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Zahl

Für anderen Gebrauch sehen Sie Zahl (Disambigusierung).

A Zahl ist abstrakter Gegenstand, Zeichen von, welchen sind Symbole innen verwendet Zählen und Messen. Ein Symbol, das eine Zahl darstellt, wird a genannt Ziffer, aber im allgemeinen Verbrauch wird die Wortzahl für den abstrakten Gegenstand und das Symbol verwendet. Zusätzlich zu ihrem Gebrauch, beim dem Zählen und Messen, sind Ziffern für Aufkleber häufig benutzt (Telefonnummern), für die Einrichtung (Seriennummern) und für Codes (ISBNs). In Mathematik, ist die Definition der Zahl über den Jahren verlängert worden, um solche Zahlen wie einzuschließen null, negative Zahlen, rationale Zahlen, irrationale Zahlenund komplizierte Zahlen. Infolgedessen gibt es keine umgebende Definition der Zahl und das Konzept der Zahl ist für weitere Entwicklung geöffnet.

Bestimmte Verfahren, die eine oder mehrer Zahlen eingeben und eine Zahl ausgeben, werden numerisch genannt Betriebe. Einstoffbetriebe geben Sie ein Einfachzahl ein und geben Sie ein Einfachzahl aus. Z.B. fügt der Nachfolgerbetrieb ein einer Ganzzahl hinzu: der Nachfolger von 4 ist 5. Allgemeiner seien Sie binäre Betriebe welche Eingang zwei Zahlen und ein Einfachzahl ausgegeben. Beispiele der binären Betriebe schließen ein Hinzufügung, Abzug, Vermehrung, Abteilungund Exponentiation. Die Studie der numerischen Betriebe wird benannt Arithmetik.

Die Niederlassung von Mathematik dieses Studien Strukturen der Zahlensysteme wie Gruppen, Ringe und fängt auf wird benannt abstrakte Algebra.

Inhalt

Arten von Zahlen

Zahlen können in eingestuft werden Sätze, benannt Zahlensysteme. (Für unterschiedliche Methoden des Ausdrückens numeriert mit Symbolen, wie Römische Ziffern, sehen Sie Zahlsysteme.)

Natürliche Zahlen

Die vertrautesten Zahlen sind natürliche Zahlen oder Zahlen zählend: ein, zwei, drei,… . Einige Leute schließen auch null in den natürlichen Zahlen ein; jedoch andere nicht.

In Unterseite 10 Zahlensystem, im fast Universalgebrauch heute für arithmetische Betriebe, die Symbole für natürliche Zahlen werden mit 10 geschrieben Stellen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. In diesem niedrigen System 10 hat die am weitesten rechts stehende Stelle einer natürlichen Zahl einen Stellenwert von einem, und jede andere Stelle hat einen Stellenwert 10mal, die vom Stellenwert der Stelle rechts sein. Das Symbol für den Satz aller natürlichen Zahlen ist N, auch geschrieben .

In Mengenlehre, das zum Dienen als eine axiomatische Grundlage für moderne Mathematik fähig ist, natürliche Zahlen durch Kategorien der gleichwertigen Sätze dargestellt werden können. Zum Beispiel kann die Nr. 3 als die Kategorie aller Sätze dargestellt werden, die genau drei Elemente haben. Wechselweise innen Peano Arithmetik, wird die Nr. 3 als sss0 dargestellt, in dem s die „Nachfolger“ Funktion ist. Viele unterschiedliche Darstellungen sind möglich; alles, das erforderlich ist, 3 formal darzustellen, ist, ein bestimmtes Symbol oder ein Muster von Symbolen einzuschreiben 3mal.

Ganzzahlen

Negative Zahlen sind Zahlen, die weniger als null sind. Sie sind das Entgegengesetzte der positiven Zahlen. Z.B. wenn eine positive Zahl eine Bankeinlage anzeigt, dann eine negative Zahl zeigt eine Zurücknahme der gleichen Menge an. Negative Zahlen werden normalerweise geschrieben, indem man ein negatives Zeichen (auch genannt ein Minuszeichen) vor der Zahl schreibt, die sie das Entgegengesetzte von sind. So schriftlich das Entgegengesetzte von 7 −7. Wenn Satz von den negativen Zahlen wird mit den natürlichen Zahlen kombiniert und null, das Resultat ist der Satz von Ganzzahl Zahlen, auch benannt Ganzzahlen, Z (Deutscher Zahl, plural Zahlen), auch geschrieben .

Rationale Zahlen

A rationale Zahl ist eine Zahl, die als a ausgedrückt werden kann Bruch mit einer Ganzzahl Zähler und eine ungleich null natürliche Zahl Nenner. Der Bruch m/n oder

stellt dar m gleiche Teile, wo n gleiche Teile dieser Größe bilden vollständiges ein. Zwei unterschiedliche Brüche können der gleichen rationalen Zahl entsprechen; z.B. 1/2 und 2/4 sind, das ist gleich:

.

