmethode nicht diese Informationen und arbeitet für willkürliches elliptische Grenzwertprobleme.

Sehen Sie auch

• Getrennte Elementmethode
• Finite-Element-Methode
• Begrenzte Volumenmethode
• Gaußsches Rasterfeld
• Pseudo-spektrale Methode
• Spektrale Elementmethode
• Galerkin Methode
• Zusammenstellungmethode

Hinweise

• Chebyshev und Fourier spektrale Methoden durch John P. Boyd.
• Javier de Frutos, Julia Novo: Eine spektrale Element-Methode für das Navier--Schürt Gleichungen mit verbesserter Genauigkeit
• Canuto C., Hussaini M. Y., Quarteroni A. und Zang T.A. (2006) Spektrale Methoden. Grundlagen in den einzelnen Gebieten. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg