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Gleichmäßige und ungerade Funktionen

In Mathematik, gleichmäßige Funktionen und ungerade Funktionen seien Sie Funktionen welche Einzelheit erfüllen Symmetrie Relationen, in Bezug auf das Nehmen additive Gegenteile. Sie sind in vielen Bereichen von wichtig mathematische Analyse, besonders die Theorie von Potenzreihe und Fourier-Reihe. Sie werden für genannt Parität von den Energien von Energie Funktionen welche jede Bedingung erfüllen: die Funktion xⁿ ist eine gleichmäßige Funktion wenn n ist eine gleichmäßige Ganzzahl und es ist eine ungerade Funktion wenn n ist eine ungerade Ganzzahl.

Gleichmäßige Funktionen

Gelassen f(x) seien Sie a real- bewertete Funktion einer realen Variable. Dann f ist gleichmäßig wenn die folgende Gleichung für alle hält x im Gebiet von f:

.

Geometrisch ist eine gleichmäßige Funktion symmetrisch in Bezug auf y- Mittellinie, bedeutend daß sein Diagramm Remains unverändert nachher Reflexion über y- Mittellinie.

Beispiele der gleichmäßigen Funktionen sind |x|, x², x⁴, Lattich(x) und cosh(x).

Ungerade Funktionen

Wieder lassen Sie f(x) seien Sie a real- bewertete Funktion einer realen Variable. Dann f ist ungerade wenn die folgende Gleichung für alle hält x im Gebiet von f:

.

Geometrisch hat eine ungerade Funktion Rotationssymmetrie in Bezug auf Ursprung, bedeutend daß sein Diagramm Remains unverändert nachher Umdrehung von 180 Grad über den Ursprung.

Beispiele der ungeraden Funktionen sind x, x³, Sünde(x), sinh(x) und erf (x).

Einige Tatsachen

Anmerkung: Einer Funktion, die ungerade ist oder sogar, deutet nicht differentiability oder sogar Durchgang an. Die Eigenschaften, die Fourier-Reihen, Taylor Reihe, Ableitungen können mit einbeziehen und so weiter, nur benutzt werden, wenn sie angenommen werden können, um zu bestehen.

Grundlegende Eigenschaften

• Die einzige Funktion, die ist beide sogar und ungerade ist konstante Funktion welches identisch null ist (d.h., f(x) = 0 für alle x).
• Summe von einer gleichmäßigen und ungeraden Funktion ist weder gleichmäßig noch ungerade, es sei denn eine der Funktionen identisch null ist.
• Die Summe von zwei sogar Funktionen ist gleichmäßig, und jede konstante Mehrfachverbindungsstelle einer gleichmäßigen Funktion ist gleichmäßig.
• Die Summe von zwei ungeraden Funktionen ist ungerade, und jede konstante Mehrfachverbindungsstelle einer ungeraden Funktion ist ungerade.
• Produkt bei zwei sogar Funktionen liegt eine gleichmäßige Funktion.
• Das Produkt von zwei ungeraden Funktionen ist eine gleichmäßige Funktion.
• Das Produkt einer gleichmäßigen Funktion und der ungeraden Funktion ist eine ungerade Funktion.
• Quotient bei zwei sogar Funktionen liegt eine gleichmäßige Funktion.
• Der Quotient von zwei ungeraden Funktionen ist eine gleichmäßige Funktion.
• Der Quotient einer gleichmäßigen Funktion und der ungeraden Funktion ist eine ungerade Funktion.
• Ableitung von einer gleichmäßigen Funktion ist ungerade.
• Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist gleichmäßig.
• Aufbau von zwei sogar Funktionen ist gleichmäßig, und der Aufbau von zwei ungeraden Funktionen ist ungerade.
• Der Aufbau einer gleichmäßigen Funktion und der ungeraden Funktion ist gleichmäßig.
• Der Aufbau jeder möglicher Funktion mit einer gleichmäßigen Funktion ist sogar (aber nicht umgekehrt).
• integral von einer ungeraden Funktion - A zu +A ist null (wo A ein begrenztes ist und die Funktion hat keine vertikalen Asymptotes zwischen - von A und von A).
• Das Integral einer gleichmäßigen Funktion - A zu +A ist zweimal das Integral von 0 zu +A (wo A ein begrenztes ist und die Funktion hat keine vertikalen Asymptotes zwischen - von A und von A).

Reihe

• Maclaurin Reihe von einer gleichmäßigen Funktion schließt nur gleichmäßige Energien ein.
• Die Maclaurin Reihe einer ungeraden Funktion schließt nur ungerade Energien ein.
• Fourier-Reihe von a periodisch sogar Funktion schließt nur ein Kosinus Bezeichnungen.
• Die Fourier-Reihe einer periodischen ungeraden Funktion schließt nur ein Sinus Bezeichnungen.

Algebraische Struktur

• Irgendwelche lineare Kombination von den gleichmäßigen Funktionen ist gleichmäßig, und die gleichmäßigen Funktionen bilden a vektorraum über reals. Ähnlich ist jede lineare Kombination der ungeraden Funktionen ungerade, und die ungeraden Funktionen bilden auch einen vektorraum über den reals. Tatsächlich der vektorraum von alle Realwertfunktionen ist direkte Summe von Teilräume von den gleichmäßigen und ungeraden Funktionen. Das heißt, kann jede Funktion als die Summe einer gleichmäßigen Funktion und der ungeraden Funktion einzigartig geschrieben werden:

• Die gleichmäßigen Funktionen bilden a auswechselbare Algebra über den reals. Jedoch die ungeraden Funktionen nicht bilden Sie eine Algebra über den reals.

Harmonik

In Signalaufbereitung, Klirren tritt wenn a auf Sinuswelle Signal wird mit einem nicht linearem multipliziert übergangsfunktion. Die Art von Harmonik produziert hängen Sie von der übergangsfunktion ab^[1]:

• Wenn die übergangsfunktion gleichmäßig ist-, besteht das resultierende Signal nur aus gleichmäßiger Harmonik der Eingang Sinuswelle;
  • grundlegend ist auch eine ungerade Harmonik, so wird nicht anwesend sein.
  • Ein einfaches Beispiel ist a Zweiweggleichrichter.
• Wenn es ungerade ist, besteht das resultierende Signal nur aus ungerader Harmonik der Eingang Sinuswelle;
  • Das Ausgangssignal ist Halbwellen symmetrisch.
  • Ein einfaches Beispiel ist Ausschnitt in einem symmetrischem Gegentaktverstärker.
• Wenn es asymetrisch ist, kann das resultierende Signal entweder gleichmäßige oder ungerade Harmonik enthalten;
  • Ein einfaches Beispiel befestigt in einem asymetrischen Kategorie A Verstärker.

Hinweise

1. ^ Fragen Sie die Doktoren: Schlauch gegen Festkörperharmonik

Sehen Sie auch

• Hermitian Funktion für eine Verallgemeinerung in den komplizierten Zahlen.
• Taylor Reihe
• Fourier-Reihe