Wenn Absolutwert von m ist grösser als n, dann ist der Absolutwert des Bruches grösser als 1. Brüche können grösser sein als, kleiner als, oder Gleichgestelltes bis 1 und können positiv, negativ oder null auch sein. Der Satz aller rationalen Zahlen schließt die Ganzzahlen ein, da jede Ganzzahl als Bruch mit Nenner 1 geschrieben werden kann. Z.B. −7 kann −7/1 schriftlich. Das Symbol für die rationalen Zahlen ist Q (für Quotient), auch geschrieben .

Reale Zahlen

reale Zahlen schließen Sie alle messenden Zahlen ein. Reale Zahlen werden normalerweise das Verwenden geschrieben dezimal Ziffern, in denen ein Dezimalkomma auf der rechten Seite der Stelle mit Stellenwert einer gelegt wird. Jede Stelle auf der rechten Seite des Dezimalkommas hat einen Stellenwert Zehntel des Stellenwerts der Stelle nach links sein. So

stellt 1 hundert, 2 10, 3 eine, 4 tenths, 5 Hundertstel und 6 Tausendstel dar. Wenn er die Zahl sagt, ist der Dezimalstrich gelesener „Punkt“, so: „eine zwei drei zeigen vier fünf sechs“. In den US und Großbritannien und eine Anzahl von anderen Ländern, wird das Dezimalkomma durch a dargestellt Periode, während in kontinentalem Europa und in bestimmten anderen Ländern das Dezimalkomma durch a dargestellt wird Komma. Null wird häufig als 0.0 geschrieben, wenn notwendig, anzuzeigen, daß es als reale Zahl anstatt als Ganzzahl behandelt werden soll. Negative reale Zahlen werden mit einem Vorangehen geschrieben Minuszeichen:

.

Jede rationale Zahl ist auch eine reale Zahl. Um einen Bruch als Dezimalstrich zu schreiben, teilen Sie den Zähler durch den Nenner. Es ist nicht der Fall jedoch daß jede reale Zahl rational ist. Wenn eine reale Zahl nicht als Bruch von zwei Ganzzahlen geschrieben werden kann, wird sie benannt vernunftwidrig. Ein Dezimalstrich, der als Bruch geschrieben werden kann entweder beendet (beendet) oder für immer Wiederholungen, weil es die Antwort zu einem Problem in der Abteilung ist. So kann die reale Nr. 0.5 als 1/2 und die reale Nr. 0.333 geschrieben werden… (threes für immer, wiederholend) kann als 1/3 geschrieben werden. Einerseits das reale Zahl π (PU), das Verhältnis von Umkreis von irgendeinem Kreis zu seinem Durchmesser, ist

.

Da der Dezimalstrich weder noch für immer Wiederholungen beendet, kann es nicht als Bruch geschrieben werden und ist ein Beispiel einer irrationalen Zahl. Andere irrationale Zahlen schließen ein

( Quadratwurzel von 2, das heißt, die positive Zahl deren Quadrat 2 ist).

Gerade wie Brüche in mehr als One-way geschrieben werden können, so auch Dose Dezimalstriche. Z.B. wenn wir beide Seiten der Gleichung multiplizieren

durch drei entdecken wir das

.

1.0 so und 0.999... sind zwei unterschiedliche dezimale Ziffern, welche die natürliche Nr. 1 darstellen. Es gibt unendlich viele andere Weisen des Darstellens der Nr. 1, 2/2 z.B., 3/3, 1.00, 1.000, und so weiter.

Jede reale Zahl ist entweder rational oder vernunftwidrig. Jede reale Zahl entspricht einem Punkt auf Zahllinie. Die realen Zahlen haben auch eine wichtige aber in hohem Grade technische Eigenschaft genannt wenig oberes Limit Eigenschaft. Das Symbol für die realen Zahlen ist R oder .

Wenn eine reale Zahl a darstellt Maß, gibt es immer a Seitenrand der Störung. Dieses wird häufig vorbei angezeigt Runden oder Beschneiden ein Dezimalstrich, damit Stellen, die eine grössere Genauigkeit als das Maß selbst vorschlagen, entfernt werden. Die restlichen Stellen werden benannt bedeutende Stellen. Z.B. können Maße mit einer Lehre ohne einen Seitenrand der Störung von mindestens 0.01 Metern selten gebildet werden. Wenn die Seiten von a Viereck werden als 1.23 Meter und 4.56 Meter gemessen, dann gibt Vermehrung einen Bereich für das Viereck von 5.6088 Quadratmetern. Da nur die ersten zwei Stellen, nachdem die Dezimalstelle bedeutend sind, diese normalerweise bis 5.61 gerundet wird.

In abstrakte Algebra, die realen Zahlen sind bis zum Isomorphismus, der einzigartig indem sie gekennzeichnet wird das einzige sind komplett bestellt fangen Sie auf. Sie sind nicht jedoch algebraisch geschlossen fangen Sie auf.

Komplizierte Zahlen

Bewegend auf ein grösseres Niveau der Abstraktion, können die realen Zahlen auf verlängert werden komplizierte Zahlen. Dieser Satz Zahlen entstand historisch aus der Frage von, ob eine negative Zahl a haben kann Quadratwurzel. Dieses führte zu die Erfindung einer neuen Zahl: die Quadratwurzel von Negativ eins, vorbei bezeichnet I, ein Symbol vorbei zugewiesen Leonhard Eulerund benannt eingebildete Maßeinheit. Die komplizierten Zahlen bestehen aus allen Zahlen der Form

wo a und b sind reale Zahlen. Im Ausdruck a + Bi, die reale Zahl a wird benannt reales Teil und Bi wird benannt Imaginärteil. Wenn das reale Teil einer komplizierten Zahl null ist, dann wird die Zahl genannt imaginäre Zahl oder gekennzeichnet als lediglich eingebildet; wenn der Imaginärteil null ist, dann ist die Zahl eine reale Zahl. So sind die realen Zahlen a Teilmenge von den komplizierten Zahlen. Wenn die realen und Imaginärteile einer komplizierten Zahl beide Ganzzahlen sind, dann wird die Zahl a genannt Gaußsche Ganzzahl. Das Symbol für die komplizierten Zahlen ist C oder .

In abstrakte Algebra, sind die komplizierten Zahlen ein Beispiel von algebraisch geschlossen fangen Sie auf, bedeutend daß jedes polynomisch mit Komplex Koeffizienten kann sein Faktor dargestellt in lineare Faktoren. Wie das reale Zahlensystem ist das komplizierte Zahlensystem a fangen Sie auf und ist komplett, aber anders als die realen Zahlen ist es nicht bestellt. Das heißt, gibt es keine Bedeutung, wenn man das sagt I ist grösser als 1 noch gibt es jede mögliche Bedeutung, wenn man das das sagt I ist weniger als 1. In den technischen Bezeichnungen ermangeln die komplizierten Zahlen Trichotomyeigenschaft.

Komplizierte Zahlen entsprechen Punkten auf komplexe Ebene, manchmal benannt die Argand Fläche.

Jedes der Zahlensysteme, die oben erwähnt werden, ist a korrekte Teilmenge vom folgenden Zahlensystem. Symbolisch, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Zu berechnene Zahlen

Auf die Probleme Berechnung bewegen, zu berechnene Zahlen werden im Satz der realen Zahlen festgestellt. Die zu berechnenen Zahlen, alias rekursive Zahlen oder zu berechnene reals, seien Sie reale Zahlen das kann zu innerhalb jeder möglicher gewünschten Präzision durch ein begrenztes berechnet werden und beenden Algorithmus. Gleichwertige Definitionen können das Verwenden gegeben werden μ-rekursive Funktionen, Turing Maschinen oder Λkalkül als die formale Darstellung von Algorithmen. Die zu berechnenen Zahlen bilden a reale geschlossene fangen auf und kann anstatt der realen Zahlen für viele verwendet werden, aber nicht aller, mathematische Zwecke.

Andere Arten

Hyperreal und hypercomplex Zahlen werden innen verwendet Nicht-Standard-Analyse. Die hyperreals oder nichtstandardisierte reals (wie normalerweise bezeichnet *R), bezeichnen Sie bestellt fangen Sie auf welches ein korrektes ist Verlängerung von bestellt fangen Sie von auf reale Zahlen R und das erfüllt übergangsgrundregel. Diese Grundregel erlaubt zutreffendes erster Auftrag Aussagen ungefähr R reinterpreted als zutreffende erste Auftrag Aussagen ungefähr *R.

Superreal und surreal Zahlen verlängern Sie die realen Zahlen, indem Sie infinitesimally kleine Zahlen und unendlich große Zahlen, aber addieren, bilden Sie noch sich fängt auf.

Die Idee nach p-adic Zahlen ist dieses: Während reale Zahlen unendlich lange Expansionen auf der rechten Seite des Dezimalkommas haben können, lassen diese Zahlen unendlich lange Expansionen nach links zu. Das Zahlensystem, das resultiert, hängt von was ab Unterseite wird für die Stellen verwendet: jede mögliche Unterseite ist möglich, aber ein System mit den besten mathematischen Eigenschaften wird erhalten, wenn die Unterseite a ist Hauptzahl.

Für das Beschäftigen endlose Ansammlungen, sind die natürlichen Zahlen zu generalisiert worden Ordnungszahlen und zu Kardinalzahlen. Das ehemalige erteilt den Auftrag der Ansammlung, während die letzte seine Größe gibt. Für den begrenzten Satz sind die Ordnungs- und Kardinalzahlen gleichwertig, aber sie unterscheiden sich im endlosen Fall.

Es gibt auch andere Sätze Zahlen mit fachkundigem Gebrauch. Einige sind Teilmengen der komplizierten Zahlen. Z.B., algebraische Zahlen sind die Wurzeln von Polynome mit rationalem Koeffizienten. Komplizierte Zahlen, die nicht algebraisch sind, werden benannt transcendental Zahlen.

Stellt von den Zahlen ein, die nicht Teilmengen der komplizierten Zahlen werden manchmal benannt sind hypercomplex Zahlen. Sie schließen mit ein quaternions H, erfunden durch Sir William Rowan Hamilton, in dem Vermehrung nicht ist auswechselbarund octonions, in dem Vermehrung nicht ist vereinigend. Elemente von Funktion fängt auf von ungleich null charakteristisch benehmen Sie sich irgendwie wie Zahlen und werden häufig als Zahlen von den Zahltheoretikern betrachtet.

Zusätzlich werden verschiedene spezifische Arten von Zahlen in den Sätzen von studiert natürlich und Ganzzahl Zahlen.

gerade Zahl ist eine Ganzzahl, die durch 2 d.h. „gleichmäßig teilbar“ ist teilbar durch 2 ohne Rest; ungerade Zahl ist eine Ganzzahl, die nicht gleichmäßig durch 2 teilbar ist. (Die altmodische Bezeichnung „gleichmäßig teilbar“ wird jetzt verkürzt fast immer“teilbar„.) Eine formale Definition einer ungeraden Zahl ist, daß es eine Ganzzahl der Form ist n = 2k + 1, wo k ist eine Ganzzahl. Eine gerade Zahl hat die Form n = 2k wo k ist Ganzzahl.

A vollkommene Zahl wird als a definiert positive Ganzzahl welches die Summe seines korrekten Positivs ist Divisoren, das heißt, die Summe der positiven Divisoren nicht einschließlich die Zahl selbst. Gleichwertig ist eine vollkommene Zahl eine Zahl, die Hälfte die Summe von allen seine positiven Divisoren ist, oder σ(n) = 2 n. Die erste vollkommene Zahl ist 6, weil 1, 2 und 3 seine korrekten positiven Divisoren und 1 + 2 + 3 = 6 sind. Die folgende vollkommene Zahl ist 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Die folgenden vollkommenen Zahlen sind 496 und 8128 (Reihenfolge A000396 in OEIS). Diese ersten vier vollkommenen Zahlen waren die einzigen bekannt früh Griechische Mathematik.

A figurate Zahl ist eine Zahl, die als regelmäßiges und ein getrennt dargestellt werden kann geometrisch Muster (z.B. Punkte). Wenn das Muster ist polytopic, wird das figurate a beschriftet polytopic Zahlund sein kann a polygonale Zahl oder a polyhedral Zahl. Polytopic numeriert für r = 2, 3, und 4 sind:

Ziffern

Zahlen sollten von bemerkenswert sein Ziffern, die Symbole verwendet, um Zahlen darzustellen. Die Nr. fünf kann durch die niedrige 10 Ziffer „5“ und durch dargestellt werden Römische Ziffer „V“. Die Darstellungen, die benutzt werden, um Zahlen darzustellen, werden im Artikel besprochen Zahlsysteme. Eine wichtige Entwicklung in der Geschichte von Ziffern war die Entwicklung eines Positionssystems, wie moderne Dezimalstriche, die sehr große Zahlen darstellen können. Die römischen Ziffern erfordern Extrasymbole für größere Zahlen.

Geschichte

Geschichte von Ganzzahlen

Der erste Gebrauch von Zahlen

Es wird, daß der zuerst bekannte Gebrauch von Zahlen bis herum 30000 BC zurückgeht, Knochen spekuliert, oder andere Kunstprodukte sind mit den Markierungen entdeckt worden, die in sie geschnitten werden, welche häufig betrachtet werden Tallymarkierungen. Der Gebrauch von diesen Tallymarkierungen sind vorgeschlagen worden, um aller vom Zählen von Gesamtverarbeitungszeit, wie Zahlen von Tagen oder von Halten der Aufzeichnungen von Mengen zu sein.

Buchend haben Systeme kein Konzept des Platzwertes (wie in die z.Z. benutzte Dezimalrechnung), die seine Darstellung der großen Zahlen begrenzen und während so häufig betrachtet wird, daß dieses die erste Art des abstrakten Systems ist, die verwendet würde, und konnten gelten als ein Zahlsystem.

Das erste bekannte System mit Platzwert war Mesopotamian Unterseite 60 System (ca. 3400 BC) und die frühesten bekannten Unterseite 10 System Daten zu 3100 BC in Ägypten. [1]

Geschichte von null

Weitere Informationen: Geschichte von null

Der Gebrauch von null, wie eine Zahl von seinem Gebrauch als placeholder Ziffer bemerkenswert innen sein sollte Platzwert Systeme. Viele alte indische Texte verwenden a Sanskrit Wort Shunya sich auf das Konzept von beziehen Lücke; in den Mathematiktexten würde dieses Wort häufig verwendet, um sich auf die Nr. null zu beziehen. [2]. In einer ähnlichen Ader, Pāṇini (5. Jahrhundert BC) verwendet dem ungültigen (null) Operator (IE eine Lambda Produktion) in Ashtadhyayi, seins algebraische Grammatik für Sanskrit Sprache. (sehen Sie auch Pingala)

Aufzeichnungen Erscheinen das Alter Grieche über den Status von null als Zahl unsicher geschienen: sie baten sich „, wie „nichts“ etwas sein kann?“ Führen zu das Interessieren philosophisch und, durch die mittelalterliche Periode, die frommen Argumente über die Natur und das Bestehen von null und Vakuum. Paradoxe von Zeno von Elea hängen Sie im großen Teil von der unsicheren Deutung von null ab. (Der alte Grieche sogar gefragt wenn 1 war eine Zahl.)

Das späte Olmec Leute von Süden-zentralem Mexiko fing an, zutreffendes null (ein Oberteil glyph) in der neuen Welt vielleicht durch zu verwenden 4. Jahrhundert BC aber zweifellos vorbei 40 BC, dem ein wesentlicher Bestandteil von wurde Mayaziffern und Mayakalender, aber beeinflußte nicht alte Weltzahlsysteme.

Durch 130, Ptolemäus, vorbei beeinflußt Hipparchus und die Babylonians, verwendeten ein Symbol für null (ein kleiner Kreis mit einem langen overbar) innerhalb sexagesimal Zahlsystem anders verwenden alphabetisch Griechische Ziffern. Weil es alleine, nicht als gerade placeholder, dieses verwendet wurde Hellenistic null war das erste dokumentiert Gebrauch von zutreffendem null in der alten Welt. In später Byzantinisch Manuskripte von seinem Syntaxis Mathematica (Almagest), hatte das Hellenistic null morphed in Griechischer Buchstabe omicron (andernfalls Bedeutung 70).

Ein anderes zutreffendes null wurde in den Tabellen längsseits verwendet Römische Ziffern durch 525 (zuerst bekannter Gebrauch vorbei Dionysius Exiguus), aber als Wort, nulla Bedeutung nichts, nicht als Symbol. Als Abteilung null als Rest produzierte, nihil, auch bedeutend nichts, wurde verwendet. Diese mittelalterlichen null wurden bis zum aller mittelalterlichen Zukunft verwendet computists (Rechner von Ostern). Ein lokalisierter Gebrauch von ihrer Initiale, N, wurde in einer Tabelle der römischen Ziffern vorbei verwendet Bede oder ein Kollege ungefähr 725, ein zutreffendes nullsymbol.

Ein früh dokumentierter Gebrauch von dem null vorbei Brahmagupta (in Brahmasphutasiddhanta) Daten zu 628. Er behandelte null als Zahl und besprach die Betriebe, die sie mit einbeziehen und schloß ein Abteilung. Bis zum dieser Zeit (7. Jahrhundert) hatte das Konzept offenbar erreicht Kambodschaund Unterlagen zeigen die Idee, die später zu verbreitet China und Islamisch Welt.

Geschichte der negativen Zahlen

Weitere Informationen: Erster Verbrauch der negativen Zahlen

Das abstrakte Konzept der negativen Zahlen wurde schon in erkannt 100 BC - 50 BC. Chinesisch ”Neun Kapitel auf der mathematischen kunst” (Jiu-zhang Suanshu) enthält Methoden für das Finden der Bereiche der Abbildungen; rote Stangen wurden benutzt, um Positiv zu bezeichnen Koeffizienten, schwarz für Negativ. Dieses ist die früh bekannte Erwähnung der negativen Zahlen im Osten; der erste Hinweis in einer westlichen Arbeit war in 3. Jahrhundert in Griechenland. Diophantus bezog sich die auf Gleichung, die mit gleichwertig ist 4x + 20 = 0 (die Lösung würde negativ sein), innen Arithmetica, sagen, daß die Gleichung ein absurdes Resultat gab.

Während 600s, waren negative Zahlen innen gebräuchlich Indien Schulden darstellen. Diophantus' vorhergehender Hinweis wurde ausdrücklicher vom indischen Mathematiker besprochen Brahmagupta, innen Brahma-Sphuta-Siddhanta 628, das negative Zahlen verwendete, um die allgemeine Form zu produzieren quadratische Formel dieses Remains gebräuchlich heute. Jedoch in 12. Jahrhundert in Indien, Bhaskara gibt, negative Wurzeln für quadratische Gleichungen aber sagt, daß der negative Wert „in diesem Fall nicht genommen werden soll, denn er unzulänglich ist; Leute genehmigen nicht negative Wurzeln. „

Europäisch Mathematiker widerstanden in den meisten Fällen dem Konzept der negativen Zahlen bis 17. Jahrhundert, obgleich Fibonacci erlaubte negative Lösungen in den finanziellen Problemen, in denen sie als Schuldposten (Kapitel 13 gedeutet werden konnten von Liber Rechenmaschinen, 1202) und später als Verluste (in Flos). Gleichzeitig Chinesisch zeigten negative Zahlen indem das Zeichnen eines diagonalen Anschlags durch die am weitesten rechts stehende ungleich Nullstelle der entsprechenden positiven Ziffer der Zahl an[Zitieren benötigte]. Der erste Gebrauch von negativen Zahlen in einer europäischen Arbeit war vorbei Chuquet während 15. Jahrhundert. Er benutzte sie wie Exponenten, aber bezogen worden auf ihnen als „absurde Zahlen“.

So vor kurzem wie 18. Jahrhundert, Schweizer Mathematiker Leonhard Euler geglaubt, daß negative Zahlen grösser als waren Unbegrenztheit[Zitieren benötigte]und es war Art, alle negativen Resultate zu ignorieren, die durch Gleichungen auf der Annahme zurückgebracht wurden, daß sie bedeutungslos waren, gerade wie René Descartes tat mit negativen Lösungen in a kartesisches beigeordnetes System.

Geschichte der rationalen, vernunftwidrigen und realen Zahlen

Weitere Informationen: Geschichte der irrationalen Zahlen und Geschichte von PU

Geschichte der rationalen Zahlen

Es ist wahrscheinlich, daß das Konzept von Bruchzahlen zu datiert prähistorische Zeiten. Sogar Alte ägypter schrieb die Mathetexte, die wie man General beschreiben, umwandelt Brüche in ihr spezielle Darstellung. Klassische griechische und indische Mathematiker bildeten Studien von der Theorie der rationalen Zahlen, als Teil der allgemeinen Studie von Zahltheorie. Das bekannteste von diesen ist Elemente Euclids, datierend zu ungefähr 300 BC. Von den indischen Texten ist das relevanteste Sthananga Sutra, das auch Zahltheorie als Teil einer allgemeinen Studie der Mathematik umfaßt.

Das Konzept von Dezimalbrüche wird nah mit Dezimalstellewertdarstellung verbunden; die zwei scheinen, im Tandem sich entwickelt zu haben. Z.B. ist es allgemein, damit die Jain Mathe sutras Berechnungen der Dezimalbruch Näherungswerte zu einschließen PU oder Quadratwurzel von zwei. Ähnlich hatten Babylonian Mathetexte immer sexagesimal Brüche mit großer Frequenz benutzt.

Geschichte der irrationalen Zahlen

Der früh bekannte Gebrauch von irrationalen Zahlen war in Indisch Sulba Sutras zwischen bestanden 800-500 BC.[Zitieren benötigt] Die ersten Bestehenbeweise der irrationalen Zahlen wird normalerweise zugeschrieben Pythagoras, spezifischer zu Pythagoräisch Hippasus von Metapontum, das a (most likely geometrisches) Beweis des irrationality von produzierte Quadratwurzel von 2. Die Geschichte geht, daß Hippasus irrationale Zahlen entdeckte, als versuchend, die Quadratwurzel von 2 als Bruch darzustellen. Jedoch Pythagoras geglaubt an die Unbedingtheit von Zahlen und konnte nicht das Bestehen der irrationalen Zahlen annehmen. Er könnte nicht ihr Bestehen durch Logik widerlegen, aber sein Glaube würde nicht das Bestehen der irrationalen Zahlen annehmen und also verurteilte er Hippasus zum Tod, indem er ertrank.

Das sechzehnte Jahrhundert sah die Endabnahme durch Europäer von negativ, Integral und bruchstückweise Zahlen. Das seventeenth Jahrhundert sah Dezimalbrüche mit der modernen Darstellung ziemlich im Allgemeinen benutzt von den Mathematikern. Aber es war nicht bis das 19.jahrhundert, daß die irrationals in die algebraischen und transcendental Teile getrennt wurden, und eine wissenschaftliche Studie der Theorie von irrationals wurde noch einmal genommen. Es war seit dem fast schlafend geblieben Euclid. Das Jahr 1872 sah die Publikation der Theorien von Karl Weierstrass (durch seine Pupille Kossak), Heine (Crelle, 74), Georg Kantor (Annalen, 5) und Richard Dedekind. Méray hatte in 1869 den gleichen Ausgangspunkt wie genommen Heine, aber auf die Theorie bezieht im Allgemeinen das Jahr 1872. Methode Weierstrasss ist vollständig vorbei festgelegt worden Salvatore Pincherle (1880) und Dedekinds hat zusätzlichen Vorsprung durch die neuere Arbeit des Autors (1888) und die neue Aufschrift vorbei empfangen Paul Gerberei (1894). Weierstrass, Kantor und Heine Unterseite ihre Theorien auf endlosen Reihen, während Dedekind seins auf der Idee von a gründet schneiden Sie (Schnitt) im System von reale Zahlen, alle trennend rationale Zahlen in zwei Gruppen, die bestimmte charakteristische Eigenschaften haben. Das Thema hat neuere Beiträge an den Händen von Weierstrass empfangen, Kronecker (Crelle, 101) und Méray.

Anhaltende Brüche, nah bezogen auf irrationalen Zahlen (und wegen Cataldi, 1613), empfangene Aufmerksamkeit an den Händen von Eulerund an der öffnung des 19.jahrhunderts wurden in Vorsprung durch die Schreiben von geholt Joseph Louis Lagrange. Andere bemerkenswerte Beiträge sind von Druckenmüller (1837) gebildet worden, Kunze (1857), Lemke (1870) und Günther (1872). Ramus (1855) schloß zuerst das Thema mit an bestimmende Faktoren, resultierend, mit den folgenden Beiträgen von Heine, Möbiusund Günther, in der Theorie von Kettenbruchdeterminanten. Dirichlet fügte auch der allgemeinen Theorie hinzu, wie zahlreiche Mitwirkende zu den Anwendungen des Themas haben.

Transcendental Zahlen und reals

Die ersten Resultate hinsichtlich sind der transcendental Zahlen waren Lamberts Beweis 1761, daß π nicht rational sein kann und auch daß en ist wenn vernunftwidrig n ist rational (es sei denn n = 0). (Die Konstante e bezog zuerst innen Napiers Arbeit 1618 an Logarithmen.) Legendre verlängerte diesen Beweis auf gezeigt, daß π nicht die Quadratwurzel einer rationalen Zahl ist. Die Suche nach Wurzeln von quintic und höhere Gradgleichungen waren eine wichtige Entwicklung, Abel-Ruffini Theorem (Ruffini 1799, Abel 1824) gezeigt, daß sie nicht vorbei gelöst werden konnten Radikale (Formel, die nur arithmetische Betriebe und Wurzeln mit einbezieht). Folglich war es notwendig, den breiteren Satz von zu betrachten algebraische Zahlen (alle Lösungen zu den polynomischen Gleichungen). Galois (1832) verbundene polynomische Gleichungen zu Gruppe Theorie Verursachen auffangene von Galois Theorie.

Sogar war der Satz der algebraischen Zahlen nicht genügend und der volle Satz der realen Zahl schließt ein transcendental Zahlen. Das Bestehen, von dem zuerst vorbei hergestellt wurde Liouville (1844, 1851). Hermite 1873 das geprüft e ist transcendental und Lindemann 1882 geprüft, daß π transcendental ist. Schließlich Kantor zeigt daß der Satz von allen reale Zahlen ist uncountably endlos aber der Satz von allen algebraische Zahlen ist zählbar endlos, so gibt es eine uncountably endlose Anzahl von transcendental Zahlen.

Unbegrenztheit

Weitere Informationen: Geschichte der Unbegrenztheit

Die früheste bekannte Auffassung von mathematischem Unbegrenztheit erscheint in Yajur Veda, das bei einem Punkt „angibt, wenn Sie ein Teil von der Unbegrenztheit entfernen oder ein Teil der Unbegrenztheit hinzufügen, ruhig, welches Remains Unbegrenztheit ist“. Unbegrenztheit war ein populäres Thema der philosophischen Studie unter Jain Mathematiker circa 400 BC. Sie unterschieden zwischen fünf Arten Unbegrenztheit: endlos in einen und zwei Richtungen, endlos im Bereich, endlos überall und endlos unaufhörlich.

Im Westen wurde der traditionelle Begriff der mathematischen Unbegrenztheit vorbei definiert Aristoteles, das zwischen unterschied tatsächliche Unbegrenztheit und mögliche Unbegrenztheit; die allgemeine übereinstimmung, die ist, daß nur die letzte zutreffenden Wert hatte. Galileo's Zwei neue Wissenschaften besprach die Idee von eins-zu-eins Korrespondenzen zwischen endlosen Sätzen. Aber der folgende grosse Fortschritt in der Theorie wurde vorbei gebildet Georg Kantor; in 1895 er veröffentlichte ein Buch über neues seins Mengenlehre, führend, unter anderem ein, transfinite Zahlen und Formulierung Kontinuumhypothese. Dieses war das erste mathematische Modell, das Unbegrenztheit durch Zahlen darstellte und Richtlinien für das Funktionieren mit diesen endlosen Zahlen gab.

In den sechziger Jahren, Abraham Robinson gezeigt, wie unendlich große und Infinitesimalzahlen rigoros definiert werden und verwendet werden können, um auffangene der nichtstandardisierten Analyse zu entwickeln. Das System von hyperreal Zahlen stellt eine rigorose Methode von die Ideen ungefähr behandeln dar endlos und Infinitesimal Zahlen, dessen beiläufig von den Mathematikern, von den Wissenschaftlern und von den Ingenieuren seit Erfindung verwendet worden war Kalkül durch Newton und Leibniz.

Eine moderne geometrische Version der Unbegrenztheit wird vorbei gegeben projektive Geometrie, das „ideale Punkte an der Unbegrenztheit vorstellt,“ eine für jede räumliche Richtung. Jede Familie der parallelen Linien in einer gegebenen Richtung wird gefordert, um zum entsprechenden idealen Punkt zusammenzulaufen. Dieses hängt nah mit der Idee von Punkte innen verschwinden zusammen Perspektive Zeichnung.

Komplizierte Zahlen

Weitere Informationen: Geschichte der komplizierten Zahlen

Der früheste flüchtige Hinweis auf Quadratwurzeln der negativen Zahlen trat in der Arbeit des Mathematikers und des Erfinders auf Reiher von Alexandria in 1. Jahrhundert ANZEIGE, als er das Volumen von einem unmöglichen betrachtete Frustum von a Pyramide. Sie wurden als in vorstehender 16. Jahrhundert geschlossene Formeln für die Wurzeln der dritten und vierten Gradpolynome wurden von den italienischen Mathematikern entdeckt (sehen Sie Niccolo Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano). Es wurde bald verwirklicht, daß diese Formeln, selbst wenn man an den realen Lösungen nur interessiert war, manchmal die Handhabung der Quadratwurzeln der negativen Zahlen erforderten.

Dieses war doppelt unsettling, seit sie nicht sogar negative Zahlen betrachteten, auf festem Boden zu sein zu der Zeit. Die „eingebildete“ Bezeichnung für diese Quantitäten wurde vorbei geprägt René Descartes in 1637 und wurde bedeutet, nachteilig zu sein (sehen Sie imaginäre Zahl für eine Diskussion über die „Wirklichkeit“ der komplizierten Zahlen). Eine weitere Quelle des Durcheinanders war daß die Gleichung

schien, mit der algebraischen Identität capriciously inkonsequent zu sein

,

welches für positive reale Zahlen gültig ist a und bund dem auch in den Berechnungen der komplizierten Zahl mit einer von verwendet wurde a, b Positiv und das andere Negativ. Der falsche Gebrauch von dieser Identität und die in Verbindung stehende Identität

im Fall wenn beide a und b seien Sie bedeviled sogar negativ Euler. Diese Schwierigkeit führte ihn schließlich zur Vereinbarung des Verwendens des Sonderzeichens I anstatt √−1, zum gegen diesen Fehler zu schützen.

18. Jahrhundert sah die Arbeiten von Abraham de Moivre und Leonhard Euler. Zu De ist Moivre (1730) die weithin bekannte Formel passend, die seinen Namen führt, de Moivres Formel:

und zu Euler (1748) Formel Eulers von komplizierte Analyse:

Das Bestehen der komplizierten Zahlen wurde nicht vollständig angenommen, bis die geometrische Deutung vorbei beschrieben worden war Caspar Wessel in 1799; es wurde einige Jahre später wiederentdeckt und popularisiert vorbei Karl Friedrich Gaussund infolgedessen empfing die Theorie der komplizierten Zahlen eine bemerkenswerte Expansion. Die Idee der graphischen Darstellung der komplizierten Zahlen war jedoch schon in 1685, innen erschienen Wallis's De Algebra tractatus.

Auch 1799, stellte Gauss den ersten allgemein anerkannten Beweis von zur Verfügung grundlegendes Theorem von Algebra, zeigend, daß jedes Polynom über den komplizierten Zahlen einen vollen Satz Lösungen in diesem Reich hat. Der Generalakzept der Theorie der komplizierten Zahlen liegt nicht an den Arbeiten von ein wenig Augustin Louis Cauchy und Niels Henrik Abelund besonders das letzte, das die ersten war, zum der komplizierten Zahlen mit einem Erfolg mutig zu verwenden, der weithin bekannt ist.

Gauss studiert komplizierte Zahlen der Form a + Bi, wo a und b seien Sie integral rational, oder (und I ist eine der zwei Wurzeln von x2 + 1 = 0). Sein Kursteilnehmer, Ferdinand Eisenstein, studiert worden der Art a + bω, wo ω ist eine komplizierte Wurzel von x3 − 1 = 0. Andere solche Kategorien (benannt cyclotomisch fängt auf) von den komplizierten Zahlen werden von abgeleitet Wurzeln der Einheit xk − 1 = 0 für höhere Werte von k. Diese Verallgemeinerung liegt an groß Ernst Kummer, das auch erfand ideale Zahlen, die als geometrische Wesen vorbei ausgedrückt wurden Felix Klein 1893. Die allgemeine Theorie von fängt wurde verursacht vorbei auf Évariste Galois, das studierte, fängt erzeugt durch die Wurzeln jeder polynomischen Gleichung auf F(x) = 0.

In 1850 Victor Alexandre Puiseux unternahm den Schlüsselschritt des Unterscheidens zwischen Pfosten und Verzweigungspunkte und stellte das Konzept von vor wesentliche einzigartige Punkte; dieses würde schließlich zu das Konzept von führen ausgedehnte komplexe Ebene.

Hauptzahlen

Hauptzahlen sind während der notierten Geschichte studiert worden. Euclid widmete sich ein Buch von Elemente zur Theorie von bereitet vor; in es prüfte er, daß die Unendlichkeit von und vorbereitet grundlegendes Theorem von Arithmetikund dargestelltes Euklidischer Algorithmus für das Finden größter gemeinsamer Teiler von zwei Zahlen.

In 240 BC, Eratosthenes verwendete Sieb von Eratosthenes Hauptzahlen schnell lokalisieren. Aber die meiste weitere Entwicklung der Theorie von bereitet in den Europa Daten zu vor Renaissance und neuere ären.

In 1796, Adrien-Marie Legendre vermutete Hauptzahltheorem, bereitet das Beschreiben der asymptotischen Verteilung von vor. Andere Resultate hinsichtlich sind der Verteilung von bereitet einschließen Beweis Eulers vor, daß die Summe der reciprocals von auseinanderläuft vorbereitet, und Goldbach Vermutung welches, daß jede genug große gerade Zahl ist, die Summe von zwei vorbereitet behauptet. Dennoch bezog eine andere Vermutung auf der Verteilung von Hauptzahlen ist Riemann Hypothese, vorbei formuliert Bernhard Riemann in 1859. Das Hauptzahltheorem wurde schließlich vorbei nachgewiesen Jacques Hadamard und Charles de la Vallée-Poussin in 1896. Die Vermutungen von Goldbach und von Riemann dennoch bleiben nachgewiesen zu werden oder widerlegt zu werden.

Hinweise

Schauen Sie oben Zahl in Wiktionary, das freie Wörterbuch.

Sehen Sie auch

Externe Verbindungen

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